高一数学培优课—复数集内的方程
六、复数集内的方程
我们知道在实数集中解一元二次方程时，如果判别式，那么这一方程没有实数解。现在，我们先来讨论实系数一元二次方程在复数集中的解的问题。
设一元二次方程，因为，所以原方程可变形为
．
配方，得，即．
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，因为的平方根为，此方程有两个不相等的虚数根．
这样实系数一元二次方程在复数集中一定有解，即当时，实系数一元二次方程在复数集中有一对互相共轭的虚数根．
容易验证，上述两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即，．
在复数集中，因为实系数的二次三项式所对应的方程总有两个解，所以在复数集中总可以分解成两个一次因式的乘积，即
．
对于实系数一元次方程，还有下面两个重要的定理：
（1）共轭虚根定理
如果虚数是实系数一元次方程的根，那么也是这方程的根。
（2）实系数一元次方程
在复数集内一定有个根：，并且有
．
例题讲解：
已知方程的一个根是，求方程其它的根。
解：
是方程的根
也是方程的根。设第三个根为，则
所以方程的另外两个根是，。
设，在复数集中解方程．
解：设，则原方程化为，
从而有，由知，可见原方程有实根或纯虚根，下面进行分类讨论：
1）若时，则，将代入方程可得：
，则
时，原方程有实数根。
2）若时，则，将代入方程可得：
若，则，从而得，此时原方程的纯虚数为
若，则，此时原方程的纯虚数为
若则不是实数，所以原方程无纯虚根。
综上，当时，原方程有实根和纯虚根；当，原方程有实根，纯虚数为；当时，原方程无纯虚根，只有实根。
已知复数满足和，则这样的实数共有几个？
解：
为实数或纯虚数。
（1），则，
（2），
（3），
综上所述，共5个。
已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求．
解：
是实系数一元二次方程的两个虚根
又
课后作业：
在复数范围内分解因式．
解：
已知方程有两个根是，求方程的其它根。
解：实系数方程的虚根成对出现，则也是根。
利用待定系数法或者长除法得：
所以方程的其他根为。
设，若二次方程有两个虚根，求需满足的充要条件。
解：若方程有实根，由方程组有实根，由方程组得若，则方程中无实根，所以。
因此。
当时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为
已知是关于的方程的两个根，求的值。
解：是关于的方程的两个根，则，解得：，且，。
当时，，此时。
当时，设。
若，则，则。
若，则，且
综上，当时，；当时，。
已知关于的实系数方程的两根分别为，且，求的值。
解：
（1）
1）若，则方程有实根，且
代入（1）得；
2）若，则方程有两个共轭虚根，且
解得：，代入（1）得。
综上所述，。
6.已知关于的实系数方程和的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，求的取值范围
解：易知方程的两根为。
当，即-时，方程有两个共轭的虚根，且的实部为，这时在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆.
当，即或时，方程有两个不等的实根，则对应的点在以对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为：
即，
将工及对应点的坐标代入方程，即得，
故m的取值范围是。高一数学培优课—复数集内的方程
六、复数集内的方程
我们知道在实数集中解一元二次方程时，如果判别式，那么这一方程没有实数解。现在，我们先来讨论实系数一元二次方程在复数集中的解的问题。
设一元二次方程，因为，所以原方程可变形为
．
配方，得，即．
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，因为的平方根为，此方程有两个不相等的虚数根．
这样实系数一元二次方程在复数集中一定有解，即当时，实系数一元二次方程在复数集中有一对互相共轭的虚数根．
容易验证，上述两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即，．
在复数集中，因为实系数的二次三项式所对应的方程总有两个解，所以在复数集中总可以分解成两个一次因式的乘积，即
．
对于实系数一元次方程，还有下面两个重要的定理：
（1）共轭虚根定理
如果虚数是实系数一元次方程的根，那么也是这方程的根。
（2）实系数一元次方程
在复数集内一定有个根：，并且有
．
例题讲解：
已知方程的一个根是，求方程其它的根。
设，在复数集中解方程．
已知复数满足和，则这样的实数共有几个？
已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求．
课后作业：
在复数范围内分解因式．
已知方程有两个根是，求方程的其它根。
设，若二次方程有两个虚根，求需满足的充要条件。
已知是关于的方程的两个根，求的值。
已知关于的实系数方程的两根分别为，且，求的值。
6.已知关于的实系数方程和的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，求的取值范围
