课件20张PPT。1.13导数的几何意义 笑唐风声制作求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤是:回顾切线 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。不能直线与圆相切时，只有一个交点P问题你能借助函数 的图象说说平均变化率表示什么吗？请在函数图象中画出来．割线斜率圆的切线曲线切线曲线的切线定义 导数的几何意义：
圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
而通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以
用在点P处的切线近似代替 。
大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简单的对象刻画复杂的对象）
例1:
（1）求函数y=3x2在点 (1,3)处的导数.
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象. 根据图象, 请描述、比较曲线 在 附近的变化情况. 解: 可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.t4t3(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减. 从图可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的
倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在l1附近比在l2附近下
降得缓慢。
例3如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)
（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）
变化的函数图像，根据图像，估计
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中
药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格
的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象
即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
如图（见课本P10.6）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。
P11.2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；课堂练习练习 P10 6课堂小结1.曲线的切线定义课件24张PPT。1.11变化率问题
1.12导数的概念笑唐风声制作 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?播放暂停停止用什么反应平均速度？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以，
若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1) 上述问题中的变化率可用式子 表示
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率1.平均变化率的定义这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .则平均变化率为 观察函数f(x)的图象，平均变化率
表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y割线AB的斜率思考?2.平均变化率的几何意义
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率：
3.求函数的平均变化率的步骤例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。随堂训练1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
A . 3 B . 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx DA3、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.问题引入：
1．瞬时速度当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,………… 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:一差、二化、三极限解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是根据导数的定义,所以, 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.课件46张PPT。1.2导数的计算笑唐风声制作几个常用函数的导数典例精讲例1.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。2）基本初等函数的导数公式今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式公式一:(kx+b)’=k－20－2110公式二:通过以上公式我们能得到什么结论? 1例1：求下列函数的导数例2:公式三:公式四:例4.求下列函数的导数公式五:对数函数的导数公式六:指数函数的导数例5.求下列函数的导数1、求下列函数的导数随堂训练例 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?解：根据基本初等函数导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。典题精析随堂训练2:若直线y=4x+b是函数y=x2图象
的切线,求b以及切点坐标.3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点
P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,
y0=ax03②,
3ax02=3.③由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.所以a?(-1/2)2=1,即:a=44:求曲线y=x3+3x－8在x=2
处的切线的方程.导数的运算法则 法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：法则2:法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数解：法二：法一：法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即： 练 习复合函数的求导法则例 求下列函数的导数思考.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.课件27张PPT。利用导数研究函数的单调性笑唐风声制作知识回顾判断函数单调性有哪些方法？图象法定义法减增1.图象法（如图）：2.定义法：（证明此函数在（－∞，0）上单调递减）证明:任取x1,x2∈（－∞，0）且x1＜x2,有
f(x1)-f(x2)=x12-x22
=(x1+x2)(x1-x2)
∵ x1,x2∈（－∞，0）且x1＜x2
∴ (x1+x2)＜0，(x1-x2)＜0
∴ f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＜f(x2)
∴函数 f(x)=x2在（－∞，0）上单调递减动态
演示单调性f′(x) 函数及图象切线斜率
的正负观察探究负正＜0 ＞0 = 在区间(－∞，0)内，切线的斜率为负，函数f(x)=x2的值随着x的增大而减小，即f’(x)<0时，函数f(x)在区间(－∞，0)内为减函数。 在区间(0，+∞)内，切线的斜率为正，函数f(x)=x2的值随着x的增大而增大，即f’(x)>0时，函数f(x)在区间(0，+∞)内为增函数。xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数
在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.（函数单调性与导数正负的关系）注意：
应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内的某个区间。结论：例1 已知导函数 的下列信息:当1 < x < 4 时,当 x > 4 , 或 x < 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.解: 典
例
精
讲
一例2、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.(A)(B)(C)(D)C高考试尝设 是函数 的导函数， 的图象如
右图所示,则 的图象最有可能的是( )高考试B尝练习: 求函数的单调区间: f (x)=x/2+sinx;例3.试应用导数判断函数在相应区间的单调性
(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
(1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。
(2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____函数，
在(－∞,1]上为______函数，在[1,2]上为__
__________________________________函数。增增减既不是增函数,也不是减函数求函数 的单调区间。总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、
单调区间较简便？2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？变式 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递增.(2) 因为 , 所以当 , 即 时, 函数 单调递增;当 , 即 时, 函数 单调递减.变式 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(3) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减.(1)函数单调性与导数正负的关系课堂小结(2)利用导数研究函数单调性的步骤练习 P26 2 2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数
图象的大致形状练习练习3.讨论二次函数 的单调区间.解: 练习4.求证: 函数 在 内是减函数.解: 一、求参数的取值范围增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增增例2：小结：1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)先判断原函数的定义域，求f’(x).
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0).
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）.
2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤：
(1)求f’(x).
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号.
(3)作出结论.课件19张PPT。函数的极值与导数笑唐风声制作知识回顾:用“导数法” 求单调区间的步骤:注意：函数定义域③求单调区间单调递增单调递减探究(图一)问题：探究(图一)极大值f(b)点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，
极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？
（1）如图是函数 的图象,试找出函数
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？随堂练习—P29练习1答：1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)
的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。
下面分两种情况讨论:
（1）当 ，即x＞2,或x＜-2时;
（2）当 ，即-2 ＜ x＜2时。例1：求函数 的极值. 解:∵∴当x变化时， 的变化情况如下表：∴当x=-2时, f(x)的极大值为 令解得x=2,或x=-2.当x=2时, f(x)的极小值为探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? 若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可? f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，
那么 是极小值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，
那么 是极大值；解方程 ，当 时：练习： 下列结论中正确的是（ ）。
A、导数为零的点一定是极值点。
B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0, 那么 f(x0)
是极大值。
C、如果在x0附近的左侧f‘(x)<0,右侧f’(x)>0,那么f(x0)
是极大值。
Ｄ、极大值一定大于极小值。B(最好通过列表法)巩固练习：求函数 的极值 当 时, 有极大值，并且极大值为∴当 时, 有极小值，并且极小值为
P29—练习2求下列函数的极值:解: 令 解得 列表:+单调递增单调递减– 所以, 当 时, f (x)有极小值练习2求下列函数的极值:解: 解得 列表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .练习2求下列函数的极值:解: 解得 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .解得 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ;当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .已知函数 在 处取得极值。
（1）求函数 的解析式（2）求函数 的单调区间
变式训练.略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用变式训练 3.函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ）
A、 或
B、 或
C、 D、 以上都不对 C，注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验 变式训练∴a=2.
例5:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处
有极值，求a、b的值因为在x=1和x=2处,导数为0课堂小结: 一、方法:
(1)确定函数的定义域
(2)求导数f'(x)
(3)求方程f'(x) =0的全部解
(4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
作业： P32 5 ① ④今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值课件13张PPT。函数的最值与导数笑唐风声制作一、复习与引入2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充
分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点
取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,
哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.二、新课——函数的最值 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 导数的应用-----求函数最值. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).三、例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.从上表可知,最大值是13,最小值是4. 变式：求函数 在[0，3]上的最 大值与最小值.解：f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的.例2、函数 y = x3 + 3 x2－9x在 [－4 , 4 ]上的最大值
为 ,最小值为 .解法一: (1) 由 f ′(x)=3x2 +6x－9=0,(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为
f (－4) =20 , f (4) =76得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5解法二：当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：比较以上各函数值，可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76，
最小值为 f (1)=－5例3经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。 例4 已知 ,x∈(0,+∞).是否存 在实数a、b,使 f (x) 同时满足下列两个条件(1)f (x) 在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；
(2) f (x)的最小值是3. 若存在，求出a，b; 若不存 在，说明理由。 ∵ f(x)在(0,1)上是减函数，
在［1，+∞)上是增函数.11课件17张PPT。1.4生活中的优化问题举例笑唐风声制作创设情景例1：学校举行庆祝五一劳动节活动，需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
想一想则有 xy=128，（１）另设四周空白面积为Ｓ，则（２）由（１）式得：代入（２）式中得：xy2解法二：由解法(一)得解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.由于S(r)只有一个极值,所以它
是最小值.答:当罐的高与底直径相等时,
所用的材料最省.例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般
比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
如：汇源百分百果汁1升的是10.5元，600毫升的是7.5元
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶
子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml
的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能
制作的瓶子的最大半径为 6cm.
问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是令当1.半径为２cm 时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，即半径越大，利润越低．
解决这些优化问题的基本思路如以下流程图所示：小结： 在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可
使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通
常称为优化问题.作业：课本P40 A组 第2题
