《相交线与平行线》题型解读2
两直线平行的判定与性质题型
【知识梳理】
1.“三线八角”
三条直线中，若其中一条直线与另两条直线相交（三条直角交于一点的情况除外），会形成八个角：4对同位角、2对内错角、2对同旁内角.如图所示：
（1）三线各自的名称：与两线都相交的直线EF叫“截线”直线AB、CD叫“另两线”；
（2）同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
（3）内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
（4）同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
2.“三线八角”识别步骤------“一看三线，二看截线，三看位置”
第一步：先明确“三线”、“截线”与“另两线”
①“三线”：即组成两个角的四条边中，有一条边是共同的，所以两个角是由三条线相交组成的；
②“截线”与“另二线”：组成两个角的四条边中，那条共同的边就是“截线”；其余两条边就是“另两线”；
如图，∠B的两条边分别是射线AB与线段BC，∠C的两条边分别是线段BC与射线CD，其中线段BC是共同的边，它就是“截线”；而另两条射线AB、CD就是“另二线”。
第二步：明确位置-----从角的名称的语文理解角度，用两个方位位置确认各类角
①同位角的识别方法：“同位角”，相同位置的两个角，“相同位置”指的是两个位置相同：两线的同上或同下；截线的同左或同右（同一侧）。如图中的
∠1与∠5：均位于“两线”的上方、“截线”右侧（即均位于图形的右上角）；
∠2与∠6：均位于“两线”的上方、“截线”左侧（即均位于图形的左上角）；
∠3与∠7：均位于“两线”的下方、“截线”左侧（即均位于图形的左下角）；
∠4与∠8：均位于“两线”的下方、“截线”右侧（即均位于图形的右下角）；
②内错角的识别方法：“内错角”，在图形内部，且位置相错的两个角，“图形内部”指的是“两线的内部”，“相错”指的是分别位于“截线”的两侧。如图中的
∠3与∠5：均位于“两线”的内部、“截线”两侧（∠3在截线的左侧、∠5在截线的右侧）；
∠4与∠6：均位于“两线”的内部、“截线”两侧（∠4在截线的右侧、∠5在截线的左侧）；
③同旁内角的识别方法：“同旁内角”，在图形的内部，且位置在同一侧的两个角，“图形内部”指的是“两线的内部”，“同一侧”指的是均位于“截线”的同一侧。如图中的
∠3与∠6：均位于“两线”的内部、“截线”左侧；
∠4与∠5：均位于“两线”的内部、“截线”右侧；
2.平行线的六种判定方法
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
（4）在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
（简称为：平行于同一直线的两直线平行）
（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行
（简称为：垂直于同一直线的两直线平行）
（6）在同一平面内，不相交的两条直线平行（定义判别）
3.补充
（1）平行线的一组同位角的角平分线平行；
（2）平行线的一组内错角的角平分线平行；
（3）平行线的一组同旁内角的角平分线互相垂直；
4.两直线平行的性质
（1）两直线平行，同位角相等
（2）两直线平行，内错角相等
（3）两直线平行，同旁内角互补
【典型例题】
例1.下列四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（
）
解析：排除法解题，先明确“截线”与“另两线”.
选项A，组成∠2、∠1的各边是四条线，不符合“三线”，排除；
选项B，组成∠2、∠1的各边是三条线，它们均位于图形的右上角，正确；
选项C，组成∠2、∠1的各边是四条线，不符合“三线”，排除；
选项D，组成∠2、∠1的各边是四条线，不符合“三线”，排除；故选B
例2.如图，下列说法错误的是（
）
A.
∠1和∠3是同位角
B.
∠2和∠3是内错角
C.
∠A和∠B是同旁内角
D.
∠2和∠B是同位角
解析：排除法解题，先明确“截线”与“另两线”.
选项A，组成∠1、∠3的各边，线段EF是“截线”，线段BD与MC是“另两线”，它们位于“另两线”的内部，截线的右侧，所以是同旁内角，而不是同位角，错误；
选项B，组成∠2、∠3的各边，线段EF是“截线”，线段DA与MC是“另两线”，它们位于“另两线”的内部，截线的各一侧，所以是内错角，正确；
选项C，组成∠A、∠B的各边，线段AB是“截线”，线段AC与BC是“另两线”，它们位于“另两线”的内部，截线的同一侧，所以是同旁内角，正确。
选项D，组成∠2、∠B的各边，线段AB是“截线”，线段BM与BC是“另两线”，它们位于“另两线”的上方，截线的下方，即位于三线的右下角，所以是同位角，正确。故选A.
例3.如图，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，EF过点O，且EF//BC。
（1）若∠ABC=62?，∠ACB=58?，求∠BOC的度数。
（2）若∠BOC=110?，∠1：∠2=4：3，求∠ABC、∠ACB的度数。
解析：（1）∵OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠ABC=62?，∠ACB=58?，
∴∠1=31°，∠2=29°，在△OBC中，∵∠1+∠2+∠BOC=180°,∴∠BOC=180°-31°-29°=120°
（2）求解题型中出现角度的和差倍分关系，可设未知数，运用方程思想解题.
设∠1=4x,则∠2=3x,
在△OBC中，∵∠1+∠2+∠BOC=180°,
∠BOC=110?，∴4x+3x+110°=180°,∴x=10°，∴∠1=40°，∠2=30°，∴∠ABC=2∠1=80°,
∠ACB=2∠2=60°.
例4.如图，已知DE//BC，DF，BE分别平分∠ADE、∠ABC，试证明∠FDE=∠DEB。
解析：∵DE//BC，∴∠ADE=∠ABC(两直线平行，同位角相等)
∵DF，BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF=∠FDE,∠ABE=∠EBC（角平分线定义）,
∴∠ADE=∠ABE(等式性质),∴DF//BE（同位角相等，两直线平行）,∴∠FDE=∠DEB（两直线平行，内错角相等）
例5.如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P＝90°，设∠BAP=α。
（1）用α表示∠ACP；（2）求证：AB∥CD；（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE.
解析：
(1)∵AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠BAP=α，
∴∠ACP=∠DCP,∠CAP=∠BAP=α(角平分线定义).
在△ACP中，∵∠CAP+∠ACP+∠P=180°,
∠P＝90°，
∴∠ACP=180°-90°-α=90°-α(等式性质)
(2)∵∠ACP
=90°-α,∴∠ACD=2∠ACP=180°-2α（角平分线定义）,
∵∠CAP=∠BAP=α,
∴∠ACD+∠BAC=180°-2α+α+α=180°（等式性质）,
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）.
(3)∵AP//CF,∴∠PCF=∠P=90°（两直线平行，内错角相等）
,即∠PCD+∠DCF=90°,
∴∠ACP+∠ECF=90°（平角性质）,
∵∠ACP=∠DCP,
∴∠ECF=∠DCF（等角的余角相等）,
∴FC平分∠DCE.《相交线与平行线》题型解读8
尺规作图题型
【知识梳理】
1.定义：在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
2.掌握要求：
①利用尺规作一个角等于已知角；
(1)作射线
(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D
(3)以点为圆心，以OC长为半径画弧，交于点
(4)以点为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点
(5)过点作射线，∠即是所求作的角
②作角的和、差、倍都是先作一个角等于已知角，再在此角的基础上作其他角，其中“和”或“倍”在角外部作角，“差”则在角的内部作角。
【典型例题】
例1．下列作图属于尺规作图的是（
）
A．画线段MN
=3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠
解析：选D
例2．下列尺规作图的语句错误的是（
）
A．作∠AOB，使∠AOB=3∠
B．以点O为圆心作弧
C．以点A为圆心，线段的长为半径作弧
D．作∠ABC，使∠ABC=∠+∠
解析：选B
(
P
c
b
a
)例3．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是（
）
A．两直线平行，同位角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等
D．内错角相等，两直线平行
解析：选D
例4．如右图所示，求作一个角等于已知角∠AOB．作法：
（1）作射线_______；
(
A
C
D
O
B
C′
A′
O′
D′
B′
)（2）以______为圆心，以_____为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以______为圆心，以_____为半径画弧，交O′B′于点D′；
（4）以点D′为圆心，以______为半径画弧，交前面的弧于点C′；
（5）过______作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．
解析：
（1）作射线___O`B`____；
（2）以__O____为圆心，以__任意长___为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以___O`___为圆心，以__OC或OD___为半径画弧，交O′B′于点D′；
（4）以点D′为圆心，以___CD___为半径画弧，交前面的弧于点C′；
（5）过__C`____作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．
(
1
2
)例5．如图所示，已知∠1和∠2，利用尺规作∠AOB=∠1+∠2．（不写作法，但要保留作图痕迹）
解析：如图∠AOB即为所求.
(
O
B
A
)例6．如图所示，利用尺规作∠A′O′B′=3∠AOB．
解析：作法：
①∠DO`A`=∠AOB；
②在∠DO`A`的外部作∠COD=∠AOB；
③在∠CO`A`的外部作∠COB`=∠AOB；
则∠A`OB`即为所求。
(
1
2
)例7．已知∠1和∠2，利用尺规作∠MON=∠2
-∠1．（不写作法，但要保留作图痕迹）
解析：如图∠MON即为所求.
例8．如图，已知：∠AOB及射线OA边上的点M，利用尺规过点M作EF∥OB．（不写作法，但要保留作图痕迹）
解析：如图所示.
例9．已知，直线AB和AB外一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥AB．
(
P
A
B
)（写作法）
解析：如图所示.
