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2020-2021学年北师大版数学八年级下册章节提优练
第1章《三角形的证明》
一．选择题
1．（2020春?北镇市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A＝60°，∠ACE＝24°，则∠ABE的度数为（ ）
A．24°
B．30°
C．32°
D．48°
解：∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴2∠ABE+∠ABE+24°+60°＝180°，
∴∠ABE＝32°．
故选：C．
2．（2018秋?濉溪县期末）如图，在等边三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（ ）
A．AD＞CE
B．AD＜CE
C．AD＝CE
D．不能确定
解：AD＝CE，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∵∠DFE＝120°，
∴∠EFC＝60°，
∴∠BDC＝60°+∠ACD，∠AEF＝40°+∠ACE，
∴∠BDC＝∠AEB，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE．
故选：C．
3．（2020秋?北京期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
4．（2018?长沙模拟）下列各图中，∠1＝∠2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A选项在直角三角形中∠1与∠2互余，所以A选项错误；
B选项∠8与∠2是对顶角，∠1＝∠8；
C选项利用平行线的性质可知∠1与∠2互余，所以C选项错误；
D选项∠7与∠2互余，所以D选项错误；
故选：B．
5．（2018秋?安庆期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（ ）
A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．I为DE中点
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115°
解：∵BI平分∠DBC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴BD＝DI．
同理，CE＝EI．
∴△DBI和△EIC是等腰三角形；
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠IBC+∠ICB＝65°，
∴∠BIC＝115°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
6．（2020秋?定西期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
解：当DP⊥BC时，DP的长最小，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＝90°，
∴当DP⊥BC时，DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值是4，
故选：A．
7．（2020?滨湖区一模）如图，在△ABC中，AC＝6，∠BAC＝60°，AM为△ABC的角平分线，若＝，则AM长为（ ）
A．6
B．
C．
D．2
解：作CE∥AB，交AM的延长线与E，
∵∠BAC＝60°，AM为△ABC的角平分线，
∴∠BAM＝∠CAM＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAM＝30°，
∴∠E＝∠CAM，
∴CE＝AC，
作CD⊥AE于D，则AD＝ED，
∵∠CAM＝30°，AC＝6，
∴AD＝AC＝，
∴AE＝2AD＝6，
∵AB∥CE，
∴＝＝，
∴AM＝AE，
∴AM＝×6＝，
故选：C．
8．（2020春?双流区期末）能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（ ）
A．三角形的高线
B．边的中垂线
C．三角形的中线
D．三角形的角平分线
解：三角形的中线平分三角形的面积，
故选：C．
9．（2018秋?延边州期末）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，
∴AD＝4，AC＝8，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD＝∠CFE＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∴CE＝8﹣2＝6，
∴CF＝CE＝3，
∴BF＝3，
故选：C．
10．（2020秋?福田区校级期末）如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于E、D，且AC＝6，则△ACE的周长为（ ）
A．16
B．18
C．22
D．26
解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝16，
故选：A．
二．填空题
11．（2020秋?澄海区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为 108°或72° ．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝36°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝，
∵∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠BAD＝108°﹣72°＝36°；
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣36°＝108°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BDA＝180°﹣72°﹣36°＝72°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是108°或72°．
故答案为：108°或72°．
12．（2020秋?邹城市期末）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBC等于 20 度．
解：∵A＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝50°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝70°﹣50°＝20°，
故答案为：20．
13．（2020秋?江汉区期末）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ 115° ．
解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴5x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
14．（2017秋?玄武区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是 4.8 ．
解：如图，作AF⊥BC于点F，
根据题意得此时CP的值最小；
解：作BC边上的高AF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝CF＝4，
∴由勾股定理得：AF＝4，
∴S△ABC＝AB?PC＝×5CP＝
得：CP＝4.5
故答案为4.8．
15．（2019秋?大丰区月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20度，则顶角为 70或110 度．
解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．
故答案为：70或110．
16．（2020秋?娄底期中）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 40°或100° ．
解：当40°
的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为40°；
当40°的角为底角时，则该等腰三角形的另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为40°或100°．
17．（2018秋?东湖区期末）如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC中点，过P作BC的垂线交于点D，∠BDC＝50°，则∠MON＝ 130° ．
解：如图：
过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，
则∠DEO＝∠DFO＝90°，
∵OD平分∠MON，
∴DE＝DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠BDF+CDF＝∠BDF+∠EDB＝∠EDF＝50°．
∵∠MON+∠EDF+∠DEO+∠DFO＝360°，
∴∠MON＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°；
故答案为：130°．
18．（2015春?金牛区期末）如图，在△ABC中，BD是角平分线，AB＝AC＝5，BC＝8，过A作AE⊥BD交于F，交BC于E，连接DE，则S△ABF：S△CDE＝ ．
解：过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥AC于N，
∵AB＝AB，
∴BM＝CM＝4，
∴AM＝＝3，
∵BD是角平分线，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝EFB＝90°，
在△ABF与△BEF中，
，
∴△ABF≌△BEF，
∴BE＝AB＝5，S△ABF＝S△ABE＝××2×3＝，
∴CE＝8，
在△ABD与△BED中，
，
∴△ABD≌△BED，
∴AD＝DE，
设AD＝DE＝x，
∵∠ENC＝∠AMB＝90°，∠C＝∠ABC，
∴△CEN∽△AMB，
∴，
∴，
∴CN＝．EN＝，
∴DN＝5﹣x﹣＝﹣x，
∵DE2＝DN5+EN2，即x2＝（﹣x）2+（）2，
∴x＝，
∴CD＝，
∴S△CDE＝××＝，
∴S△ABF：S△CDE＝．
故答案为：．
19．（2019秋?济南期末）如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为 4cm ．
解：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，
∴PB＝5cm，
∴MC＝4cm
故答案为：4cm．
三．解答题
20．（2020春?沈河区期末）如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
解：（1）∵BE∥AC，
∴∠E＝∠DCO，
在△BOE和△DOC中，，
∴△BOE≌△DOC（AAS），
∴BO＝OD，
∵AB＝AD，
∴AO平分∠BAC；
（2）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAD＝40°．
21．（2020秋?江城区月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴AD平分∠BAC．
22．（2020春?渝中区校级期中）如图，直线AC分别与射线DE交于A，与射线BF交于C，连接AB，连接DC，∠1+∠2＝180°，AD＝BC．若DC平分∠ACF，证明AB平分∠EAC．
证明：∠1+∠2＝180°，∠8+∠ACB＝180°，
∴∠2＝∠ACB，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DCF＝∠B，∠DCA＝∠BAC，
∵DC平分∠ACF，
∴∠DCF＝∠DCA，
∴∠B＝∠BAC，
∵AD∥BC，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠BAC＝∠EAB，即AB平分∠EAC．
23．（2020春?河口区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AF平分∠CAB，AC＝12，BC＝16．CD⊥AB，FE⊥AB，垂足分别为D、E．
（1）求线段BF的长；
（2）请判断四边形CGEF形状，并说明理由．
解：（1）在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，CB＝16，
∴AB＝＝＝20，
∵FE⊥AB，
∴∠ACF＝∠AEF＝90°，
∵∠CAF＝∠EAF，AF＝AF，
∴△AF≌△AFE（AAS），
∴CF＝EF，AC＝AE＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝3，设CF＝EF＝x，
在Rt△EFB中，则有（16﹣x）2＝x2+72，
解得x＝6，
∴BF＝BC﹣CF＝12﹣8＝6．
（2）结论：四边形CGEF是菱形．
理由：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CG∥EF，
∴∠CGF＝∠EFG，
∵△AFC≌△AFE，
∴∠CFG＝∠EFG，CF＝EF，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴CF＝CG，
∴CG＝EF，
∵CG∥EF，
∴四边形CGEF是平行四边形，
∵CF＝CG，
∴四边形CGEF是菱形．
24．（2018春?金水区校级月考）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，连接AO，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F，AB＝5，AC＝4．
（1）求△AEF的周长；
（2）若点O到BC距离为4，求△OAB的面积．
解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，
∴OE＝BE，OF＝CF，
∵AB＝5，AC＝4，
∴△AEF的周长是AE+EF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝2+4＝9；
（2）过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，
∵BO平分∠ABC，
∴OM＝ON，
∵点O到BC距离为4，
∴OM＝ON＝4，
∵AB＝5，
∴△OAB的面积是＝＝10．
25．（2019秋?苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝2∠C，BC边的垂直平分线交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD，求∠ADB的度数．
解：∵∠ABC＝2∠C，
∴设∠C＝α，则∠ABC＝2α，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠C＝120°，
∴3α+α＝120°，
∴α＝40°，
∴∠C＝40°，
∵BC边的垂直平分线交AC边于点D，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝40°，
∴∠ABD＝40°，
∴∠ADB＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
26．（2020秋?北京期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，且DB＝DC，连接AD并延长，交BC于点E．
（1）依题意补全图；
（2）求证：AD⊥BC．
解：（1）如图所示，
（2）∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∵BE＝CE，
∴点E在BC的垂直平分线上，
∴A、E都在BC的垂直平分线上，
∵延长AE交BC边于点D，
∴AD⊥BC．
27．（2015秋?马关县校级期末）如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．
（
I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．
解：（1）MN＝BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE＝BM（或延长AB至E，并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，
又BD＝DC，且∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
在△MBD与△ECD中，
∵，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD＝DE，∠BDM＝∠EDC，
∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠NDC＝60°，
∴∠NDC+∠EDC＝60°，即∠NDE＝60°，
∴∠MDN＝∠NDE，
∵MD＝DE，DN＝DN，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN＝NE＝NC+CE＝NC+BM．
（2）按要求作出图形，（1）中结论不成立．
在CA上截取CE＝BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠CBD＝30°，
∴∠MBD＝∠DCE＝90°，
在△BMD和△CED中
∵，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴MD＝DE，∠BDM＝∠EDC，
∵∠BDC＝120°，即∠BDE+∠EDC＝120°，
∴∠BDE+∠BDM＝120°，即∠MDE＝120°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠NDE＝60°，
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
∵，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE＝NC﹣CE＝NC﹣BM．
28．（2012秋?江岸区期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：AD＝DB；
（2）设CE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF＝90°时，求BF的长？
（1）证明：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠CAB＝60°，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴AD＝DB．
（2）解：在△AEF中，∵∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝30°，
∴AE＝AC﹣EC＝4﹣x，AF＝，
在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，
∴AB＝12，
∴BF＝AB﹣AF＝12﹣x，
∴y＝7+x，
答：y关于x的函数解析式是y＝2+x（5＜x＜6）．
（3）解：当∠DEF＝90°时，∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠FED＝60°，
∴∠EDC＝30°，ED＝2x，
∵∠C＝90°，∠DAC＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠EDA＝60°﹣30°＝30°＝∠DAE，
∴ED＝AE＝3﹣x．
∴有2x＝6﹣x，得x＝7，
此时，y＝9+，
答：BF的长为10．
29．（2017秋?农安县期末）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5．
30．（2018春?宁江区期中）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P开始从点A开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；
（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？
解：（1）∵出发2秒，AP＝2cm＜2cm，即此时P在AB上，
∴BP＝8﹣2＝3（cm），
BQ＝2×2＝5（cm），
在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ＝
即出发2秒后，求PQ的长为7．
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形，
AP＝t，BP＝AB﹣AP＝8﹣t
由PB＝BQ得：8﹣t＝3t
解得t＝（秒），
即出发秒后第一次形成等腰三角形．
（3）Rt△ABC中由勾股定理得：AC＝＝10（cm）；
当0＜t≤3时，P在AB上，∵AP＝t，BQ＝2t，
又∵线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分，
∴由周长相等得：AC+AP+QC＝PB+BQ
10+t+（6﹣3t）＝8﹣t+2t
解得：t＝4（s），此时不符合；
当3＜t≤8时，P在AB上，t+10+4﹣2t＝2t+4﹣t，
解得：t＝4，
即从出发4秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分．
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第1章《三角形的证明》
一．选择题
1．（2020春?北镇市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A＝60°，∠ACE＝24°，则∠ABE的度数为（ ）
A．24°
B．30°
C．32°
D．48°
2．（2018秋?濉溪县期末）如图，在等边三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（ ）
A．AD＞CE
B．AD＜CE
C．AD＝CE
D．不能确定
3．（2020秋?北京期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
4．（2018?长沙模拟）下列各图中，∠1＝∠2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2018秋?安庆期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（ ）
A．△DBI和△EIC是等腰三角形
B．I为DE中点
C．△ADE的周长是8
D．∠BIC＝115°
6．（2020秋?定西期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
7．（2020?滨湖区一模）如图，在△ABC中，AC＝6，∠BAC＝60°，AM为△ABC的角平分线，若＝，则AM长为（ ）
A．6
B．
C．
D．2
8．（2020春?双流区期末）能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（ ）
A．三角形的高线
B．边的中垂线
C．三角形的中线
D．三角形的角平分线
9．（2018秋?延边州期末）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．（2020秋?福田区校级期末）如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于E、D，且AC＝6，则△ACE的周长为（ ）
A．16
B．18
C．22
D．26
二．填空题
11．（2020秋?澄海区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为
．
12．（2020秋?邹城市期末）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBC等于
度．
13．（2020秋?江汉区期末）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝
．
14．（2017秋?玄武区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是
．
15．（2019秋?大丰区月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20度，则顶角为
度．
16．（2020秋?娄底期中）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于
．
17．（2018秋?东湖区期末）如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC中点，过P作BC的垂线交于点D，∠BDC＝50°，则∠MON＝
．
18．（2015春?金牛区期末）如图，在△ABC中，BD是角平分线，AB＝AC＝5，BC＝8，过A作AE⊥BD交于F，交BC于E，连接DE，则S△ABF：S△CDE＝
．
19．（2019秋?济南期末）如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为
．
三．解答题
20．（2020春?沈河区期末）如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
21．（2020秋?江城区月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
22．（2020春?渝中区校级期中）如图，直线AC分别与射线DE交于A，与射线BF交于C，连接AB，连接DC，∠1+∠2＝180°，AD＝BC．若DC平分∠ACF，证明AB平分∠EAC．
23．（2020春?河口区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AF平分∠CAB，AC＝12，BC＝16．CD⊥AB，FE⊥AB，垂足分别为D、E．
（1）求线段BF的长；
（2）请判断四边形CGEF形状，并说明理由．
24．（2018春?金水区校级月考）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，连接AO，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F，AB＝5，AC＝4．
（1）求△AEF的周长；
（2）若点O到BC距离为4，求△OAB的面积．
25．（2019秋?苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝2∠C，BC边的垂直平分线交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD，求∠ADB的度数．
26．（2020秋?北京期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，且DB＝DC，连接AD并延长，交BC于点E．
（1）依题意补全图；
（2）求证：AD⊥BC．
27．（2015秋?马关县校级期末）如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．
（
I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．
28．（2012秋?江岸区期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：AD＝DB；
（2）设CE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF＝90°时，求BF的长？
29．（2017秋?农安县期末）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
30．（2018春?宁江区期中）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P开始从点A开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；
（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？
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精品试卷·第
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