思想方法篇 第2讲 数形结合思想 课件（共19张PPT）2021届高考数学三轮复习

第2讲　数形结合思想
思想概述　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
内
容
索
引
方法一
方法二
方法三
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
例1　已知函数f(x)＝ 其中m>0.若存在实数b，

使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是__________.
思路分析　方程f(x)＝b有三个不同的根→函数y＝f(x)的图象和直线y＝b有三个交点→画函数图象
(3，＋∞)
解析　作出f(x)的图象如图所示，当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.
要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.
又m>0，解得m>3.
批注
正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势.
例2　当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2{a|1 解析　设y＝(x－1)2，y＝logax，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示.
若0 所以底数a的取值范围为{a|1规律方法
方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；f(x) 向量、复数等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.
方法二　利用数学概念表达式的几何意义求解最值、范围问题
例3　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是
√
思路分析　求|c|的最大值→考虑向量a，b，c的几何关系→通过几何意义观察|c|的最值
解析　如图，
∴O，A，C，B四点共圆.
例4　已知实数x，y满足 则x2＋y2的取值范围是________.
思路分析　求x2＋y2的取值范围→P(x，y)和O(0，0)距离的范围→点到直线的距离
解析　已知不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分含边界)，
x2＋y2表示原点到可行区域内的点的距离的平方.
得A(2,3).
(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.
规律方法
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
例5　已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，求此时点P的坐标.
思路分析　△APF的周长最小→结合抛物线定义转化|PF|＝|PQ|→结合图形观察三边关系求最值
方法三　几何动态问题中的数形结合
解　因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，
设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.
则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
批注
通过定义转化|PF|＝|PQ|，利用三角形两边之和大于第三边，两次放缩，图形间的关系是解题关键.
规律方法
几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.
本课结束