2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明之角平分线选择题专项（一）（Word版，附答案解析）

八年级数学北师大版下册
第一章《三角形的证明》之角平分线专项（一）
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．无法确定
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果∠A＝30°，AB＝4cm，那么CE等于（　　）
A．cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂
足为E，若DE＝2，则AB的长为（　　）
A．6
B．+4
C．+2
D．2+2
5．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，BC＝10，则PE的最小值为（　　）
A．8
B．5
C．4
D．2
6．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　）
A．64
B．48
C．32
D．42
7．对于下列说法：
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；
④直角三角形只有一条高线．
正确的有（　　）
A．①②③④
B．①③
C．①②③
D．①②④
8．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（　　）
A．1000m
B．800m
C．200m
D．1800m
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　）
A．8
B．7
C．6
D．5
10．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（　　）
A．7
B．9
C．11
D．14
11．如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（　　）
A．20
B．12
C．10
D．8
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（　　）
A．5：4
B．5：3
C．4：3
D．3：4
13．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
14．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
15．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）
A．3
B．
C．2
D．6
16．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（　　）
A．等于3
B．大于3
C．小于3
D．无法确定
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（　　）
A．15
B．30
C．45
D．60
18．如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若OQ＝4，则点P到OM的距离为（　　）
A．2
B．
C．3
D．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE平分∠ACB交AB于点E．EF⊥BC于点F，若EF＝4，则线段AE的长为（　　）
A．2
B．
C．2+2
D．3
20．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
参考答案
1．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．
由作图可知：AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD的最小值为2，
故选：A．
2．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴∠A＝∠ABE，
∵ED⊥AB，
∴AD＝AB＝2，
∴DE＝AD＝，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴CE＝DE＝，
故选：A．
3．解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，
∴OD＝OE＝OM，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴S△ABC＝AC?BC＝×AB?OE+AC?OD+BC?OM，
∴＝+?OM+，
∴OM＝2，
故选：B．
4．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，∠AFD＝∠BFD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝BAC＝30°，
∴AD＝2DF＝4，
∵∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠B＝45°，
∴BF＝DF＝2，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2，
故选：D．
5．解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AE＝PE，ED＝PE，
∴AE＝ED＝PE，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故选：C．
6．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
＝
＝×AC×4++
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16＝32，
故选：C．
7．解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；
②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；
③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；
④直角三角形有三条高线，错误；
故选：B．
8．解：∵AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC，
∴DC＝D点到AB的距离，
∵BC＝1000m，BD＝800m，
∴DC＝200m，
∴D点到AB的最短距离＝200m，
故选：C．
9．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝4．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，
∴28＝×8×4+×AC×4，
∴AC＝6．
故选：C．
10．解：如图，
∵CD：BD＝3：4．
设CD＝3x，则BD＝4x，
∴BC＝CD+BD＝7x，
∵BC＝21，
∴7x＝21，
∴x＝3，
∴CD＝9，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝9，
∴点D到AB边的距离是9，
故选：B．
11．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
＝×（AB+BC+AC）×OD
＝×10×2
＝10，
故选：C．
12．解：过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），
∴DF＝CD，
设DF＝CD＝R，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，
∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，
∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，
故选：B．
13．解：作PQ′⊥OM于Q′，
∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，
∴∠POQ′＝30°，
∴PQ′＝OP＝2，
由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，
故选：B．
14．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴BC边上的高＝3×4÷5＝，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，
则S△ABC＝×3h+×4h＝×5×，
解得h＝，
S△ABD＝×3×＝BD?，
解得BD＝．
故选：A．
15．解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
16．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，
∴PH＝PD＝3，
∵点E是射线OB上的一个动点，
∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．
故选：A．
17．解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝5，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×12×5＝30，
故选：B．
18．解：过P作PF⊥OM，PE⊥ON，
∵OP平分∠MON，
∴OE＝OF，∠1＝∠2，
∵PQ∥OM，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3＝∠MON＝15°，
∴OQ＝PQ，∠4＝30°，
∴PQ＝2PE＝4
∵OQ＝4，
∴PE＝PM＝2．
故选：A．
19．解：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，EF⊥BC，
∴∠ACB＝∠EFB＝90°，
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF＝4，
∵∠B＝30°，
∴BE＝2EF＝8，BF＝EF＝4，
∴BC＝CF+BF＝4+4，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝＝＝，
∴AE＝AB﹣BE＝，
故选：B．
20．解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ＝×3×4＝6．
故选：D．