9.4.3 菱形的判定及性质同步训练（含解析）

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初中数学苏科版八年级下册
9.4
菱形的判定及性质
同步训练
一、单选题（本题共10题，每题3分，共30分）
1.下列命题中，真命题是（　　）.
A.?对角线相等且互相垂直的四边形是菱形???????????????B.?有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C.?菱形是对角线互相垂直平分的四边形??????????????????D.?菱形的对角线相等
2.菱形的两条对角线的长分别为6和8，则菱形的高为（
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB
，
AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（　　）.?
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?12
4.如图，在
ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是(???
)
A.?梯形????????????????????????????????????B.?矩形????????????????????????????????????C.?菱形????????????????????????????????????D.?正方形
5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（
??）
A.?CF＞GB?????????????????????????????B.?GB=CF?????????????????????????????C.?CF＜GB?????????????????????????????D.?无法确定
6.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（　　）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
7.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　）
A.?108°?????????????????????????????????????B.?72°?????????????????????????????????????C.?90°?????????????????????????????????????D.?100°
8.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（???
）
A.?①③??????????????????????????????????B.?②④??????????????????????????????????C.?①③④??????????????????????????????????D.?②③④
9.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于
AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（?
）
A.?AB平分∠CAD???????????????????????B.?CD平分∠ACB???????????????????????C.?AB⊥CD???????????????????????D.?AB=CD
10.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OG=
AB；②图中与△EGD全等的三角形共有5个；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF=S△ABF
，
其中正确的结论是（??
）
A.?①③?????????????????????????????????B.?①③④?????????????????????????????????C.?①②③?????????????????????????????????D.?②③④
二、填空题（本题共6题，每题2分，共12分）
11.菱形两条对角线长分别是4和6，则这个菱形的面积为________?．
12.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为________．
13.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF的面积为________?。
14.如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=________?度．
15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．
16.在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：(1)在直线l上任取一点B；(2)以B为圆心，BA长为半径作弧，交直线l于点C；(3)分别以A、C为圆心，BA长为半径作弧，两弧相交于点D；(4)作直线AD．直线AD即为所求．
小云作图的依据是________．
三、解答题（本题共9题，共88分）
17.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE
，
过点C作CF∥BE交DE的延长线于F
．
求证：四边形BCFE是菱形.
18.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=4，AC=5，求菱形ADCF的面积．
?
19.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD和CE，BD与CE交于点F．
（1）∠AEC的度数；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
20.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ.
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，BE=10，求PQ的长.
21.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，DC延长线上，且AE＝CF，连接BE，BF，过点E作EG∥BF，过点F作FG∥BE，EG，FG交于点G.
（1）求证：四边形BEGF是菱形；
（2）若AD＝3AE＝6，求四边形BEGF的周长.
22.在Rt△ABC中，∠BAC=
,D是BC的中点，E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD
的面积.
23.如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、QE
（1）求证：四边形BPEQ是菱形：
（2）若AB＝6，F是AB中点，OF＝4，求菱形BPEQ的面积.
24.如图，在平面直角坐标系中，直线
∶
分别与
轴、
轴交于点B、C，且与直线
∶
交于点A.
（1）请写出A(
________，________
)，B(________，________)，C
(
________，________
).
（2）若D是线段OA上的一点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式.
（3）在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标.
25.如图1，有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM.
（1）求证：四边形CMPN是菱形；
（2）当P，A重合时，如图2，求MN的长；
（3）设△PQM的面积为S，求S的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A选项错误；有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，故B选项错误；菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，故C选项正确；菱形的对角线不一定相等，故D选项错误．
2.【答案】
A
解：由题意知AC=6，BD=8，则菱形的面积S=×6×8=24，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，AO=3，BO=4，
∴AB==5，
∴菱形的高h==
．
故选A．
3.【答案】
C
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵AC平分∠DAB
，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝DC
，
四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．
4.【答案】
C
解：∵在
ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠
FOA=∠EOC，AO=CO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
故答案为：C.
5.【答案】
B
解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E
，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故答案为：B．
6.【答案】
B
解：连接DE、BD，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
在Rt△ADE中，DE=
．
故选：B．
7.【答案】
B
解：连接PA，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，
∴PA=PC，
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，
∴PA=PD，
∴PD=PC，
∴∠PCD=∠CDP=36°，
∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；
故选：B．
8.【答案】
C
直角三角形斜边上的中线
解：如图，连接FC，
①
∵F为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴FC=FA，E点在AC的垂直平分线上，
又∵△EAC为等边三角形，
∴AE=EC，F点在AC的垂直平分线上，
∴EF为AC的垂直平分线，
则EF⊥AC，符合题意；
②∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+30°=90°，即DA⊥AC，
又∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∵F为AB的中点，△ABD为等边三角形，
∴DF⊥AB，
∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=60°+30°=90°，即AE⊥AB，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形（两边分别平行的四边形是平行四边形）；
在△AFD中，由于∠DFA=90°，
∴AD>FD,?
∴
四边形ADFE不是菱形?，不符合题意；
③?∵△ABD为等边三角形，
∴AD=AB，
∵AF=BF，
∴AF=AB=AD，
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴FG=AG，
∴AG=AF=×AD=AD，符合题意；
④∵?AF=BF，
∠DFB=∠EAF=90°（已证），
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴AD=EF，
又∵AD=AB，
∴EF=AB，
∴
△DBF≌△EFA（HL），符合题意．
故答案为：C.
9.【答案】
D
解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD，
故答案为：D．
10.【答案】
B
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=
CD=
AB，
∴①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，
④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，
∴②不正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=
AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积=
△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；
③正确；
正确的是①③④．
故选B．
二、填空题
11.【答案】12
【解析】解：由题意，知：S菱形=×4×6=12．
故答案为12．
12.【答案】
8
解：由题意得，四边形
?为菱形
?
?
在
?中，
?
?.
13.【答案】
24
解：连接AE，∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∵BF为∠ABE的平分线，∴∠FBE=∠AFB，∴四边形ABEF为平行四边形
∵AB=AF，
∴根据勾股定理，即可得到AE=2=8.
∴四边形ABEF的面积=×AE×BF=24.
14.【答案】50
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO=50°．
故答案为50．
15.【答案】
20
解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=
AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2
，
即（13-x）2+62=（2x）2
，
解得：x=5，
故四边形BDFG的周长=4GF=20．
16.【答案】
四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．
解：由作法得：BA＝BC＝AD＝CD，
所以四边形ABCD为菱形，
所以AD∥BC．
故答案为：四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．
三、解答题
17.【答案】
证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝2DE，BC＝2DE，∴BE＝BC，∴平行四边形BCFE是菱形．
18.【答案】
（1）证明：∵AF∥BD，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD中点，∴AE=ED，在△BDE和△FAE中，
，
∴△AFE≌△DBE．
（2）证明：连接CF．∵△AFE≌△DBE，∴AF=BD∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=DC=DB，∴AF∥CD，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵DA=CD，∴四边形ADCF是菱形．（3）∵S△ABC=×AB×AC=10，∵四边形ADCF是菱形，BD=DC，S△ABC=2S△ADC
，
∴S菱形ADCF=2S△ADC=10．
19.【答案】
（1）解：根据旋转可得∠CAE=100°，AC=AE，
∵∠AEC+∠ACE+∠CAE=180°，
∴∠AEC=（180°﹣100°）=40°；
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°，AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
20.【答案】
（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB=PE，OB=OE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP(ASA)，
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵PB=PE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴AE
8
设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+(8﹣y)2=y2
，
解得
，
∴BP=PE
，
∵四边形BPEQ是菱形，
∴
，
在Rt△EOP中，
，
∴
.
21.【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAB＝∠FCB＝90°，AB＝BC，
在△AEB与△CFB中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF，
∵EG∥BF，FG∥BE，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∴四边形BEGF是菱形
（2）解：∵四边形BEGF是菱形，
∴EB＝BF＝FG＝GE，
∵AD＝3AE＝6，
∴AE＝2，AB＝AD＝6，
∴BE＝
＝2
，
∴四边形BEGF的周长为：4×2
＝8
.
22.【答案】
（1）证明：证明：在Rt△ABC中，∠BAC=
，D是BC的中点，
∴AD=
BC=DC=BD，
∵AF∥BC，
∴∠DBE=∠AFE，
又∵E是AD中点，
∴ED=EA，
又∠BED=∠FEA，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）证明：由（1）知AF=BD，即AF=DC，
∴AF∥DC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AD=DC，
∴四边形ADCF是菱形
（3）解：（解法一）连接DF，
∵AF
DC，BD=CD，
∴AF
BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∴
；
（解法二）在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，
∴BC=
，
设BC边上的高为
，
则
，
∴
，
∴
23.【答案】
（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠PEO＝∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE＝QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵AB＝6，F是AB的中点，
∴BF＝3.
∵四边形BPEQ是菱形，
∴OB＝OE.
又∵F是AB的中点，
∴OF是△BAE的中位线，
∴AE∥OF且OF＝
AE.
∴∠BFO＝∠A＝90°.
在Rt△FOB中，OB＝
＝5，
∴BE＝10.
设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x.
在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2
，
即x2＝62+（8﹣x）2
，
解得：x＝
，
∴BQ＝
，
∴菱形BPEQ的面积＝BQ×AB＝
×6＝
.
24.【答案】
（1）6；3；12；0；0；6
（2）解：设D
???
?????????????????????????????????????????????????????????
由(1)可知C(0，6)
∴OC=6
又∵
∴
解得：
∴D(4，2)????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????
设直线CD的解析式为
???
∴
解得：
∴直线CD的解析式为
（3）
解：（1）∵两个直线交于点A
∴-x+6=x，解得x=6，代入y=3，∴点A的坐标为（6,3）
令y=0，x=12，∴点B的坐标为（12,0）
令x=0，y=6，则点C的坐标为（0,6）
（2）解：设D（x，x）?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由(1)可知C(0，6)
∴OC=6
又∵
三角形COD的面积为12
∴
S△COD=×6×x=12
解得：
x=4
∴D(4，2)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0，k，b为常数）?
?
?
∴?
解得：
k=-1，b=6
∴直线CD的解析式为
y=-x+6
（3）如图所示，分三种情况考虑:
（i）当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°,得到四边形OP1Q1C为正方形，此时QP1=OP1=OC=6，即Q1(6，6);
(ii)当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为(0，6)，得到Q2纵坐标为3,
把y=3代入直线OQ2解析式y=-x中，得:x=-3，此
时Q2(-3，3);
(ii)当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，此时Q3(
，-
),
综上，点Q的坐标是(6，6)或(-3，3)或(
，-
),
25.【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC.
由折叠的性质可知∠MNC＝∠PNM，NC＝NP，
∴∠PMN＝∠PNM.
∴PM＝PN.
∵NC＝NP，
∴PM＝CN.
∵MP∥CN，
∴四边形CMPN是平行四边形.
∵NC＝NP，
∴四边形CMPN是菱形
（2）解：当点P与点A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8－x.
在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2
，
即42＋x2＝（8－x）2
，
解得x＝3.
∴CN＝8－3＝5.
∵四边形CMPN是菱形，AC＝
，
∴MN＝
.
（3）解：∵四边形CMPN是菱形，
∴S＝
∵S菱形CMPN＝CN·AB，
∴当点M与点D重合时，如图，此时CN最短，菱形CMPN的面积最小，
∵
，四边形CMPN是菱形，
∴四边形CMPN是正方形，
则S最小＝
；
当点P与点A重合时，CN最长，菱形CMPN的面积最大，
则S最大＝
×5×4＝5.
∴S的取值范围是
.
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精品试卷·第
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（共
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