2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明之直角三角形综合练（三）（Word版，附答案解析）

北师大版下册 第一章《三角形的证明》之
直角三角形综合练（三）
1．如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
2．小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC时，还没把题读完，就说：“这题一定是求证∠B＝∠C，也太容易了．”她的证法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC＝∠AEB＝90°，公共角∠DAC＝∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B＝∠C．
小明说：“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC＝∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图（2），显然△DAC与△EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠B＝∠C，而是要证明BE＝CD．”
（1）根据小敏所读的题，判断“∠B＝∠C”对吗？她的推理对吗？若不对，请做出正确的推理．
（2）根据小明说的，要证明BE＝CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE＝CD的正确推理．
（3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？
3．已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．
求证：△ACD≌△CBE．（以上两个不同的图形所得的结论相同．请你任选其中一个图形加以证明）
4．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，C＝∠C′＝90°
求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．
（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；
（2）将△ABC和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A与点A′重合，点C与点C′重合．）
（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．
5．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　 　CF；EF　 　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　 　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
6．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD＝AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD＝AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
7．如图，等腰直角△ACB，∠ACB＝90°，CA＝CB．
操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BF⊥AD交AD于点F，交AC所在直线于点E，连接DE．
（1）猜想△CDE的形状；
（2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作．画出相应的图形；
（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由．
8．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝40°，则∠1+∠2＝　 　°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB上一点，∠ACM＝∠A，CD是∠ACB的平分线，CH是边AB上的高，则CD是否为∠MCH的平分线？请说明理由．
10．如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分别为AB、BD中点．
（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系，并说明理由．
11．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？
（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？
12．如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，AE平分∠BAC，AE交BD于点F，∠ABC＝90°．
（1）求证：∠BEF＝∠BFE；
（2）若BC＝80cm，BE：EC＝3：5，AC＝100cm，求S△AEC和S△ABC．
13．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则求CD的长．
14．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，AB＝13cm，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．
（2）求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，
∵∠1+　 　＝90°，
∴∠A＝　 　（　 　）．
同理可证，
∴∠1＝　 　．
（2）点A到直线BC的距离＝　 　cm．
C到直线AB的距离为线段　 　的长度．
S△ABC＝　 　×　 　＝　 　×　 　（填线段名称）．
∵AC＝12，BC＝5，AB＝13，代入上式，解得
CD＝　 　cm．
参考答案
1．证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
2．解：（1）小敏的推理不正确．因为仅凭两个角不能判定两三角形全等．
（2）条件为AB＝AC或AE＝AD．
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC；
∴∠ADC＝∠AEB＝90°；
∵公共角∠DAC＝∠BAE，AB＝AC；
∴△DAC≌△EAB（AAS）
∴BE＝CD（全等三角形的对应边相等）．
（3）要判断两个三角形全等，不可缺少的元素是边，至少要有一组对应边相等．
3．证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
又∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∠ADC＝∠CEB＝90°，且AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE．
4．解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等．
（2）如图：
；
图②使点A与点A'重合，点B与点B'重合
图③使点A与B'重合，B与点A’重合．
（3）在图②中，∵A和A'重合，B和B'重合，连接CC'．
∵∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，∠ACB﹣∠ACC'＝∠A'C'B'﹣∠AC'C，
即∠BCC'＝∠BCC'，
∴BC＝B'C'．
在直角△ABC和直角△A'B'C'中，
，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．
5．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．
∵∠BCA＝180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF＝BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
6．证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，
∵在△ADC中，cos30°＝，
在△ABC中，cos30°＝，
∴AB＝AC，AD＝．
∴AB+AD＝．
（2）由（1）知，AE+AF＝AC，
∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE＝CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D＝∠CBE．
∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
∴DF＝BE．
∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AF＝AC．
7．解：（1）由AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，容易猜想到△ACD≌△BEC，那么CD＝CE，则△CDE是等腰直角三角形；
（2）据要求画出图形如下：
（3）结论成立；
证明：∵∠ACB＝90°，AF⊥BE，
∴∠FDB+∠FBD＝90°，∠EBC+∠CEB＝90°，
∴∠FDB＝∠CEB；
又∵∠FDB＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠CEB；
∵在三角形ACD和三角形BCE中，
∴△ACD≌△BEC；
∴CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形．即猜想△CDE是等腰直角三角形结论成立．
8．解：（1）如图1，连接PC，
由三角形外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠ACB＝90°+α，
∵α＝40°，
∴∠1+∠2＝130°，
故答案为130；
（2）如图2，连接PC，
由三角形外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠ACB＝90°+α，
（3）猜想：∠2﹣∠1＝90°+α或∠2﹣∠1＝90°﹣α；
如图①，
由三角形外角性质，∠2＝∠C+∠1+DPE，
∴∠2＝90°+∠1+α；
∴∠2﹣∠1＝90°+α；
如图②，
∵α＝0°，
∴∠2＝90°+∠1；
如图③，
由三角形外角性质，∠2＝∠C+（∠1﹣α）
∴∠2﹣∠1＝90°﹣α．
9．解：∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCH＝90°，
∴∠BCH＝∠A，
∵∠ACM＝∠A，
∴∠ACM＝∠BCH，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCA＝∠DCB，
∴∠DCA﹣∠ACM＝∠DCB﹣∠BCH，
∴∠DCH＝∠DCM，
∴CD为∠MCH的平分线．
10．解：（1）CM＝EM′．
证明：根据线段中点的概念和已知的AB＝BD，得BM＝DM′；
在△BCM与△DEM′中，
∴Rt△BCM≌Rt△DEM′（SAS），
∴CM＝EM′；
（2）CK＝KE．理由如下：
如图2，延长MK至L，使KL＝MM'，连接LE，
则KL+KM′＝MM'+KM′，即KM＝LM′，
由（1）可知CM＝EM′，
∵BD＝AB，M是AB的中点，M'是BD的中点，
∴BM＝BM′，
∴∠BMM′＝∠BM′M，
由（1）知Rt△BCM≌Rt△DEM′，
∴∠BMC＝∠EM′D，
∴∠CMK＝∠KM′E，
在△CMK和△EM′L中
∴△CMK≌△EM′L（SAS），
∴CK＝EL，
又∵∠CKM＝∠LKE＝∠KLE，
∴KE＝LE，
∴CK＝KE．
11．解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）△ADE是直角三角形．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴△ADE是直角三角新；
（3）∠A+∠D＝90°．
∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，
∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝90°．
12．解：（1）如图，∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠1+∠BEF＝∠2+∠AFD＝90°，
∴∠BEF＝∠AFD，
∵∠BFE＝∠AFD（对顶角相等），
∴∠BEF＝∠BFE；
（2）∵BC＝80cm，BE：EC＝3：5，
∴EC＝80×＝50cm，
由勾股定理得，AB＝＝＝60cm，
∴S△AEC＝EC?AB＝×50×60＝1500cm2，
S△ABC＝AB?BC＝×60×80＝2400cm2．
13．（1）证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝2.4．
14．解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠A＝∠2（ 同角的余角相等）．
同理可证，
∴∠1＝∠B．
故答案为：∠2；∠2；同角的余角相等；∠B；
（2）点A到直线BC的距离＝12cm．
C到直线AB的距离为线段 CD的长度．
S△ABC＝AC×BC＝AB×CD．
∵AC＝12，BC＝5，AB＝13，代入上式，解得
CD＝cm．
故答案为：12；CD；AC；BC；AB；CD；．