复数的概念
为了解决负数的开方问题，人们引入了一个新数，叫做虚数单位，规定：，即是的一个平方根，并且把形如的数叫做复数。复数全体所成的集合叫做复数集，一般用字母表示。定义了复数运算后的复数集叫做复数系（域）。
复数通常用字母表示，即．其中叫做复数的实部，记作；叫做复数的虚部，记作．并规定：，．当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数．把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
实数集是复数集的真子集，即．
复数可以分类如下：
复数（）．
如果两个复数和的实部和虚部分别相等，即且，那么我们就说这两个复数相等，记作．
如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数只有相等和不相等的关系，而不能比较大小。
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。复数的共轭复数用来表示，也就是当时，．
对于复数，我们把称为该复数的模（或绝对值），记作，即．复数的模是一个非负实数，当且仅当时，．特别地，若，则且，这就是实数的绝对值。由可知
，即．
练习1.
设是虚数，，且，求的实部的取值范围。
解：设
是实数，
又，
，即的实部的取值范围是
练习2.
若，，求．
解：
又
设，则
，即
由复数相等的充要条件得，解得
练习3.
已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数的值。
解：设是方程的实根，代入方程并整理得
由复数相等的条件得
计算得出或
因此方程的实根为或
相应的的值为或
练习4.
已知方程有实根，求实根的取值范围。
解：设为方程的一个实根，则
又有
则
因此实根的取值范围是
复数的代数运算
复数的加减法
复数的加（减）法规定为：．
两个复数的和（差）仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的和（差），它的虚部是原来两个复数虚部的和（差）。
复数的加法满足交换律和结合律。
复数的乘除法
复数的乘法规定为：．
复数的除法规定为：．
复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。
复数乘法及开方
复数的乘方运算是指几个相同的复数相乘。因为复数的乘法满足交换律与结合律，所以实数集中正整数指数幂的运算法则在复数集中仍然成立。
复数的开方是乘方的逆运算。如果复数满足：（），则称是的一个次方根。
练习5.
计算．
解：原式=
练习6.
计算：．
解：利用的周期来解题：
原式=
=
练习7.
若复数满足，求证．
证明：令
练习8.
求同时满足下列两个条件的复数：
（1）；（2）的实部、虚部都是整数。
解：设，从而可转化为。
由，可知
的实部、虚部都是整数
是整数，即只能取2,4,6.
由是整数，知只能取2,6.
满足条件的复数为或或或
练习9.
已知虚数使得和（其中表示，下同）都是实数，求．
解：
化为：
①
化为：
②
将②代入①得：，即
和都是实数
或复数的概念
为了解决负数的开方问题，人们引入了一个新数，叫做虚数单位，规定：，即是的一个平方根，并且把形如的数叫做复数。复数全体所成的集合叫做复数集，一般用字母表示。定义了复数运算后的复数集叫做复数系（域）。
复数通常用字母表示，即．其中叫做复数的实部，记作；叫做复数的虚部，记作．并规定：，．当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数．把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
实数集是复数集的真子集，即．
复数可以分类如下：
复数（）．
如果两个复数和的实部和虚部分别相等，即且，那么我们就说这两个复数相等，记作．
如果两个复数都是实数，那么这两个复数具有大小关系；如果两个复数不都是实数，那么这两个复数只有相等和不相等的关系，而不能比较大小。
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。复数的共轭复数用来表示，也就是当时，．
对于复数，我们把称为该复数的模（或绝对值），记作，即．复数的模是一个非负实数，当且仅当时，．特别地，若，则且，这就是实数的绝对值。由可知
，即．
练习1.
设是虚数，，且，求的实部的取值范围。
练习2.
若，，求．
练习3.
已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数的值。
练习4.
已知方程有实根，求实根的取值范围。
复数的代数运算
复数的加减法
复数的加（减）法规定为：．
两个复数的和（差）仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的和（差），它的虚部是原来两个复数虚部的和（差）。
复数的加法满足交换律和结合律。
复数的乘除法
复数的乘法规定为：．
复数的除法规定为：．
复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。
复数乘法及开方
复数的乘方运算是指几个相同的复数相乘。因为复数的乘法满足交换律与结合律，所以实数集中正整数指数幂的运算法则在复数集中仍然成立。
复数的开方是乘方的逆运算。如果复数满足：（），则称是的一个次方根。
练习5.
计算．
练习6.
计算：．
练习7.
若复数满足，求证．
练习8.
求同时满足下列两个条件的复数：
（1）；（2）的实部、虚部都是整数。
练习9.
设的立方虚根是．
（1）求；（2）求证：；（3）求证：．
练习10.
已知虚数使得和（其中表示，下同）都是实数，求．
练习11.
求所有整数，使成立。
