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8.1
基本立体几何图形
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．下列说法中正确的个数是（
）
①夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面.
A．0
B．1
C．2
D．3
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是（
）
A．4π
B．8π
C．2π
D．π
3．一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（
）
A．
B．
C．20cm
D．10cm
4．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（
）
A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆台
5．下列说法正确的是（
）
A．到定点的距离等于定长的点的集合是球
B．球面上不同的三点可能在同一条直线上
C．用一个平面截球，其截面是一个圆
D．球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面
6．一个直角三角形绕斜边所在直线旋转360°形成的空间几何体为（
）
A．一个圆锥
B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥
D．一个圆锥和一个圆台
7．能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（
）
A．
B．
C．
D．
8．
下列说法正确的是( )
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
9．下列结论正确的是（
）
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线
10．
用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形
B．三角形
C．三角形或四边形
D．不可能为四边形
11．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2
B．2π
C．或
D．或
12．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦的长度分别为，，分别为的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则的最大值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
二、多选题
13．下列说法正确的是（
）
A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形
D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
三、填空题
14．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为______cm.
15．给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④球常用表示球心的字母表示.
其中说法正确的序号是_______.
16．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是______.（填序号）
17．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为，如图所示，则该地球仪的半径是______cm.
四、解答题
18．是一个正三角形和它的内切圆，将阴影部分绕直线l旋转180°，请说出所得几何体的结构特征.
19．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
20．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体内接于圆锥，求这个正方体的棱长.
答案解析
1．B
【详解】
①夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故错误；
②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台，故错误；
③圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面，故正确.
正确的只有1个，
故选：B.
2．C
【详解】
将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，
得到的几何体是圆柱，它的底面是半径为1的圆面，
其周长为.
故选：C.
3．A
【详解】
如图所示，在中，，，
所以（cm）.
所以圆锥的高为.
故选：A.
4．C
【详解】圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C．
5．D
【详解】
对于A，球是球体的简称，球体的外表面称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；
对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；
对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，
对于D，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线必垂直于该截面，故D正确.
故选：D.
6．C
【解析】
此直角三角形被斜边上的高线所在直线分成两个小的直角三角形，绕斜边所在直线旋转360°，相当于绕小直角三角形的直角边所在直线旋转360°，得到的空间几何体是两个同底的圆锥．故选C．
7．A
【详解】
此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，
是由A中的平面图形旋转形成的.
故选：A.
8．D
【解析】
选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．
故选D
9．D
【详解】
必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才能得到圆锥和圆台，故A错误；
若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；
正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
由圆锥的母线定义进行判断，可知D正确；
故选：D.
10．C
【解析】
按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
故选C
11．C
【解析】
如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，
则2πr＝8，所以r＝；
同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，
所以r＝.
故选C.
12．A
【详解】
∵球的半径为4，两条弦，的长度分别为，，
球心到弦的距离为，
球心到弦的距离为.
当三点共线，
且分别在O两侧时，最大，且最大值为5，
故选A.
13．BCD
【详解】
A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；
B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；
D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）.
故选：BCD.
14．13
【详解】
如图，由题意可得，，，，过点A作，交OB于点C.在中，，，
∴.
故答案为13
15．①④
【详解】
根据球的定义知，①正确；
因为球的直径必过球心，所以②不正确；
因为球的任何截面都是圆面，所以③不正确；
球常用表示球心的字母表示，④正确.
故答案为：①④.
16．①⑤.
【详解】
由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，
综上可知截面的图形可能是①⑤.
17．
【详解】
如图所示，由题意知，
北纬30°所在小圆的周长为，
则该小圆的半径，
其中，
所以该地球仪的半径.
故答案为：.
18．得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球的简单组合体
【详解】
正三角形绕直线l旋转180°得到圆锥，
圆绕直线l旋转180°得到的是球体，
所以旋转得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球的简单组合体.
19．
【解析】
过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)
20．
【解析】
过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽△VMN，所以=.
所以hx=2rh-2rx，
所以x==.
即圆锥内接正方体的棱长为.
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8.1
基本立体几何图形
随堂同步练习
一、单选题
1．下列关于棱柱说法正确的是
（
）
A．棱柱的所有面都是四边形
B．棱柱中只有两个面互相平行
C．一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面
D．棱柱的侧棱长不都相等
2．对于棱锥，下列叙述正确的是（
）
A．四棱锥共有四条棱
B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥共有六个顶点
D．任何棱锥都只有一个底面
3．下列几何体是棱台的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．设集合，，，，则这四个集合之间的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
5．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（
）
A．①②④
B．②③④
C．①③⑤
D．②④⑤
6．若用一个平面截一个几何体，能得到截面是等腰梯形，则这个几何体可能是（
）
A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆台
7．如图所示的组合体，其结构特征是（
）
A．左边是三棱台，右边是圆柱
B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体
D．左边是三棱柱，右边是长方体
8．如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（
）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个长方体
9．下列结论中正确的是（
）
A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥
B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台
C．以平行四边形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆柱
D．圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球
10．如图，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余的部分是（
）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．五棱锥
11．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
12．图甲所表示的简单组合体可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（
）
A．
B．
C．
D．
13．给出下列说法：①有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱；②底面为正多边形的棱柱为正棱柱；③顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱锥是正棱锥.其中说法正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、多选题
14．下列说法错误的是（
）（多选）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
15．下列关于圆柱的说法中，正确的是（
）（多选）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的面所围成的几何体是圆柱
16．下列关于球体的说法正确的是（
）（多选）
A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D．球的对称轴只有1条
17．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（
）（多选）
A．①是棱台
B．②是圆台
C．③是棱锥
D．④是棱柱
三、解答题
18．如图，四边形为矩形，，，，，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.
19．已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆.
（1）若，求圆的面积；
（2）若圆的面积为，求.
20．如图所示，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PD的长．
21．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．
答案解析
1．C
【详解】
棱柱的各个面都是四边形，不正确；比如三棱柱，底面为三角形；
棱柱中只有两个面互相平行，不正确；比如长方体中，相对侧面互相平行，两底面互相平行；
棱柱的侧棱长不都相等，不正确；由棱柱的性质可得侧面为平行四边形，侧棱长都相等；
一个棱柱最少为三棱柱，即为6个顶点，9条棱，5个面，是正确的，故选C.
2．D
【详解】
对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；
对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；
对于C，六棱锥共有七个顶点，故C错误；
对于D，根据棱锥的定义知，D正确.
故选：D.
3．D
【详解】
A，C都不是由棱锥截成的不符合棱台的定义故选项A，C不满足题意；
B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故选项B不满足题意；
D符合棱台的定义.
故选:D.
4．B
【详解】
根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，
正四棱柱是特殊的长方体，
长方体是特殊的直四棱柱，
所以，
故选B.
5．D
【详解】
由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，
而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，
这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；
由圆锥母线的定义知②正确；
在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，
且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.
故选：D.
6．D
【详解】
由台体的概念，可知D正确.
故选:D.
7．D
【详解】
根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体.
故选:D.
8．B
【详解】
由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱.
故选:B.
9．D
【详解】
在选项A中，若绕直角三角形的斜边所在直线旋转一周，
则得到的几何体不是一个圆锥，故选项A错误；
在选项B中，若绕直角梯形的上底所在直线旋转一周，
则得到的几何体不是圆台，故选项B错误；
在选项C中，若平行四边形的一个内角为锐角，
则绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体不是圆柱，
故选项C错误；
在选项D中，圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球，
故选项D正确.
故选:D.
10．B
【详解】
剩余部分是以四边形为底面，为顶点的四棱锥.
故选:B.
11．D
【详解】
根据几何体的直观图，得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，
且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；
顶点是M、A、B、C、D和N共6个；
且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都是三角形．
所以选项A、B、C正确，选项D错误．
故选D．
12．C
【解析】圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转而成，圆柱由矩形绕一条边旋转而成，因此C项正确
13．A
【详解】
若侧棱与底面两条平行的边垂直，则侧棱与底面不一定垂直，
此时的棱柱不一定是直棱柱，所以①错误；
底面为正多边形的直棱柱为正棱柱，所以②错误；
顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等,
表示顶点在底面上的射影落在底面的外心上，
底面不一定是正多边形，所以该棱锥不一定是正棱锥，
所以③错误.
故选A.
14．ABC
【详解】
选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，
故A错误；
选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，
而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，
因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是时，
各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，
又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
故选:ABC.
15．ABD
【详解】
用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，
如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，故C错误，
显然A，B，D正确.
故选:ABD.
16．BC
【详解】
空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，
所以A错误，B正确；
由球体的定义，知C正确；
球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.
故选:BC.
17．CD
【详解】
题图①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的，
且上、下底面不是相似的图形，所以不是棱台；
题图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③中的几何体是三棱锥；
题图④中的几何体前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，
且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，所以④是棱柱.
故选:CD.
18．不是棱柱，四棱锥
【详解】
因为这个几何体中没有两个互相平行的面，
所以这个几何体不是棱柱；
如图，在上取点，
使，在上取点，使，连接，
，，则过点，，的截面将原几何体分成两部分，
其中一部分是三棱柱，其侧棱长为2；
另一部分是四棱锥，即截去的几何体是四棱锥.
19．（1）；（2）
【详解】
（1）若，则
故圆的半径
所以圆的面积
（2）因为圆的面积为，
所以圆的半径，
则
所以，所以，
所以
20．侧棱PA的长为,斜高PD的长为
【详解】
如图，连接AD，则点O在AD上．
∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a，O为的中心，
∴OA=a，OD=a．
在中，根据勾股定理，
得PA=．
在中，根据勾股定理，
得PD=，
所以此正三棱锥的侧棱PA的长为，
斜高PD的长为．
21．(1)
.
(2)
.
【详解】
（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，，分别为，的中点，作于点，连接.
由已知可得上底半径，下底半径，且腰长，
∴，即圆台的高为.
（2）如图，延长，交于点，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，得，即，∴即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
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