五、复数的三角形式与运算
设非零复数在复平面上所对应的点是，所对应的向量是，则以实轴的正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫做复数的辐角，记作．非零复数有无限多个值，这些值中的任意两个相差的整数倍，我们把适合的辐角的值，叫做复数的辐角主值，记作．易知复数的辐角与辐角主值满足关系式（）．
这样，非零复数与它的一组模和辐角主值是一一对应的，两个非零复数当且仅当它们的模与辐角主值分别相等时才相等。
若复数，则所对应的向量是零向量。零向量的方向是任意的，所以复数的辐角也是任意的，辐角主值可以取内的任意一个值。
设，根据三角比的定义，我们有，即，所以．
这里就是复数的模，是的一个辐角。特别地，复数也可以写作．由此可见，任何复数都可以表示成的形式。
我们把叫做复数的三角形式，其中是复数的模，是的一个辐角。
下面，我们利用复数的三角形式来研究复数的乘法、除法、乘法及开方运算。
设复数，，按复数的代数形式的乘法法则有
．
则．
即两个复数相乘，积的模等于两个复数模的乘积，积的辐角等于两个辐角的和。
除法是乘法的逆运算，即当时，商是指满足的复数．因为
，所以
．
即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
复数三角形式的乘法法则可以推广到个复数：
．
如果在上式中取，，即得
．
即复数的次幂的模等于这个复数的模的次幂，它的辐角等于这个复数辐角的倍，这个定理叫做棣莫弗定理。
设复数的次方根（）为，则，
即．
所以，得，．
因此，的次方根为．显然，复数的次方根仍然是．
当取各值时，可以得到的个不同的值（因为它们中任意两个的商都不为）。而当取其它整数值时，可以证明所得到的值必与前面已取得的个值重复，所以非零复数的次方根是个复数，它们是（）．
求的立方根。
已知复数满足，，求的值。
若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数．
已知，（），且
，，求的值。
设复数，，并且，，求．
课后作业：
计算．
已知复数满足，，求．
设复数，复数满足，已知的对应点在虚轴的负半轴上，且，求的代数形式。
已知是的三个内角，三个复数，，，求的值。
已知复数满足，且，，，求的值。
已知，，求复数．
已知，，，若在复平面上分别对应点，且，求的立方根。高一数学培优课—复数的三角形式与棣莫弗定理
五、复数的三角形式与运算
设非零复数在复平面上所对应的点是，所对应的向量是，则以实轴的正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫做复数的辐角，记作．非零复数有无限多个值，这些值中的任意两个相差的整数倍，我们把适合的辐角的值，叫做复数的辐角主值，记作．易知复数的辐角与辐角主值满足关系式（）．
这样，非零复数与它的一组模和辐角主值是一一对应的，两个非零复数当且仅当它们的模与辐角主值分别相等时才相等。
若复数，则所对应的向量是零向量。零向量的方向是任意的，所以复数的辐角也是任意的，辐角主值可以取内的任意一个值。
设，根据三角比的定义，我们有，即，所以．
这里就是复数的模，是的一个辐角。特别地，复数也可以写作．由此可见，任何复数都可以表示成的形式。
我们把叫做复数的三角形式，其中是复数的模，是的一个辐角。
下面，我们利用复数的三角形式来研究复数的乘法、除法、乘法及开方运算。
设复数，，按复数的代数形式的乘法法则有
．
则．
即两个复数相乘，积的模等于两个复数模的乘积，积的辐角等于两个辐角的和。
除法是乘法的逆运算，即当时，商是指满足的复数．因为
，所以
．
即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
复数三角形式的乘法法则可以推广到个复数：
．
如果在上式中取，，即得
．
即复数的次幂的模等于这个复数的模的次幂，它的辐角等于这个复数辐角的倍，这个定理叫做棣莫弗定理。
设复数的次方根（）为，则，
即．
所以，得，．
因此，的次方根为．显然，复数的次方根仍然是．
当取各值时，可以得到的个不同的值（因为它们中任意两个的商都不为）。而当取其它整数值时，可以证明所得到的值必与前面已取得的个值重复，所以非零复数的次方根是个复数，它们是（）．
求的立方根。
解：
的立方根是
已知复数满足，，求的值。
解：设
解得：或
或
若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数．
解：设
由可得
利用，解得，
当时，；
当时，。
已知，（），且
，，求的值。
解：
设复数，，并且，，求．
解：
=
，所以
（1）当时，得或，这时都有，得，符合题意。
（2）当时，得或，这时都有，得，不符合题意，舍去。
综上所述，或者
课后作业：
计算．
解：原式=
已知复数满足，，求．
解：设，则
由题意可得，解得，所以
设复数，复数满足，已知的对应点在虚轴的负半轴上，且，求的代数形式。
解：
设
（由题知）
已知是的三个内角，三个复数，，，求的值。
解：由
同理可得
。
已知复数满足，且，，，求的值。
解：由得：，即，
令，
已知，，求复数．
解：设，
，解得
已知，，，若在复平面上分别对应点，且，求的立方根。
解：由题设置，
即
又因
所以的立方根为，
即、、
