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8.2
立体图形的直观图
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图的面积为4，则该平面图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
2．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，是水平放置的利用斜二测画法得到的直观图，其中，则的面积是（
）
A．12
B．
C．6
D．
4．已知平面四边形，按照斜二测画法（）画出它的直观图是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
5．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（
）
①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
6．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（
）
A．1
B．2
C．
D．
7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形，且，平行于轴，则这个平面图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．下列命题中正确的是(
)
A．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形
B．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
9．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（
）
A．倍
B．2倍
C．倍
D．倍
10．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于(
)
A．
B．1＋
C．1＋
D．2＋
11．图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(
)
A．
B．
C．
D．
12．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（
）
A．倍
B．2倍
C．倍
D．倍
13．如图，是的斜二测直观图，斜边，则的面积是（
）
A．
B．1
C．
D．
14．如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知，且的面积为，过作轴，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
15．如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是________.
16．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______.
17．如图，是的直观图（斜二测画法），其中与重合，在轴上，且轴，，，则的最长边长为__________.
18．如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′⊥x′轴，且B′C′=3，则△ABC的边AB上的高为__________.
三、解答题
19．如图，在水平放置的平面内有一边长为1的正方形，其中对角线是水平方向．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的实际图形，并求出其面积．
答案解析
1．C
【详解】
已知直观图的面积为4,
所以原图的面积为，
故选：C
2．C
【详解】
A．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形；
B．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形；
C．左图中的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，
右图中的底边变为原来的一半，高保持不变，所以直观图不是全等的三角形；
D．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形.
故选：C.
3．A
【详解】
根据斜二测画法知为直角三角形，，故的面积.
故选：A
4．B
【详解】
依题意，直观图的面积，设原图面积为，则，所以，所以，
故选：B.
5．B
【详解】
根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错；
两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错；
根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.
故选：B.
6．D
【详解】
∵直观图是等腰直角三角形，，∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,
∴△的边上的高.故选D.
7．B
【详解】
根据斜二测画法的规则可知：
水平放置的图形OABC为一直角梯形，
由题意可知上底为OA=2，高为AB=2，
下底为BC=2+1=3，
∴该图形的面积为
．
故选B．
8．B
【解析】
利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形；
利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形；
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台；
因此B正确，选B.
9．A
【解析】
假设在原图形中三角形的一边平等于轴，这边上的高为，面积为，直观图中三角形面积为，由斜二侧画法的原理可知，在直观图中三角形的高与底边的夹角为，故直观图中三角形面积为，所以，故选A．
10．D
【解析】
如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测画法规则可知，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1，所以SABCD＝2＋．
11．C
【解析】
斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段的长度在新坐标系中变为原来的，并注意到
∠x′O′y′＝45°∠xOy＝90°，且是直角梯形，结合摆放位置知选C．
12．A
【解析】
假设在原图形中三角形的一边平等于轴，这边上的高为，面积为，直观图中三角形面积为，由斜二侧画法的原理可知，在直观图中三角形的高与底边的夹角为，故直观图中三角形面积为，所以，故选A．
13．D
【解析】
的面积为.故选D.
14．A
【解析】因为轴，所以的中，，又三角形的面积为，所以．∴，所以．如图，作于，所以，所以的长为：．
15．.
【详解】
由斜二测法画图原则：横等纵半，
∴的高为8，即，
故答案为：.
16．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
【详解】
由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，与x,z轴平行的直线长度不变，与y轴平行的直线长度为原图的，则图形的尺寸应为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
17．5
【解析】
由斜二测试画法可知是直角三角形，且，则最长边（斜边），故答案为.
18．6
【解析】
过C′作C′D′∥A′B′交y′轴于D′，
则O′D′==3，由斜二测画法规则知D′对应点在y轴上，且OD=6，此即为△ABC的边AB上的高.
答案：6.
19．
【详解】
四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵在水平位置，'是正方形，
∴，
∴在原四边形ABCD中，，
∵，，
∴．
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8.2
立体图形的直观图
随堂同步练习
一、单选题
1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（
）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（
）
A．45°
B．135°
C．90°
D．45°或135°
3．如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（
）
A．6
B．32
C．12
D．62
5．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．把四边形按斜二测画法得到平行四边形(如图所示)，其中，，则四边形一定是一个（
）
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．梯形
7．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则原平面图形中最大边长为（
）
A．2
B．
C．3
D．
8．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长和面积分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
9．如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（
）
A．16cm
B．12cm
C．10cm
D．18cm
10．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
11．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为( )
A．4
cm2
B．
cm2
C．8
cm2
D．cm2
二、填空题
12．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，轴，轴，，，则在中，________.
13．如图所示的直观图△，其平面图形的面积为________.
14．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）①；②；③；④.
15．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为__________.
三、解答题
16．如图，A′B′C′是水平放置的ABC斜二测画法的直观图，其中A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
17．如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝
C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.
18．如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′.
19．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).
试画出四边形ABCD的直观图.
20．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.
答案解析
1．B
【详解】
由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，
当线段与x轴平行时，线段长度减半，
直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变.
故选：B.
2．D
【详解】
因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，
故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，
即∠A′＝45°或135°.
故选：D.
3．B
【详解】
如图所示，
由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为，
所以原来的图形是平行四边形，
其在横轴上的边长为1，高为，
所以它的面积是．
故选：．
4．C
【详解】
由斜二测画法特点得，
为直角三角形，
，
故选：C.
5．B
【详解】
根据斜二测画法的特征，可得底不变，为2，高为
，
所以直观图的面积是.
故选：B.
6．A
【详解】把平行四边形还原回原图形，过程如下：
在平面直角坐标系中，在轴上截取，且使为的中点，
在轴上截取，过向左左轴的平行线段，使，
连接，，可得平行四边形.
∵，，∴.
∴平行四边形为菱形.
故选：A.
7．D
【详解】
由斜坐标系中作交轴于点，由，等腰直角三角形，
由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：
∴，，
∴最长边，
故选：D
8．B
【详解】
由直观图可得原图形，
∴，，，
∴，原图形的周长为，
∴，
故选：B
9．A
【详解】
解：将直观图还原为平面图形，如图所示.
＝，，所以，
所以原图形的周长为16cm，
故选：A.
10．B
【详解】先把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，如图：
由斜二测画法得：，，，，
所以原图形周长为8.
故选：B.
11．C
【解析】
设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，，
则梯形的面积为：，则，
原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为，
其面积为：.
12．5
【详解】
因为轴，轴，所以，所以中，，故为直角三角形.又由斜二测画法可得在中，，，故.
故答案为：.
13．6
【详解】
设原图形为，
，，
，，
因此，的面积为
故答案为：6
14．③
【详解】
由直观图画出如图所示
其中，①错误；，②错误；
，③正确，④错误
故答案为：③
15．4
【详解】
由斜二测画法可知原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形.
故面积为.
故答案为：
16．10.
【详解】
由已知得ABC中，AC＝6，BC＝8，
故AB＝＝10.
所以AB边的实际长度是10.
17．
【详解】
如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图).
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
18．
【详解】
设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C′D′＝
由题意知C′D′·(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S.
原直角梯形面积为
S′＝2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝
即梯形OABC的面积为
19．
【解析】
画法：(1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).
(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
(3)在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
(4)同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，
D′F′=2.5.
(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2).
20．
【解析】
在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
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