第2讲
函数的图像与性质
考点1
函数的性质及应用：
例1.(1)函数是上的奇函数，当时，，则当时，（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】时，.当时，，，
由于函数是奇函数，，
因此，当时，，故选:C.
【点睛】本题考查了利用奇函数求函数的解析式.
(2)设函数是定义在上的奇函数，且，则___________．
【答案】-1
【解析】当时，，∴，
∵函数是定义在上的奇函数，∴，
∴，即
由题意得，
∴．故答案为：
【点睛】本题考查了复合函数求值,利用奇函数以及分段函数求函数值.
【跟踪演练】1.(1)偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于函数为上的偶函数，则，
，所以，函数是以为周期的周期函数，
当时，，所以，．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用函数的对称性推导出函数的周期,再根据函数的周期性求函数值，考查运算能力.
(2)已知函数，则关于的不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，
又在上为增函数，
则可化为，
则，解得；故选A．
【点睛】本题考查了奇函数的性质,利用函数的单调性解不等式.
考点2
：利用函数性质识别函数图像
例2.(1)函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选:.
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断即可.
(2)函数f(x)=在的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又，可知应为D选项中的图象．故选:D．
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断即可.
【跟踪演练】2.
(1)函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
因为的定义域为，且，所以为奇函数，排除选项B，D.
因为，所以排除选项A.故选：C
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断即可.
(2)函数的部分图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
由题意，
所以是偶函数，排除B，C，
在接近于0且大于0时，，，得，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查了由解析式选择函数图象，解题时可用排除法，通过确定函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除，再由特殊的函数值、函数值的正负，函数值的变化趋势等排除错误的选项．
考点3
：利用函数图像研究函数性质
例2.(1)四个函数，，，，方程，，的实数根分别为，，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，画出四个函数的图象，由图可知，．
由图可知，，故选：A.
【点睛】本题考查了利用函数图像研究函数单调性进而比较大小.
(2)已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（
）
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选:C.
【点睛】本题考查了利用函数图像研究函数的零点个数，求参数取值范围.
【跟踪演练】2.
(1)已知定义在上的函数，，，，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由函数图像知递增，所以,递增，
所以，所以，递增，
所以，∴，
又函数在R上单调递增，所以.故选：C.
【点睛】本题考查了利用函数图像研究函数单调性进而比较大小.
(2)(多选题）设函数若函数有三个零点，则实数可取的值可能是（
）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】BCD
【解析】解:函数有三个零点等价于与有三个不同的交点
当时，，则
所以在上单调递减，在上单调递增
且，，
从而可得图象如下图所示：
通过图象可知，若与有三个不同的交点，则
故选：BCD
【点睛】本题考查了利用函数图像研究函数的零点个数，求参数取值范围.
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则（
）
A．4
B．
C．2
D．-2
【答案】D
【解析】因为，所以函数是周期为4的周期函数，
则（1），故选:D．
2.若函数的大致图像如图所示，则的解析式可以为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对四个选项解析式分析发现B，D两个均为偶函数，图象关于y轴对称，与题不符，故排除；
极限思想分析，，A错误；
，C符合题意,故选：C
3.设是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数在定义域上单调递增，由，
可得，故选:C．
4.已知函数，，设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，函数，可得，
所以在上单调递增，
又由，可得，
所以.
故选：D.
5.已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，
又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位可得，
所以函数的图象的对称轴为，
当时，，所以函数的图象也关于对称，
在平面直角坐标系中作出函数与在右侧的图象，
数形结合可得，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，
则由函数图象的对称性可得两图象在右侧有5个交点，
则，解得．故选:D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知（为常数），那么函数的图象不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．
当时，为偶函数，
当时，且单调递增，而在上单调递增，
故函数在上单调递增，故选项C正确，D错误；
当时，为奇函数，
当时，且单调递增，而在上单调递减，
故函数在上单调递减，故选项B正确，A错误，故选:AD．
7.已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】函数与互为反函数，
则与的图象关于对称，
将与联立，则，
由直线分别与函数和的图象交于点，
作出函数图像：
则的中点坐标为，
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，，
因为，即等号不成立，所以，故B正确；
对于C，将与联立可得，即，
设，且函数为单调递增函数，
，，
故函数的零点在上，即，由，则，
，故C正确；
对于D，由，解得，
由于，则，故D错误；故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为___________
【答案】-15
【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称
则,解得
因为奇函数当时,
则,故答案为:-15
【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求值,属于基础题.
9.设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.故答案为:
10.已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数的图象如下图所示，
作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，
而由得，当时，即（舍去）时，得直线，
当直线l：，过点时，得直线，此时，
所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，
故答案为：.
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.已知函数，函数（且）.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在恒有意义，求的取值范围；
（3）已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）∵函数，（且）的定义域为，
故恒成立
∴，求得.
（2）若函数，（且）在上恒有意义
故在上恒成立.
在上恒成立.
由，故的取值范围为.
（3）∵
设，
则原命题等价于两个函数与的图像在区间内有唯一交点.
当时，在区间内为减函数，为增函数
且，
∵函数与的图像在区间内有唯一点；
当时，图像开口向下，对称轴为
∴在区间内为减函数，为增函数
则由，∴
当时，图像开口向上，对称轴为
∴在区间内为减函数，为增函数
则由，∴.
综上得，所求的取值范围为.
12.已知函数，函数．
（1）若函数的图象过点，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的最小值；
（3）若对，都存在，使得，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）1；（3）.
【解析】（1）由得：，
令，则
所以或（舍），则
（2）由（1）知函数
令，，则：
当时递增，函数在上递增，
所以函数在R上递增，
则当时，；
另一方面，函数的图象关于对称，且先增后减，
则当时，，
所以，当且仅当时，的最小值为
（3）法1：与问题（2）同理，
已知函数在R上单增，
故在上的值域为，
设的值域为B，则，
①当时，当时，
函数在上递减，
故，
设函数，
令，，则：
当时，递减，
函数在上递增，
所以函数在R上递减，
故当时，，
即，不满足；
②当时，的图象关于对称，
且在递增，在上递减，
故，又，
故，
由情况①知，
即，
不满足；
③当时，的图象关于对称，
且在递增，在上递减，
故，又，
故，，
由有：，所以此时；
④当时，当，函数在上递增，
故，
由有：，所以此时；
综合①②③④有：
法2：与问题（2）同理，
易知函数在R上单增，
故在上的值域为，
设的值域为B，则
函数，则，
因此只需在上的最小值即可．
由于函数的图象关于对称，且先增后减，
故当时，，
又
则必有：，
而当，时，
在上递增，此时，
故当且仅当时，满足，
因此所求范围为．第2讲
函数的图像与性质
考点1
函数的性质及应用：
例1.(1)函数是上的奇函数，当时，，则当时，（
）
A．
B．
C．
D．
(2)设函数是定义在上的奇函数，且，则___________．
【跟踪演练】1.(1)偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
(2)已知函数，则关于的不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
考点2
：利用函数性质识别函数图像
例2.(1)函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)函数f(x)=在的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪演练】2.
(1)函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
(2)函数的部分图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
考点3
：利用函数图像研究函数性质
例2.(1)四个函数，，，，方程，，的实数根分别为，，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
(2)已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（
）
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
【跟踪演练】2.
(1)已知定义在上的函数，，，，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
(2)(多选题）设函数若函数有三个零点，则实数可取的值可能是（
）
A．0
B．
C．
D．1
【仿真练习】
一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则（
）
A．4
B．
C．2
D．-2
2.若函数的大致图像如图所示，则的解析式可以为（
）
A．
B．
C．
D．
3.设是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，则（
）
A．
B．
C．
D．
4.已知函数，，设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5.已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
6.已知（为常数），那么函数的图象不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7.已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．
8.已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为___________
9.设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
10.已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11.已知函数，函数（且）.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在恒有意义，求的取值范围；
（3）已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数的取值范围.
12.已知函数，函数．
（1）若函数的图象过点，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的最小值；
（3）若对，都存在，使得，求m的取值范围．
