9.4.2 菱形的性质同步训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
初中数学苏科版八年级下册
9.4
菱形的性质
同步训练
一、单选题（本题共10题，每题3分，共30分）
1.菱形具有而矩形不具有的性质是（??
）
A.?两组对边分别平行???????????B.?对角线互相垂直???????????C.?对角线互相平分???????????D.?两组对角分别相等
2.如图，菱形ABCD
中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（???
）
A.?AB∥DC?????????????????????????????B.?AC=BD?????????????????????????????C.?AC
⊥BD?????????????????????????????D.?OA=OC
3.在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点的坐标A，B，C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），则顶点D的坐标为（?
）
A.?（0，﹣1）???????????????????????B.?（﹣2，1）???????????????????????C.?（2，1）???????????????????????D.?（0，﹣2）
4.已知某菱形的周长为
，高为
，则该菱形的面积为（??
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
5.如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB=4：5，则下列结论：①DE=8cm；②BE=4cm；③BD=
?cm；④AC=
cm；⑤S菱形ABCD=80cm，正确的有（??
）
A.?①②④⑤???????????????????????????B.?①②③④???????????????????????????C.?①③④⑤???????????????????????????D.?①②③⑤
6.在菱形
中
，
，
边上的高为(???
)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.如图，菱形ABCD边长为5cm，P为对角线BD上一点，PH⊥AB于点H，且PH＝2cm，则△PBC的面积为（???
）cm2
．
A.?8???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?5
8.如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8
，最小值为8，则菱形ABCD的边长为(???
)
A.?4
???????????????????????????????????????B.?10???????????????????????????????????????C.?12???????????????????????????????????????D.?16
9.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为（??
）
A.?6
???????????????????????????????????????B.?12???????????????????????????????????????C.?20???????????????????????????????????????D.?24
10.在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②AP2+BP2=CD2；③∠DCP=75°；④∠CPA=150°，其中正确的是(???
)
A.?①②????????????????????????????????B.?①②③????????????????????????????????C.?①②④????????????????????????????????D.?①②③④
二、填空题（本题共8题，每题2分，共16分）
11.已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=8，则菱形ABCD的面积为________.
12.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，则DH等于________．
13.如图，在菱形
ABCD
中，E
为
AB
上一点，沿
CE
折叠△BEC，点
B
恰好落在对角线
AC上的
?处.若∠DAB=56°，则
的度数为________.
14.如图，菱形纸片ABCD，AB＝4，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B′处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N.则BM的长为________.
15.如图，菱形
的边长为2，
，点Q是
的中点，点P是对角线
上一动点，则
最小值为________.
16.如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连结DE交AC于点O，连结BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝________度．
17.蜜蜂采蜜时，如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”，告诉同伴蜜源的方向．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2020厘米后停下，则这只蜜蜂停在________点．
18.如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为________.
三、解答题（本题共10题，共84分）
19.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，求菱形ABCD的面积.
20.如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．
21.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD＝∠CBE．
22.用一张长12cm宽5cm的矩形纸片折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（方案一）,小丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（方案二）.谁折出的菱形面积更大？请你通过计算说明.
23.菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC=8，BD=6，求AB边上的高.
24.如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E
，
F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P
，
求∠FPC
．
25.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF，已知BF＝8，DF＝4，求CD的长．
26.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点D作
，且
，连接
，连接
交
于点F.
（1）求证：
；
（2）若菱形ABCD的边长为4，
，求
的长.
27.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为菱形ABCD内对角线BD左侧一点，连接BE、CE、DE.
（1）若AB＝6，求菱形ABCD的面积；
（2）若∠BED＝2∠A，求证：CE＝BE+DE.
28.如图，在矩形ABCD中，AC＝60
cm
，
∠BAC＝60°，点E从点A出发沿AB方向以2
cm/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿CA方向以4
cm/秒的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E
，
F运动的时间是t秒(0，
连接OE
，
EF.
（1）求证：AE＝OF；
（2）四边形AEOF能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△OEF为直角三角形？请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：A、两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直；故B符合题意；
C、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故C不符合题意；
D、两组对角分别相等是平行四边形的基本性质，两者都具有，故D不符合题意；
故答案为：B.
2.【答案】
B
解：∵四边形ABCD是菱形；
∴AB∥DC，故A正确，不合题意；
无法得出AC=BD，故B错误，符合题意；
AC⊥BD，故C正确，不合题意；
OA=OC，故D正确，不合题意；
故答案为：B．
3.【答案】
A
解：如图所示，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，A、B、C分别为（﹣2，0），（0，1），（2，0），
∴D（0，﹣1）.
故答案为：A.
4.【答案】
A
解：菱形的边长：
.
菱形的面积：
.
故答案为：A.
5.【答案】
B
解：
①
、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=40÷4=10cm,
∴DE=AB=8cm，正确；
②
，∵DE⊥AB，∴AE=?,
∴BE=AB-AE=10-6=4cm，正确；
③BD==,
正确；
④
∵OB=BD=2
，
∴AC=2AO=2=2=8cm,
正确；
⑤
S菱形ABCD=AB×DE=10×8=80cm2?≠
80cm
，错误.
综上，
①②③④
正确.
故答案为：B.
6.【答案】
C
解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥BO，且AC=2AO，BD=2BO.
在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO=
=4.
∴BD=2BO=8.
∴菱形的面积为
BD×AC=
×6×8=24.
设BC变上的高为h，则BC×h=24，即5h=24，h=4.8.
故答案为：C.
7.【答案】
D
解：如图，过点P作PM⊥BC于点M．
∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴直线BD平分∠ABC．
又∵PH⊥AB，
∴PH＝PM＝2cm．
∴S△PBC＝
BC?PH＝
×5×2＝5（cm2）．
故答案为：D．
8.【答案】
B
解：当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，
当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B.
9.【答案】
B
解：如图所示，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝
∠BCD，AB＝5，OA＝
AC＝4，AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠BCD＝∠CBE，OB＝
＝
＝3，
∴△ABC的面积＝
AC×OB＝
×8×3＝12，
∵BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝
∠CBE，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴△ACG的面积＝△ABC的面积＝12，
故答案为：B.
10.【答案】
C
解：∵DE为线段AP的垂直平分线
∴DA=DP
∵四边形ABCD为菱形
∴DA=CD
∴DP=CD，即①正确；
∵AE=EB，AO=OP
∴OE∥PB，
∴∠APB=90°，即AP2+BP2=AB2
，
②正确；
若∠DCP=75°，则∠CDP=30°
∵∠ADC=60°
∴DP平分∠ADC，③错误；
∵∠ADC=60°，DA=DP=DC
∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC
∴∠CPA=（360°-60°）=150°，即④正确
故答案为：B.
二、填空题
11.【答案】
40
解：∵菱形
的对角线
∴菱形的面积
故答案为：40.
12.【答案】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝
＝10，
∵S菱形ABCD＝
?AC?BD，
S菱形ABCD＝DH?AB，
∴DH?10＝
×12×16，
∴DH＝
．
故答案为
．
13.【答案】
96°
解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=56°，
∴∠B=124°，∠CAB=28°，
∵沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B′处，
∴∠CB'E=∠B=124°，
∴∠AEB'=∠CB'E
-∠CAB
=124°-28°=96°，
故答案为：96°.
14.【答案】
解：过点B′作B′E⊥BC，与BC的延长线交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，
∵B′是CD的中点，
∴B′C=2，
∵∠B=60°，
∴∠B′CE=∠B=60°，
∴CE=
B′C=1，B′E=B′C?sin60°=
，
设BM=x，则ME=BC+CE-BM=4+1-x=5-x，
由折叠性质知，B′M=BM=x，
∵B′M2-ME2=B′E2
，
∴x2?(5?x)2＝(
)2
，
解得，x=
，
故答案为：
.
15.【答案】
解：如图所示，连接
，
，
点P是菱形对角线
上一动点，
，
，
当D，P，Q在同一直线上时，
的最小值等于线段
的长，
四边形
是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
又
是
的中点，
，
中，
，
，
，
最小值为
，
故答案为：
.
16.【答案】
50
解：在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO=50°．
故答案为50．
17.【答案】
E
解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，
∴蜜蜂沿沿菱形的边飞行一周走过的路程为8×1=8cm，
∵2020÷8=252…4，
∴飞行2020厘米后停下的点与飞行4cm后停下的点相同，
由图可知，飞行4cm后停在点E，
∴这只蜜蜂停在E点，
故答案为：E．
18.【答案】
解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，????
∵BM=AE，???
∴AD=ME，?????
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，?
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，?
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，????
又∵BM=AE，??
∴△BMF是等边三角形，???
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，????
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，???
∵BC=4，???
∴3t=4，
∴t=
.
故答案为：.
三、解答题
19.【答案】
解：∵菱形ABCD
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∵∠ABD=30°
∴在Rt△AOB中，
∴AC=2AO=6，BD=2BO=
∴
.
20.【答案】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝8．
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32，
∵BO＝
＝4
，
∴BD＝2BO＝8
，
∴菱形ABCD的面积＝
×8×
＝32
．
21.【答案】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDE，
在△BCE和△DCE中
?,
∴△BCE≌△DCE，
∴∠CBE＝∠CDE，
∵∠AFD＝∠CDE，
∴∠AFD＝∠CBE．
22.【答案】解：方案一：
S菱形=×12×5=30（cm2）
,
方案二：设AE=EC=?则BE=12-X
在Rt△ABE中,
,
,解得=
,
S菱形==×5≈35.21（cm2）
答：小丰折出的菱形面积更大．
23.【答案】
解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，∠AOB=90°，
∴AB=5，
∴
×6×8=DE×AB，即
×6×8=DE×5，
解得：DE=
，
即AB边上的高为：
.
24.【答案】解答：解：延长PF交AB的延长线于点G
，
，在△BGF与△CPF中，
，∴△BGF≌△CPF
，
∴GF＝PF
，
∴F为PG中点．又∵EP⊥CD
，
∴∠BEP＝90°，∴EF＝
PG
，
∵PF＝
PG（中点定义），∴EF＝PF
，
∴∠FEP＝∠EPF
，
∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP－∠FEP＝∠EPC－∠EPF
，
即∠BEF＝∠FPC
，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC
，
∠ABC＝180°－∠A＝70°，∵E
，
F分别为AB
，
BC的中点，∴BE＝BF
，
∠BEF＝∠BFE＝
（180°－70°）＝55°，∴∠FPC＝55°．
?
25.【答案】
解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴
AB=CD=BC，
AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
又∵BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴∠F=∠AEB=90°，
设CD的长为
，则BC的长为
，CF的长为8-
，
在Rt△CDF中，
CF2+DF2=CD2
即(8-
)2+42=
2
，
解得：
=5．
答：CD的长为5．
26.【答案】
（1）证明：在菱形ABCD中
OC=
AC，AC⊥BD，
∵DE=
AC，
∴DE=OC，
∵DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴□OCED是矩形，
∴OE=CD.
（2）解：在菱形ABCD中,AB=BC=4，
∵∠ABC=60?，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，OA=
AC=2，
在Rt△AOB中，
，
∵四边形OCED是矩形，
∴OD=CE=OB=
，
在Rt△ACE中，
.
27.【答案】
（1）解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵∠A＝60°，BH⊥AD，
∴∠ABH＝30°，
∴AH＝
AB＝3，BH＝
AH＝3
，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×3
＝18
；
（2）解：如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，
∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，
∵∠BED＝2∠A＝120°，
∴∠BEM＝60°，
又∵BE＝ME，
∴△BEM是等边三角形，
∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，
∴∠MBD＝∠EBC，
∴△MBD≌△EBC（SAS），
∴MD＝EC，
∴CE＝BE+DE.
28.【答案】
（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90?
在Rt△ABC中，∠ACB=90?-∠BAC=30?
∵AE=2t，CF=4t
又∵Rt△COF中，∠ACB=30?
∴OF=
CF=2t
∴AE=OF
（2）∵OF∥AB，AE=OF
∴四边形AEOF是平行四边形
当AE=AF时，平行四边形AEOF是菱形
即：2t=60－4t
解得：t=10
∴当t=10时，平行四边形AEOF是菱形
（3）①当∠OFE=90?时，
则有：EF∥BC
∴∠AFE=∠ACB=30?，∠AEF=∠B=90?
在Rt△AEF中，∠AFE=30?
∴AF=2AE
即：60－4t=2
2t
解得：t=
②当∠OEF=90?时，四边形AEOF是平行四边形
则有：OE∥AC
∴∠AFE=∠OEF=90?
在Rt△AEF中，∠BAC=60?，∠AEF=30?
∴AE=2AF
即：2t=2
（60－4t）
解得：t=12
∴当t=
或t=12时，△OEF为直角三角形．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)