9.3.3 平行四边形的判定及性质同步训练（含解析）

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初中数学苏科版八年级下册
9.3
平行四边形的判定及性质
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.下列结论正确的是（???
）
A.?平行四边形是轴对称图形????????????????????????????????????B.?平行四边形的对角线相等
C.?平行四边形的对边平行且相等?????????????????????????????D.?平行四边形的对角互补，邻角相等
2.下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　）
A.?3∶4∶3∶4???????????????????????B.?3∶3∶4∶4???????????????????????C.?2∶3∶4∶5???????????????????????D.?3∶4∶4∶3
3.若以A(-1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在(??
)
?
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
4.如图所示,四边形
的对角线
和
相交于点
,下列判断正确的是（??
）
A.?若
，则
是平行四边形
B.?若
，则
是平行四边形
C.?若
，
，则
是平行四边形
D.?若
，
，则
是平行四边形
5.如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC，AE∥DC∠B=60°,BC=3,△ABE的周长为6,则四边形ABCD的周长是（???
）．
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?16
6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（??
）
A.?∠ADE=∠CBF????????????????????????B.?∠ABE=∠CDF????????????????????????C.?DE=BF????????????????????????D.?OE=OF
7.如图，点
E
，
F
是?ABCD
对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；
③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD
中，添加一个条件，使四边形
DEBF
是平行四边形，可添加
的条件是(???
)
A.?①②③????????????????????????????????B.?①②④????????????????????????????????C.?①③④????????????????????????????????D.?②③④
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（??
）
A.?一直不变???????????????????????B.?一直增大???????????????????????C.?先增大后减小???????????????????????D.?先减小后增大
9.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
10.如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝
；④S△AEF＝
.其中正确的有（　　）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.在四边形ABCD中，AB∥CD
，
AD∥BC
，
如果∠B＝50°，则∠D＝________．
12.如图，在平行四边形
中，
两点均在对角线
上．要使四边形
为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是________（写出一个即可）．
?
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=
BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=________．
14.如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC
，
GH∥AB
，
且CG＝2BG
，
S△BPG＝1，则S□AEPH＝________．
15.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=3，AB=5，则CD=________．
16.如图，在10个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是网格的一个顶点，以点P为顶点作格点平行四边形（即顶点均在格点上的四边形），请你写出所有可能的平行四边形的对角线的长________?
17.如图在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,四条内角平分线围成四边形EFGH面积为
,?
?则平行四边形ABCD面积为________
18.如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有________次.
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19.已知：如图，AD＝BC且AD∥BC，
E、F是AC上的两点，且AF＝CE.
求证：DE＝BF且DE∥BF.
20.如图，在
中，
是它的一条对角线，过
两点分别作
，垂足分别为
，延长
分别交
于点
.求证：四边形
是平行四边形.
21.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积．
22.如图，在?ABCD中，O是BD的中点，E、F分别是BC、AD的中点，M、N分别是OB、OD中点．求证：四边形MENF是平行四边形．
23.如图，在□ABCD中，AC交BD于点O
，
点E，点F分别是OA，OC的中点。求证：四边形BEDF为平行四边形
24.如图，在
中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长．
25.在
中，E,F分别是AB,DC上的点，且
，连接DE,BF,AF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分
，求AF的长.
26.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
27.如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P.
（1）求证：CE=EP.
（2）若点E的坐标为(3，0)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
28.数学活动实验、猜想与证明
（1）问题情境
数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．
（2）解决问题
小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；
（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A不符合题意；
B、平行四边形的对角线不相等，故B不符合题意；
C、平行四边形的对边平行且相等，故C符合题意；
D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D不符合题意．
故答案为：C．
2.【答案】
A
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确，B,C,D错误
故答案为：A.
3.【答案】
C
解：根据条件作图如下，
∴第四点即D点可在一二四象限象限，不可能在第三象限。
故答案为：C
4.【答案】
D
解：∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形的对角线互相平分
所以D能判定ABCD是平行四边形.
故答案为：D.
5.【答案】
A
解：∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形ADCE为平行四边形
∴EC=AD，AE=CD
∵AB=CD
∴AB=AE
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∵△ABE的周长为6，
∴BE=2，
∵BC=3，
∴EC=AD=1，
∴等腰梯形的周长=AB+BC+CD+AD=2+3+2+1=8，
故答案为：A．
6.【答案】
C
解：A、在平行四边形ABCD中，
∵AO=CO，DO=BO，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
若∠ADE=∠CBF，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、若∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AO=CO，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
C、若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点M使DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则此选项错误；
D、若OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故答案为：C.
7.【答案】
D
解：添加条件①，不能得到四边形DEBF是平行四边形，故①不符合题意；
添加条件②∠ADE＝∠CBF
．
∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC
，
AD∥BC
，
∴∠DAC=∠BCA
，
∴△ADE≌△CBF
，
∴DE=BF
，
∠DEA=∠BFC
，
∴∠DEF=∠BFE
，
∴DE
∥BF
，
∴DEBF是平行四边形，故②符合题意；
添加条件③AF＝CE
．
易得AD=BC
，
∠DAC=∠BCA
，
∴△ADF≌△CBE
，
∴DF=BE
，
∠DFE=∠BEF
，
∴DF
∥BE
，
∴DEBF是平行四边形，故③符合题意；
添加条件④∠AEB＝∠CFD
．
∵ABCD是平行四边形，DC=AB
，
DC∥AB
，
∴∠DCF=∠BAE
．
∵∠AEB＝∠CFD
，
∴△ABE≌△CDF
，
∴DF=BE
．
∵∠AEB＝∠CFD
，
∴∠DFE=∠BEF
，
∴DF
∥BE
，
∴DEBF是平行四边形，故④符合题意．
综上所述：可添加的条件是：②③④．
故答案为：D．
8.【答案】
A
解：∵AC⊥BC,BF⊥BC,
∴AC∥BF.
又∵DE∥AB,
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD,DF=DE+EF=AB,
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.
故答案为：A.
9.【答案】
A
解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是
×
CF×hCF
，
∵△ABC的面积是24，BC=4CF
∴
BC×hBC=
×4CF×hCF=24，
∴CF×hCF=12，
∴阴影部分的面积是
×
×12=3，
故答案为：A．
10.【答案】
C
解：连接EC，作CH⊥EF于H.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝
，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD?CH＝
，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝
S△AEC＝
?S△ABD＝
故④错误，
故答案为：C.
二、填空题
11.【答案】
50°
解：在四边形ABCD中，AB∥CD
，
AD∥BC
，
根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得∠B＝∠D＝50°.
12.【答案】
AE=CF(答案不唯一)
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．答案不唯一．
13.【答案】
3
解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM=
CB，MN∥BC，又CD=
BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=
AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
14.【答案】
4
解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP
，
同理可得S△PHD=S△DFP
，
S△ABD=S△CDB
，
∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP
，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG
．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
15.【答案】2
【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质
解：过点C作CE∥AD交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，CE=AD=3，∠CED=∠D=2∠B，
∵∠CED=∠B+∠BCE，
∴∠B=∠BCE，
∴BE=CE=3，
∴AE=AB﹣BE=5﹣3=2．
故答案为：2．
16.【答案】1或或或2或3．
解：平行四边形有：PABD，PACE，PMNE，PMQE，APMD，APNE，PQGA．
平行四四边形PABD，平行四边形PMNE对角线长是1和；
平行四边形PACE和PMQE的对角线长是：和；
平行四边形APNE的对角线长是：2和；
平行四边形PQGA的对角线长是3和
．
故答案为：1或或或2或3．
17.【答案】
解：过点A作AM⊥BC交BC于M，延长AF交BC于N，连接EF
∵
ABCD
为平行四边形
????，AN平分∠BAD
∴∠BNA=∠DAN,∠BAN=∠DAN
∴∠BNA=∠BAN
∵∠ABC=60°
∴△ABN为等边三角形
∴AN=NB=AB=4
∵AM⊥BC
∴AM=
∵BE平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠EBC=30°,∠NCG=60°
∵∠BNA=60°
∴∠BEN=90°，EN//HC
同理可得BH//DF
∴
四边形EFGH为矩形
∵四边形EFGH面积为?
∴EF=1，FG=
∴EG=2
∵EN//GC，EN=GC
∴四边形ENCG为平行四边形
∴NC=EG=2
∴BC=4+2=6
∴
平行四边形ABCD面积
=BC×AM=6×
故答案为：
18.【答案】
3
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12,AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1=12s，
∴Q运动的路程为12×4=48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12=4次.
第一次PD=QB时，12?t=12?4t，解得t=0，不合题意，舍去；
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12?t=4t?12，解得t=4.8；
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12?t=36?4t，解得t=8；
第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12?t=4t?36，解得t=9.6.
∴在运动以后，以P、D.
Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故答案为3.
三、解答题
19.【答案】
证明：∵AD＝BC且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴DE=BF，∠DEF=∠BFA，
∴DE∥BF
20.【答案】
证明：
，
（同位角相等两直线平行），
（平行四边形的对边平行），
四边形
是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
21.【答案】
（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE；∵BE=AF，∴AF=DE；∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×4=2，∵BE=DE，∴BH=DH=2，∴BE=
=
，
∴DE=
，
∴四边形ADEF的面积为：DE?DG=
．
22.【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FDN＝∠EBM，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴DF＝BE，
∵O是BD的中点，
∴OD＝OB，
∵M、N分别是OB、OD中点，
∴DN＝BM，
在△DNF和△BME中，
，
∴△DNF≌△BME（SAS），
∴FN＝EM，∠DNF＝∠BME，
∴∠FNM＝∠EMN，
∴FN∥EM，
∴四边形MENF是平行四边形．
23.【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO????
.
又∵点E，点F分别是OA，OC的中点
∴EO=
，FO=
????
∴EO=FO????????????????
∴四边形BEDF为平行四边形
24.【答案】
（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形。
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝
＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝
，
∴BD＝2OB＝
．
25.【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
又
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形
又∵AF平分
∴
在
中，
∴△ADE为直角三角形且
又∵DE∥BF
∴
在
中，
26.【答案】
（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线.
∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形
（2）证明：∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF
27.【答案】
（1）证明：在OC上截取OK=OE.连接EK，如图1.
∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°.
∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP=45°，∴∠EKC=∠PAE=135°，∴CK=EA.
∵EC⊥EP，∴∠CEF=∠COE=90°，
∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，∴∠KCE=∠CEA.
在△CKE和△EAP中，∵???
，
∴△CKE≌△EAP，∴EC=EP；
（2）解：y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形.
如图，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，如图2，
则∠CQB=∠CEP=90°，所以∠OCE=∠CBQ.
在△BCM和△COE中，∵
，
∴△BCM≌△COE，∴BM=CE.
∵CE=EP，∴BM=EP.
∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形.
∵△BCM≌△COE，∴CM=OE=3，∴OM=CO﹣CM=2.
故点M的坐标为（0，2）.
28.【答案】
（1）MD=MC
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠B=90°
∵点M为AB的中点
∴AM=BM
在△AMD和△BMC中
∴△AMD≌△BMC
∴MD=MC
（2）∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AM=BM，CN=DN
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴AM=BM=
CN=DN
∴四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN
∴
∴CF=EF
∵CE⊥AD
∴CE⊥MN
∴MN垂直平分CE
∴ME=MC
（3）∠BME=3∠AEM，证明如下：
∵四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC
∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC
∵AB=2BC，AB=CD=2CF
∴CF=MN
∴∠NCM=∠NMC
∴∠BMC=∠NMC
∵ME=MC，MF⊥CE
∴∠EMF=∠NMC
∴∠BME=∠EMF＋∠NMC＋∠BMC=3∠EMF=3∠AEM
即∠BME=3∠AEM
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精品试卷·第
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