新人教版高中数学必修1全册优质课教学课件(共157张PPT)

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人教版高中数学必修1全册优质课
教学课件
新的数学方法和概念，
常常比解决数学问题本身更重要。
数缺形时少直观，
形缺数时难入微。
要打好数学基础有两个必经过程：
先学习、接受“由薄到厚”；
再消化、提炼“由厚到薄”。
——华罗庚
第一章
集合与函数
第一节
集合
第二节
函数
第二章
基本初等函数
第一节
指数函数
第二节
对数函数
第三节
幂函数
第三章：函数的应用
第一节：集合
第一章：集合与函数
二、集合的定义与表示
1、通常，我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做集合。并用花括号{}括起来，用大写字母带表一个集合，其中的元素用逗号分割。
2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。
一、请关注我们的生活，会发现………
1、高一（9）班的全体学生：A={高一（9）班的学生}
2、中国的直辖市：B={中国的直辖市}
3、2，4，6，8，10，12，14：C={
2，4，6，8，10，12，14}
4、我国古代的四大发明：D={火药，印刷术，指南针，造纸术}
5、2004年雅典奥运会的比赛项目：E={2008年奥运会的球类项目}
如何用数学的语言描述这些对象？？
集合的含义与表示
讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？
1、著名的科学家
2、1,2,2,3这四个数字
3、我们班上的高个子男生
讨论2：集合{a,b,c,d}与{b,c,d,a}是同一个集合吗？
三、数集的介绍和集合与元素的关系表示
1、常见数集的表示
N：自然数集（含0）即非负整数集
N+或N
：正整数集（不含0)
Z:
整数集
Q：
有理数集
R：
实数集
若一个元素m在集合A中，则说
m∈A，读作“元素m属于集合A”
否则，称为m?A,读作“元素m不属于集合A。
例如：1
N，
-5
Z,
?
Q
∈
∈
?
?
2、集合与元素的关系（属于∈或不属于?
）
?
1.5
N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开；
2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：
｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝
｛ｂ，ｏ，ｋ｝
一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。
｛1,4｝
｛（1,4）｝
2、描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式为：
注意：1、中间的“|”不能缺失；
2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示
。
{
x
|
p(x)
}
例如：book中的字母的集合表示为：A=｛x|x是
book中的字母｝
所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1,
k∈Z}
所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k,
k∈Z}
思考：1、比较这三个集合：
A={x
∈Z|x<10}，B={x
∈R|x<10}
，
C={x
|x<10}
；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。
解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
2、两个集合相等
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
例：集合A={x|x为小于5的素数}，集合A={x
∈
R|(x-1)(x-3)=0}，这两个集合相等吗。
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：
1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集合称为空集,记为
?，注意：?不能表示为{?}。
2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集
五、集合的分类
练习题
1、直线y=x上的点集如何表示？
2、方程组
的解集如何表示？
x+y=2
x-y=1
3、若{1，a}和{a,a2}表示同一个集合，
则a的值不能为多少？
感谢聆听
集合间的基本关系
实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
⑴
A={1,2,3}
,
B={1,2,3,4,5};
⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合,
B为这个班学生的全体组成的集合;
⑶
设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.
一、子集和真子集的概念
1、子集：一般地，对于两个集合A、B，
如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
B
A
?
读作：A包含于B，或者B包含A
可以联系数与数之间的“≤”
?
2、真子集：
3、空集：
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
?
4、补集与全集
设A?S，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作CSA
，即CSA
＝｛x|x∈S,且x?A}　　
如图，阴影部分即CSA.
S
A
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时集合S看作一个全集，通常记作U。
例题、不等式组　　　　　的解集为A，U＝R，试求A及CUA，并把它们
分别表示在数轴上。
1、CUA在U中的补集是什么？
2、U＝Z，A=｛x|x=2k,k∈Z},
　
B={x|x=2k+1,K∈Z},则CUA＝＿＿＿，
　CUB＝＿＿＿＿。
思考:
练习题
重点考察对空集的理解！
4、设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0}，若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
5、设A={1，2}，B={x|x?A}，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？
7、判断下列表示是否正确:
(1)a
?{a};
(2)
{a}
∈{a,b};
(3){a,b}
?{b,a};
(4){-1,1}
{-1,0,1}
(5)0??;
(6)
?
{-1,1}.
?
?
4、补集与全集
感谢聆听
集合与集合的运算
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B}
A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
U
A
B
A∩B
1、交集
其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。
例题：
1、A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1};
2,3
-2
-1,1
A
B
C
交集的运算性质：
思考题：如何用集合语言描述？
2、并集
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即
A∪B
=
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B可用右图中的阴影部分来表示
U
A
B
其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”，并集是存异。
例题：
设集合A={x|-1求A∪B.
解:
A∪B={x|-1∪
{x|1={x|-1-1
1
2
3
并集的运算性质：
注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像，减少犯错的几率，常用的图像有Venn图，数轴表示法，坐标表示法。尤其是涉及到不等式和坐标点的时候。
练习题
1、判断正误
（1）若U={四边形}，A={梯形}，
则CUA={平行四边形}
（2）若U是全集，且A?B，则CUA?CUB
（3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=?
2.
设集合A={|2a-1|，2}，B={2，3，a2+2a-3}，且CBA={5}，求实数a的值。
3.
已知全集U={1，2，3，4，5}，非空集A={x?U|x2-5x+q=0}，求CUA及q的值。
感谢聆听
第二节：函数
第一章：集合与函数
函数及其表示
一、函数的概念
小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
年龄（岁）
身高（cm）
?
从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A，身高当做一个集合B；把时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素“乘以10再加20”，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以4.9”就得到集合D中的元素。
因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x
∈A}叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”
1
2
3
4
5
6
7
8
30
40
50
60
70
80
90
100
乘以10再加20
1
1.5
2
3
5
6
7
8
4.9
？
？
？
？
？
？
？
平方后乘以4.9
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应，那么就称
对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。
国家
首都
中国
美国
韩国
日本
北京
华盛顿
首尔
东京
因此，函数是映射的一种特殊形式
三、函数的三种表示方法
解析法，图像法，列表法。详见课本P19页。
四、开区间、闭区间和半开半闭区间
实数R的区间可以表示为（-
∞
,+
∞
）
★深入理解函数表示方法的解析法
?
五、着重强调的几个问题及考试陷阱
1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节都会与函数进行穿插出题。
2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且仅有一个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以多对一，而不能一对多。
1
-1
2
-2
1
4
平方
?
4
9
-2
3
开方
?
2
-3
√
×
3、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子分母的未知数不能随便约，根号不能随便去掉，都是求定义域的典型考点。详见课本例题。
4、判定两个函数相同的条件：一是对应法则相同，二是定义域和值域相同。
2、下列几种说法中，不正确的有：______________
A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；
B、函数的定义域和值域一定是无限集合；
C、定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定；
D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素。
E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素。
练习题
4、求下列函数的值域
5、判断下列各组函数是否表示同一函数？
?
感谢聆听
函数的基本性质——单调性
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，I称为f(x)的单调
减
区间.
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I
A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I
A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增
函数，I称为f(x)的单调增区间.
当x1)
<
f(x2
)，
当x1f
(x1
)
f(x2
)，
>
单调区间
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
二、函数单调性考察的主要问题
?
3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个x1和x2，且x2>x1，通过计算f(x2)—f(x1)>0或者<0恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把f(x2)—f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f(x2)—f(x1)是大于0还是小于0。
2、x
1,
x
2
取值的任意性.
x
x1
x2
I
y
f(x1)
f(x2)
O
M
N
例1、下图为函数y=f(x),
x∈[-4,7]
的图像，指出它的单调区间。
[-1.5，3]，[5，6]
[-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
解：单调增区间为
单调减区间为
1
2
3
-2
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
o
-4
-1
y
-1.5
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
数缺形时少直观
x
y
_____________
,
讨论1：根据函数单调性的定义，
讨论2：　　　　　　在(-∞，0）和（0，+∞)上
的单调性？
例3.判断函数
在定义域[1，+∞）上的单调性，并给出证明：
1.
任取x1，x2∈D，且x12.
作差f(x1)－f(x2)；
3.
变形（通常是因式分解和配方）；
4.
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5.
下结论
主要步骤
形少数时难入微
证明：在区间[1，+∞）上任取两个值x1和x2，且x1则
，且
所以函数
在区间上
是增函数.
取值
作差
变形
定号
结论
练习题
1、若二次函数
在区间
上单调递增，求a的取值范围。
2、课后习题
感谢聆听
函数的基本性质——极值（最大值和最小值）
?
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
y=-x2+2
1
-1
1
2
2
-1
-2
-2
x
y
x
y
o
x
y
o
x
y
o
一元二次函数
一、定义
一般地，如果
y=ax2+bx+c(a，b，c
是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。
x
y
0
x
y
0
由y=ax2+bx+c
?
配方
?
?
?
?
?
解析式
使用范围
一般式
已知任意三个点
顶点式
已知顶点（h,k)及另一点
交点式
已知与x轴的两个交点及另一个点
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
二、三种解析式及使用范围
三、一般式中a，b，c的作用和判断
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴
的位置:
ab>0
ab=0
ab<0
?
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
x
y
0
a<0
x
y
0
a<0
x
y
0
c
x
y
0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
数缺形时少直观
四、平移问题
对一个已知函数进行平移，如函数的表达式可以统一表示为y=f(x)，则平移后的方程遵循右上减，左下加的原则，具体如下：
向右平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x-k)；
向左平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x+k)；
向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x)；
想下平移h个单位，则平移后的表达式为y+h=f(x);
如果在横向和纵向上都有移动，则同时根据上述原则变化y和f(x)，各变各的，再进行整理。如：向左平移k个单位，向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x+k)
?
?
注意：
1、在替换的时候要替换所有的，尤其是x，替换时候最好带上括号，避免出错。
2、平移的先后次序不影响平移结果，即无所谓先向左右，还是先向上下。只要是向坐标轴的正向移动，就用负号，只要是向坐标轴的负向移动就用正号。
?
?
?
(3)
④连线
①画对称轴
②确定顶点
③确定与坐标轴的交点
及对称点
0
x
y
x=-1
?
M(-1,-2)
?
?
?
?
A(-3,0)
B(1,0)
D
?
(5)
当x≤-1时，y随x的增大而减小;
当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2
由图象可知
(6)
当x<
-3或x>1时，y
>
0
当-3
<
x
<
1时，y
<
0
1.抛物线
的顶点坐标是(
).
(A)(-1,-3)
(B)(1,3)
(C)(-1,8)
(D)(1,-8)
2.在同一直角坐标系中，抛物线
与坐标轴的交点个数是(
)
(A)0个
(B)1个
(C)2个
(D)3个
3.已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则有（　　）
(Ａ)
a＜0,b＜0,c＞0
(Ｂ)
a＜0,b＜0,c＜0　　
(C)
a＜0,b＞0,c＞0
(D)
a＞0,b＜0,c＞0
四、巩固练习
4、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
5、抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
6、已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
7、二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=
____。
8、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是__________
1
-1
0
x
y
①abc<0
②a+b+c
<
0
③a+c
>
b
④2a+b=0
⑤Δ=b-4ac
>
0
9、二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2，
则x1+x2等于_________.
10、数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-∞,-1]时是减函数，当x∈(-1,+∞)时是增函数，则f(2)=
_______.
11、关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则有(
)
(A)-1＜a＜1
(B)a＜-2或a＞1
(C)-2＜a＜1
(D)a＜-1或a＞2
12、设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则
(x-1)2+(y-1)2的最小值是(
C
)
(A)-12
(B)18
(C)8
(D)34
13、设函数f(x)=|x|·x+bx+c，给出下列命题：
①b=0,c＞0时，f(x)=0只有一个实数根；
②c=0时，y=f(x)是奇函数；
③y=f(x)的图象关于点(0，c)对称；
④方程f(x)=0至多有2个实数根.
上述命题中的所有正确命题序号是_______
①②③
感谢聆听
函数的基本性质——奇偶性
1、已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),
f(-1),f(1),
及f(-x)
,并画出它的图象。
解:
f(-2)=(-2)2=4
f(2)=4
f(-1)=(-1)2=1
f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x2
x
y
o
(
x,y)
(-x,y)
f(-x)
f(x)
-x
x
f(-2)=f(2)
f(-1)=f(1)
f(-x)=f(x)
说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等即f(-x)=f(x)
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.
偶函数定义:
2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2)，f(2)，f(-1)，f(1)及f(-x)
解:
f(-2)=(-2)3=-8
f
(2)=8
f(-1)=(-1)3=-1
f(1)=1
f(-x)=(-x)3=-x3
x
y
o
-x
x
f(-x)
f(x)
(-x,-y)
(x,y)
f(-2)=
-
f(2)
f(-1)=
-
f(1)
f(-x)=
-
f(x)
说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)
奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)
,那么函数f(x)就叫奇函数.
★对奇函数、偶函数定义的说明:
（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如，
f(x)=x2
(x>0)是偶函数吗
O
x
[-b,-a]
[a,b]
（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
若f(x)为偶函数,
则f(-x)=
f(x)
成立。
若f(x)为奇函数,
则f(-x)=－f(x)成立。
（3）
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函
数f(x)
具有奇偶性。
例1.
判断下列函数的奇偶性
解:
定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
=
-x3-2x
=
-(x3+2x)
即
f(-x)=
-
f(x)
∴f(x)为奇函数
解:
定义域为R
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
即
f(-x)=
f(x)
∴f(x)为偶函数
(1)
f(x)=x3+2x
(2)
f(x)=2x4+3x2
（2）奇函数的图象关于原点对称.
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
那么这个函数为奇函数.
（1）偶函数的图象关于y轴对称.
反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,
那么这个函数为偶函数.
注：奇偶函数图象的性质可用于：
①.简化函数图象的画法。
②.判断函数的奇偶性。
★奇偶函数图象的性质:
★两个定义:
对于f(x)定义域内的任意一个x
,
如果都有f(-x)=-f(x)
f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)=
f(x)
f(x)为偶函数。
★两个性质:
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称。
一个函数为偶函数
它的图象关于y
轴对称。
?
(2)
f(x)=
-
x2
+1
(3).
f(x)=5
(4)
f(x)=0
练习题
(5).
f(x)=x+1
(6).
f(x)=x2
x∈[-
1
,
3]
?
感谢聆听
第二章：基本初等函数
第一节：指数函数
指数与指数幂的运算
?
根式
探究
?
a，a≥0
–a，a≤0
?
分数指数幂
指数运算法则
?
结合具体的理解进行记忆
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….
1个这样的细胞分裂
x
次后，得到的细胞个数
y
与
x
的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.即：
，其中x是自变量，函数定义域是R
定义
指数函数及其性质
探究1：为什么要规定a>0,且a
≠1呢？
①若a=0，则当x>0时，
=0；当x
0时，
无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使
无意义.
如
，这时对于x=
，x=
，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x
∈R，
=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1
在规定以后，对于任何x
R，
都有意义，且
>0.
因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
?
?
引例：
x
…
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
…
…
0.13
0.25
0.5
0.71
1
1.4
2
4
8
…
…
8
4
2
1.4
1
0.71
0.5
0.25
0.13
…
x
…
-1.5
-1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
1
1.5
…
…
0.03
0.1
0.32
0.56
1
1.78
3.16
10
31.62
…
…
31.62
10
3.16
1.78
1
0.56
0.32
0.1
0.03
…
?
例题讲解：
课本P56、57中的例6、例7和例8
课堂练习：
课本P58的练习1、2
进一步拓展
进一步拓展
复合函数求单调区间
综合练习
课本P59页习题2.1
感谢聆听
第二章：基本初等函数
第二节：对数函数
对数及其运算
?
前节内容回顾：
引导：
?
定义：
?
X
x
X
x
两种特殊的底：10和e
?
探究：
?
结论：
负数和零没有对数。
练习：
课本P64页
对数运算法则
?
探究：
?
?
?
换底公式的证明与应用
?
例题讲解：
课堂练习：
1、课本P65页，例2—例6：
1、课本P68页
?
感谢聆听
对数函数及其性质
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数
___________表示。
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个……细胞？已知细胞个数y，如何求分裂次数x？得到怎样一个新的函数？
1
2
4
y=2x
……
y
x=?
复习引入
y=2x,x∈N
?
1、对数函数的定义：
2、指数函数与对数函数两者图像之间的关系
?
x
…
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
…
…
0.13
0.25
0.5
0.71
1
1.4
2
4
8
…
x
…
0.13
0.25
0.5
0.71
1
1.4
2
4
8
…
…
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
…
-1
X
Y
O
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
7
Y=log2x
Y=x
Y=2x
-1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
图
象
性
质
a
＞1
0
＜
a
＜
1
定义域
:
值
域
:
过定点：
在
(
0
,+∞)上
是
函数
在
(
0
,+∞)上
是
函数
y
x
0
x＝1
y=logax
(a＞1)
y
x
0
y=logax
(0＜a＜1)
(1,0)
(1,0)
(
0
,+∞)
R
(
1
,
0
)
增
减
对数函数的图像和性质
例1：求下列函数的定义域：
（1）
；
（2）
；
（3）
反函数
?
1、定义：
2、求法：
已知某个函数的表达式，y=f(x)，求其反函数的方法和步骤如下：
（1）通过表达式y=f(x)，把函数表示成x=g(y)的形式
（2）把求得的x=g(y)的位置对调，即y=g(x)的形式
3、注意：
只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如y=1/x
？
练习
课本P73,74页
感谢聆听
第二章：基本初等函数
第三节：幂函数
幂函数定义
?
?
注意：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
感谢聆听
课堂练习……
第三章：函数的应用
第一节：函数与方程
要点梳理
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫
做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
f(x)=0
基础知识
自主学习
（2）几个等价关系
方程f(x)=0有实数根?
函数y=f(x)的图象与_____有
交点
?函数y=f(x)有_______.
(3)函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有_________________,那么函
数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),
使得_________，这个____也就是f(x)=0的根.
f（a）·f（b）<0
(a，b)
f(c)=0
c
x轴
零点
2.二次函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点
__________________
________
无交点
零点个数
______
_____
___
(x1,0),
(x2,0)
(x1,0)
无
一个
两个
3.二分法
（1）二分法的定义
对于在区间［a，b］上连续不断且_____________的
函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区
间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进
而得到零点近似值的方法叫做二分法.
（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间［a，b］，验证______________,
给定精确度
；
第二步，求区间（a，b）的中点x1；
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
f(a)·f(b)<0
第三步，计算_______：
①若_______，则x1就是函数的零点；
②若_____________，则令b=x1
(此时零点x0∈(a,x1));
③若______________，则令a=x1
(此时零点x0∈(x1,b));
第四步，判断是否达到精确度
：即若|a-b|<
,则
得到零点近似值a（或b）;
否则重复第二、三、四步.
f(x1)
f(a)·f(x1)<0
f(x1)·f(b)<0
f(x1)=0
基础自测
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的
零点是
（
）
A.0，2
B.0，
C.0，
D.2,
解析
由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,
∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).
令g(x)=0，得x=0,x=
∴g（x）的零点为0，
C
2.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，
则a的取值范围是
（
）
A.
B.a≤1
C.
D.
解析
f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，
则f(-1)·f(1)≤0,即
D
3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公
共点横坐标的是
（
）
解析
图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函
数f（a）·f（b）<0.
B
4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（
）
A.f(x)=3x2-4x+5
B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=mx2-3x+6
D.f(x)=ex+3x-6
解析
对选项D，∵f（1）=e-3<0，f（2）=e2>0，
∴f（1）f（2）<0.
D
5.设函数
则函数f(x)-
的零点是__________.
解析
当x≥1时，
当x<1时，
(舍去大于1的根).
∴
的零点为
感谢聆听
题型一
零点的判断
【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］；
(2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］.
第（1）问利用零点的存在性定理或
直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理
或利用两图象的交点来求解.
思维启迪
题型分类
深度剖析
解
（1）方法一
∵f（1）=12-3×1-18=-20<0，
f（8）=82-3×8-18=22>0，
∴f(1)·
f(8)<0，
故f(x)=x2-3x-18,x∈[1，8]存在零点.
方法二
令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x∈[1，8].
∴(x-6)(x+3)=0，
∴x=6∈[1，8],x=-3?[1，8]，
∴f（x）=x2-3x-18，x∈[1，8]有零点.
(2)方法一
∵f（1）=log23-1>log22-1=0,
f(3)=log25-3∴f（1）·
f（3）<0，
故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点.
方法二
设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系
中画出它们的图象，
从图象中可以看出当1≤x≤3时，
两图象有一个交点，
因此f(x)=log2(x+2)-x,
x∈[1，3]存在零点.
函数的零点存在性问题常用的办法
有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得
说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是
必要条件.
探究提高
知能迁移1
判断下列函数在给定区间上是否存
在零点.
（1）f(x)=x3+1;
（2）
x∈（0，1）.
解
（1）∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,
∴f(x)=x3+1有零点-1.
（2）方法一
令f(x)=0，
∴x=±1,
而±1
?(0,1),
∴
x∈(0,1)不存在零点.
方法二
令
y=x,在同一平面直角坐标系中，
作出它们的图象,从图中可以看出当0没有交点.
故
x∈(0，1)没有零点.
题型二
函数零点个数的判断
【例2】求函数y=ln
x+2x-6的零点个数.
该问题转化为求函数y=ln
x与y=6-2x的
图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.
思维启迪
解
在同一坐标系画出
y=ln
x与y=6-2x的图象，由
图可知两图象只有一个交点,
故函数y=ln
x+2x-6只有一个
零点.
若采用基本作图法，画出函数y=ln
x+
2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=ln
x
与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.
探究提高
知能迁移2
已知函数
(a>1),判断
f(x)=0的根的个数.
解
设f1(x)=ax
(a>1),f2(x)=
则f(x)=0的解即为
f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)
与f2(x)图象交点的横坐标.
在同一坐标系中，作出函数
f1(x)=ax
(a>1)与f2(x)=
的图象(如
图所示）.
两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且
只有一个根.
题型三
零点性质的应用
【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+
(x>0).
(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个
相异实根.
（1）可结合图象也可解方程求之.
（2）利用图象求解.
思维启迪
解
（1）方法一
∵
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e，+∞)，
4分
因而只需m≥2e，则
g(x)=m就有零点.
6分
方法二
作出
的图象如图：
4分
可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e.
6分
方法三
解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根，
4分
等价于
故m≥2e.
6分
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，
即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个
不同的交点，
作出
（x>0）的图象.
∵f（x）=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.
其对称轴为x=e，开口向下，
最大值为m-1+e2.
10分
故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是（-e2+2e+1,+∞).
12分
此类利用零点求参数的范围的问题，可
利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构
造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了
当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求
参数的范围，一般采用数形结合法求解.
探究提高
知能迁移3
是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+
(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,
且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说
明理由.
解
∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0
∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.
f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)
=4(1-a)(5a+1)≤0.
所以a≤
或a≥1.
检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)=0时，a=
解之得x=
或x=3.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠
综上所述,a<
或a>1.
感谢聆听
1.函数零点的判定常用的方法有：①零点存在性定
理；②数形结合；③解方程f（x）=0.
2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=
f（x）-g（x）的零点.
3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其
实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在
的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的
任一点就是这个函数零点的近似值.
方法与技巧
思想方法
感悟提高
1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫
做函数的零点,注意以下几点:
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个
实数时,其函数值等于零.
(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点
的横坐标.
(3)一般我们只讨论函数的实数零点.
(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.
失误与防范
2.对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)f(x)在［a,b］上连续;
(2)f(a)·f(b)<0;
(3)在（a,b）内存在零点.
事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.
一、选择题
1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点
的区间是
（
）
A.[0，1]
B.[1，2]
C.[-2，-1]
D.[-1，0]
解析
∵f（-1）=3-1-(-1)2=
f（0）=30-02=1>0，
∴f（-1）·f（0）<0，
∴有零点的区间是[-1，0].
D
定时检测
2.设函数
(x>0),
则y=f(x)
（
）
A.在区间
(1,e)内均有零点
B.在区间
(1,e)内均无零点
C.在区间
内有零点，在区间(1,e)内无零点
D.在区间
内无零点,在区间(1,e)内有零点
解析
因为
因此f(x)在
内无零点.
因此f(x)在(1，e)内有零点.
答案
D
3.
若函数f（x）的零点与
g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则
f(x)可以是
（
）
A.f(x)=4x-1
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1
D.
解析
∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且
设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则
又f(x)=4x-1零点为
f(x)=(x-1)2零点为x=1;
f(x)=ex-1零点为x=0;
零点为
答案
A
4.方程|x2-2x|=a2+1(a∈R+)的解的个数是
（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析
∵a∈R+，∴a2+1>1.
而y=|x2-2x|的图象如图，
∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1
的图象总有两个交点.
∴方程有两解.
B
5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取
值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
解析
本题研究方程根的个数问题,此类问题首选
的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其
次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.
如图，作出函数y=|x|·(x-1)的
图象，由图象知当k∈
时，
函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的
交点，即方程有3个实根.
答案
A
6.设f(x)=x3+bx+c
(b>0)(-1≤x≤1),且
则方程f(x)=0在[-1,1]内(
)
A.可能有3个实数根
B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根
D.没有实数根
解析
∵f（x）=x3+bx+c
（b>0），
∴f′(x)=3x2+b>0,∴f（x）在[-1,1]上为增函数,
又∵
∴f（x）在
内存在唯一零点.
C
二、填空题
7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数
g(x)=bx2-ax-1的零点是________.
解析
∴g（x）=-6x2-5x-1的零点为
8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式
af(-2x)>0的解集是________________.
解析
∵f（x）=x2+ax+b的两个零点是-2，3.
∴-2，3是方程x2+ax+b=0的两根，
由根与系数的关系知
∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0，
即-(4x2+2x-6)>0?
2x2+x-3<0,
解集为
9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=
x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0
①有三个实根；
②当x<-1时,恰有一实根(有一
实根且仅有一实根);
③当-1④当0⑤当x>1时，恰有一实根.
则正确结论的编号为___________.
解析
∵f（-2）=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,
f（-1）=0.01>0，即f(-2)·f(-1)<0，
∴在（-2，-1）内有一个实根.
由图中知：方程f(x)=0在(-∞,-1)上,只有一个实根,
所以②正确.
又∵f(0)=0.01>0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数
根,所以③不正确.
又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,
f(1)=0.01>0,即f(0.5)f(1)<0,所以f(x)=0.
在(0.5,1)上必有一个实根,且f(0)·f（0.5）<0,
∴f（x）=0在（0，0.5）上也有一个实根.
∴f（x）=0在（0，1）上有两个实根，④不正确.
由f（1）>0且f(x)在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）>0,f(x)=0在（1，+∞）上没有实根.
∴⑤不正确.并且由此可知①也正确.
答案
①②
三、解答题
10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，求
m的取值范围，并求出该零点.
解
∵f（x）=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t
(t>0)，则t2+mt+1=0.
当Δ=0,即m2-4=0，
∴m=-2时，t=1;m=2时，t=-1不合题意，舍去，
∴2x=1，x=0符合题意.
当Δ>0，即m>2或m<-2时，
t2+mt+1=0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点.
∴这种情况不符合题意.
综上可知：m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解
设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，
∵f（0）=1>0,则应有f(2)≤0,
又∵f（2）=22+（m-1）×2+1,
∴m≤
②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则
由①②可知m≤-1.
12.已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数
y=f(x)在区间［-1，1］上有零点,求a的取值范围.
解
（1）当a=0时，f(x)=2x-3.
令2x-3=0,得x=
［-1，1］
∴f（x）在［-1，1］上无零点，故a≠0.
（2）当a>0时，f(x)=2ax2+2x-
3-a的对称轴为
①当
≤-1,即0时，
须使
∴a的解集为?
.
②当-1<
<0,即a>
时，
须使
解得a≥1,∴a的取值范围是［1，+∞).
（3）当a<0时，
①当0<
≤1,即a≤
时，
须有
又a≤
∴a的取值范围是
②当
>1,即
须有
∴a的解集为
?.
综上所述，a的取值范围是
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