2020-2021学年苏科版数学七年级下册第10章 二元一次方程组之实际应用培优提升（二）（word版含答案）

七年级下册第10章
二元一次方程组之
实际应用培优提升（二）
1．“重百”、“沃尔玛”两家超市出售
同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元．
（1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解）
（2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由．
2．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材　
　张，B型板材　
　张（用m、n的代数式表示）；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是　
　个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
3．客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度．
4．武汉地铁四号线工程已正式启动，其中某施工路段总长120公里，由甲、乙两工程队合做6个月完成，已知甲做2个月的工作量等于乙做3个月的工作量．
（1）甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
5．杭州地铁5号线全长48.18公里，投资315.9亿元，规划建设预期2014﹣2019年，杭州工程地铁队负责建设，分两个班组分别从杭州南站外香樟路站和余杭科技岛站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．
（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进1.7米，乙组平均每天能比原来多掘进1.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
6．新年期间，某校初二级部1班进行了新年联欢会，班主任派小明同学去商店为班级买奖品，下面是小明与售货员的对话：
小明：阿姨，您好！售货员：同学好！想买点什么？
小明：我只有100元钱，请帮我安排买10支钢笔，15个笔记本．
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见！
根据对话，请你用我们初二所学的方程组相关知识，算出钢笔和笔记本的单价．
7．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
8．某公园的门票价格如下表：
购票人数
1﹣50人
51﹣100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？
9．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？
10．“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何”
意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？
11．七年级某班为准备科技节表彰的奖品，计划从友谊超市购买笔记本和水笔共40件，在获知某网店有“五一”促销活动后，决定从该网店购买这些奖品．已知笔记本和水笔在这两家商店的零售价分别如下表，且在友谊超市购买这些奖品需花费90元．
品名商店
笔记本（元/件）
水笔（元/件）
友谊超市
2.4
2
网店
2
1.8
（1）请求出需购买笔记本和水笔的数量；
（2）求从网店购买这些奖品可节省多少元．
12．小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次的均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表所示
购买商品A的数量/个
购买商品B的数量/个
购买总费用/元
第一次购物
6
5
1140
第二次购物
3
7
1110
第三次购物
9
8
1062
（1）在这三次购物中，第　
　次购物打了折扣；
（2）求出商品A，B的标价．
（3）若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品？
13．河大附中初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A需要100元，一辆B需120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．
14．某校举办“迎亚运“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽．
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b
①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值．
15．用二元一次方程组求解：某商场购进商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽签确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元．两种商品原销售价之和为490元．则两种商品进价分别为多少元？
参考答案
1．解：（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元．
由题意，得：．
解得：．
答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元．
（2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算．
理由：在“重百”超市购买所需费用为：0.9（50×4+15×10）＝315（元），
在“沃尔玛”超市购买所需费用为：50×4+（15﹣4）×10＝310（元），
∵310＜315，
∴选择在“沃尔玛”超市购买更合算．
2．解：由题意得：，
解得；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m＝2m，裁法二产生A型板材为：1×n＝n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m＝m，裁法二产生A型板材为，2×n＝2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴＝，化简得m＝4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为：2m+n；m+2n；24或27或30．
3．解：设客车的速度为xm/s，货车的速度为ym/s，
由题意得，，
解得：．
答：客车的速度为30m/s，货车的速度为20m/s．
4．解：（1）设甲队每月的施工路段是x公里，乙队每月的施工路段是y公里，
依题意得，
解得．
答：甲队每月的施工路段是18公里，乙队每月的施工路段是12公里．
（2）根据题意得：，
解得：a≤4
b≥9．
∵a≤12，b≤12且a，b都为正整数，
∴9≤b≤12又a＝10﹣b，
∴b为3的倍数，
∴b＝9或b＝12．
当b＝9时，a＝4；
当b＝12时，a＝2
∴a＝4，b＝9或a＝2，b＝12．
方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；
方案二：甲队作2个月，乙队作12个月．
5．解：（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，由题意得
，
解得．
答：甲班组平均每天掘进12.2米，乙班组平均每天掘进9.8米．
（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则
a＝（48180﹣110）÷（12.2+9.8）＝2185（天），
b＝（48180﹣110）÷（12.2+1.7+9.8+1.3）＝1922.8（天），
因此a﹣b＝2185﹣1922.8＝262.2（天）．
答：少用262.2天完成任务．
6．解：设每支钢笔的价格为x元，每本笔记本的价格为y元，
根据题意，得：，
解得：．
答：每支钢笔5元，每本笔记本3元．
7．解：（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，
据题意：，
解得：，
答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人；
（2）①由题意得：20m+45n＝400，
∴n＝，
∵m、n为非负整数，
∴或
或，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：150×20＝3000（元），
方案二租金：150×11+250×4＝2650（元），
方案三租金：150×2+250×8＝2300（元），
∴方案三租金最少，最少租金为2300元．
8．解：设二（1）班有x人，二（2）班有y人
则：
解得：
节省钱数为1240﹣104×9＝304元．
答：两个班各有48人和56人，学生联合起来购票能省304元．
9．解：（1）解分三种情况计算：
①设购甲种电视机x台，乙种电视机y台．
解得．
②设购甲种电视机x台，丙种电视机z台．
则，
解得：．
③设购乙种电视机y台，丙种电视机z台．
则
解得：（不合题意，舍去）；
（2）方案一：25×150+25×200＝8750．
方案二：35×150+15×250＝9000元．
答：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台．
购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．
10．解：设绳长x尺，长木为y尺，
依题意得
解得．
答：长木长6.5尺．
11．解：（1）设需购买笔记本x件，水笔y件，
根据题意得：，
解得：．
答：需购买笔记本25件，水笔15件．
（2）在网店购买这些奖品所需费用为25×2+15×1.8＝77（元），
节省的钱数为90﹣77＝13（元）．
答：从网店购买这些奖品可节省13元．
12．解：（1）观察表格中的数据，可知：第三次购物，购进的数量更多，总价更低，
∴第三次购物打了折扣．
故答案为：三．
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．
（3）设商店是打m折出售这两种商品，
依题意，得：（90×9+120×8）×＝1062，
解得：m＝6．
答：商店是打6折出售这两种商品．
13．解：（1）设A、B型车每辆可分别载学生x，y人，
可得：，
解得：，
答：A、B型车每辆可分别载学生30人，40人；
（2）设租用A型a辆，B型b辆，
可得：30a+40b＝350，
因为a，b为正整数，所以方程的解为：，
方案一：A型1辆，B型8辆，费用：100×1+120×8＝1060元；
方案二：A型5辆，B型5辆，费用：100×5+120×5＝1100元；
方案三：A型9辆，B型2辆，费用：100×9+120×2＝1140元；
所以租用1辆A型8辆B型车花费最少为1060元．
14．解：（1）设小长方形的长和宽分别为x米、y米，
，得，
答：小长方形的长和宽分别为20米、5米；
（2）①，
①+②，得
3（x+y）＝a+b，
∴，
∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是：，
即1个小长方形周长与大长方形周长之比是1：3；
②∵作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，
∴，
∴，
∴（2x+y）（x+2y）＝9xy，
化简，得
（x﹣y）2＝0，
∴x﹣y＝0，
∴x＝y，
∴＝1．
15．解：设甲种商品进价为a元，乙种商品进价为b元，
，
解得，，
答：甲乙两种商品进价分别为150元、200元．