复数的模和共轭复数的运算性质
1.
一般地，对任意复数，复数的模的运算有以下性质：
；；；．
2.
对于复数，则，因为，又，所以．
关于共轭复数，还有以下一些常用的运算性质：对任意复数，
，，，，．
已知非零复数和满足，求证：是纯虚数。
例2.
设复数和满足关系式，其中为不等于0的复数。
求证：（1）；（2）.
练习1.（1）已知，求证；
（2）已知，且，求证中至少有一个是1。
练习2.若复数的模均为，求的值。
四、
复数与复数的加法、减法的几何意义
1.
复数的几何意义
由复数相等的定义可知，复数与有序实数对是一一对应关系。而有序实数对与平面直角坐标系内的点也是一一对应的。因此，可以用平面直角坐标系内的点来表示复数，也可以用复数来描述平面直角坐标系内的点．
如图所示，点的横坐标是，纵坐标是，它表示复数．
建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在这里轴叫做
实轴，轴叫做虚轴。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都
在虚轴上，原点表示实数0．
按照这种表示方法，每一个复数都有复平面内唯一确定的一个点
与之对应；反过来，复平面内的每一个点也有唯一的一个复数与它对应。
所以复数集和复平面内所有的点所组成的集合的元素之间是一一对应的。
为方便起见，我们常把复数看作点或看作向量．我们规定，相等的向量表示同一个复数。
这就是复数的几何意义，也是复数的另一种表示方法，即复数的几何表示方法。
根据复数模的定义，可知的模与表示的向量的模是一致的，所以复数的模也可以说成是其对应向量的模，即复数的模就是其在复平面内所对应的点到坐标原点的距离。
2.
复数加法、减法的几何意义
设向量、分别与复数、对应，且、不共线，以、为两条邻边画平行四边形，则对角线所表示的向量就是复数对应的向量（即平行四边形法则）．
根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义（即三角形法则）．
设、，则
，．
故．
由此可得：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。
例3.
设复数满足，求的最大值及此时的复数．
例4.
若，求的最大值和最小值。
例5.
设是复数，求的最小值
练习3.
若且，求的最大值。
练习4.
设复数满足，求的最大值和最小值。
练习5.
关于的二次方程中，、、均是复数，且．设这个方程的两个根为、，且满足，求的最大值和最小值。
练习6.
在复平面上有两个动点和，它们分别对应于复数与，且满足，当沿曲线运动时，求的最值。三、
复数的模和共轭复数的运算性质
1.
一般地，对任意复数，复数的模的运算有以下性质：
；；；．
2.
对于复数，则，因为，又，所以．
关于共轭复数，还有以下一些常用的运算性质：对任意复数，
，，，，．
已知非零复数和满足，求证：是纯虚数。
证明：
，化简得
，两边同事除以，得
为非负复数
是纯虚数。
例2.
设复数和满足关系式，其中为不等于0的复数。
求证：（1）；（2）.
证明：（1）
（2），由此得
故
练习1.（1）已知，求证；
（2）已知，且，求证中至少有一个是1。
解：（1）
=
=
=
=
（2）
，
即
即，变形为：，
，解得
中至少有一个是1.
练习2.
若复数的模均为，求的值。
解：设
==
综上所述，的值是。
四、
复数与复数的加法、减法的几何意义
1.
复数的几何意义
由复数相等的定义可知，复数与有序实数对是一一对应关系。而有序实数对与平面直角坐标系内的点也是一一对应的。因此，可以用平面直角坐标系内的点来表示复数，也可以用复数来描述平面直角坐标系内的点．
如图所示，点的横坐标是，纵坐标是，它表示复数．
建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在这里轴叫做
实轴，轴叫做虚轴。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都
在虚轴上，原点表示实数0．
按照这种表示方法，每一个复数都有复平面内唯一确定的一个点
与之对应；反过来，复平面内的每一个点也有唯一的一个复数与它对应。
所以复数集和复平面内所有的点所组成的集合的元素之间是一一对应的。
为方便起见，我们常把复数看作点或看作向量．我们规定，相等的向量表示同一个复数。
这就是复数的几何意义，也是复数的另一种表示方法，即复数的几何表示方法。
根据复数模的定义，可知的模与表示的向量的模是一致的，所以复数的模也可以说成是其对应向量的模，即复数的模就是其在复平面内所对应的点到坐标原点的距离。
2.
复数加法、减法的几何意义
设向量、分别与复数、对应，且、不共线，以、为两条邻边画平行四边形，则对角线所表示的向量就是复数对应的向量（即平行四边形法则）．
根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义（即三角形法则）．
设、，则
，．
故．
由此可得：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。
例3.
设复数满足，求的最大值及此时的复数．
解：设
故当时，取最大值9，从而取最大值3此时，即取最大值3时，
例4.
若，求的最大值和最小值。
解：由模的性质有：，即
解得：
因此，的最小值为，的最大值为
例5.
设是复数，求的最小值
解：设A(1，0)、B(-1，0)、C(0，1)、P(x，y)为复平面上的点，则表示点P到△ABC三个顶点的距离之和.由平面几何知识知当P位于线段OC上且OBP=30°时，
P点到A、B、C三点的距离之和最小.这时
，
所以，
即的量小值为
练习3
若且，求的最大值。
解：
|z+2-2il=|z-(-2+2i)I=1，
复数z在复平面内对应点的轨迹是以(-2，2)为圆心，1为半径的圆
|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z在复平面内的对应点到点(2，2)的距
离，即圆上的点到点(2，2)的距离，
最小值为圆心与点(2，2)的距离减去半径，
|z-2-2i|的最小值为3。
练习4.
设复数满足，求的最大值和最小值。
解：
由已知等式得|z-(-4+3i|-2≤0,
即z-(-4+3)|-2≤0，它表示的以点P(-4，3)为圆心，半径R=2的圆面.
如图可知=|OQ|时，有最大值|OP|+R=5+2=7；
=|0M|时有最小值|OP|-R=5-2=3
练习5.
关于的二次方程中，、、均是复数，且．设这个方程的两个根为、，且满足，求的最大值和最小值。
解：由韦达定理，有
即
这表示复数在以A(4，5)为圆心、7为半径的圆周上(如图)，而，故原点在内.于是连接OA并延长交于两点B与C，则|OB|=|OA|+|AB|=是的最大值，
lOC|=|CA|-IAO|=是的最小值.
因此，的最大值是，的最小值是.
练习6.
在复平面上有两个动点和，它们分别对应于复数与，且满足，当沿曲线运动时，求的最值。
解：当沿曲线运动时，的轨迹方程为：
设的坐标为，即，则
，则的最小值为1，最大值是3.
