山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测 数学（理）

试卷类型：A
高三数学（理科）试题 2012.1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答卷纸和答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.非选择题答案及解答一律填写在答卷纸上。试题不交，只交答卷纸和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则=
A. B. C. D.
复数等于
A. B.
C. D.
阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，
则判断框中应填的是
A. B.
C. D.
已知向量的夹角为，且
A.1 B.2 C.3 D.4
若点M（）是平面区域内任意一点，点A（-1，2），则的最小值为
A.0 B. C.2- D.4
如图，在一花坛A，B，C，D四个区域种花，现有4种不同的花供选种，
要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为
A.48 B.60 C.72 D.84
若，则的值为
A. B. C. D.
正三角形一个顶点是抛物线的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
若直线与圆相交于P、Q两点，且（其中Q为原点），则K的值为
A. B. C.，-1 D.1，-1
函数的图象大致是
已知数列是首项为2，公差为1的等差数列，是首项为1，公比为2的等比数列，则数列前10项的和等于
A.511 B.512 C.1023 D.1033
若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则 的最小值为
A. B.3 C.8 D.15
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共计16分。
在的展开式中，项的系数为 .
若双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率等
于 .
已知曲线在点（）处的切线斜率为-2，且是的极值点，则a-b= .
关于有以下命题：
①若则；
②图象与图象相同；
③在区间上是减函数；
④图象关于点对称。
其中正确的命题是 。
解答题：本大题共6个小题。满分74分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（本小题满分12分）
已知a>0且，关于x的不等式的解集是，解关于x的不等式。
18.（本小题满分12分）
设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
当时，求a的值；
当的面积为3时，求a+c的值。
（本小题满分12分）
设椭圆E：的上焦点是，过点P（3，4）和作直线P交椭圆于A、B两点，已知A().
求椭圆E的方程；
设点C是椭圆E上到直线P距离最远的点，求C点的坐标。
（本小题满分12分)
已知数列的前n项和为，
证明：数列是等差数列，并求；
设，求证：.
（本小题满分12分）
已知函数，（K常数）
求函数f(x)的单调区间；
若恒成立，求K的取值范围。
（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限。
（1）求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切；
（2）若，求的值.
高三数学（理科）参考答案
2012.1
选择题：1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.C 9.A 10.C 11.D 12.A
填空题：13.16 14.3 15.10 16.②③④
解答题：
解：关于x的不等式的解集是， …………………………2分
∵
∴ ……………………4分
由（1）得，解得或； ……………………7分
由（2）得，解得或； ………………………10分
∴原不等式的解集是. …………………………12分
解：（1）. …………………………2分
由正弦定理得. ………………………… 4分
. …………………………6分
的面积，
. …………………………8分
由余弦定理， …………………………9分
得4= ,即. …………………………10分
∴， …………………………11分
∴. …………………………12分
解：（1）由A（）和P（3，4）可求直线的方程为：y=x+1…………………………1分
令x=0，得y=1,即c=1 …………………………2分
椭圆E的焦点为、，由椭圆的定义可知
…………………………4分
∴ …………………………5分
椭圆E的方程为 …………………………6分
设与直线平行的直线: …………………………7分
，消去y得 ………………………… 8分
，即 …………………………9分
要使点C到直线的距离最远，则直线L要在直线的下方，所以 ……………10分
此时直线与椭圆E的切点坐标为，故C（为所求。 ……………12分
证明：（I)由知，
当时：， …………………………1分
即，
∴，对成立。 …………………………3分
又是首项为1，公差为1的等差数列。
……………………5分
∴ ……………………6分
…………………… 8分
∴
= …………………… 12分
解：（1）由可得， ………………………1分
∵的定义域为（0，+），
∴当时，，在（0，+）是增函数。 ……………………3分
当k>0时，由可得，
∴f(x)在（0，）是增函数，在（，+）是减函数。 ……………………5分
综上，当时，f(x)的单调增区间是（0，+）；
当K>0时，f(x)的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+）.…………6分
由恒成立，可得恒成立，.
即恒成立。 ………………………8分
设，则，
令得.
当时，，
在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减。 ………………10分
在x=e时取得极大值，且为g(x)在（0，+）上的最大值。
………………………11分
k的取值范围是. ………………………12分
解：（1）由已知F（），设A（），则
圆心坐标为，圆心到y轴的距离为. ……………………… 2分
圆的半径为， ………………………4分
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切。 ……………………… 5分
设P（0，），B（），由，得.
………………………6分
. ……………………… 7分
∴①
②
③ …………………………10分
∵.
将③变形为，∴. …………………………11分
将代入②，整理得 …………………………12分
代入①得. …………………………13分
即. …………………………14分