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2020-2021学年北师大版数学八年级下册章节提优练
第3章《图形的平移与旋转》
一．选择题
1．（2019秋?丰南区期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值为
A．4
B．8
C．
D．6
解：连接，如图所示：
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
的最大值为6，
故选：．
2．（2019秋?莱山区期末）已知，，现将线段平移至，如果，，那么的值是
A．32
B．16
C．5
D．4
解：由题意：，，
，
故选：．
3．（2019秋?任城区期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，其中有：①；②；③；④，四个结论，则结论一定正确的有 个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，故①、③错误；
，
，，
，故④正确；
不一定等于，
不一定等于，故②错误；
故选：．
4．（2019秋?斗门区期末）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为
A．
B．
C．
D．
解：由题意得，，
．
故选：．
5．（2018秋?福田区校级月考）如图，中，，绕点逆时针旋转至，连接对应点，垂直平分于点，则旋转角度是
A．
B．
C．
D．
解：绕点逆时针旋转至，
，，
垂直平分于点，
，
，
即旋转角度数是，
故选：．
6．（2017秋?浉河区校级月考）如图，边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是
A．4
B．3
C．2
D．1
解：如图，连接，
由旋转可得，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，
，，
，
即点的运动轨迹为直线，
当时，最短，
此时，，
的最小值是2，
故选：．
7．（2018?淄博）如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为
A．
B．
C．
D．
解：为等边三角形，
，
可将绕点逆时针旋转得，连，且延长，作于点．如图，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
．
，
在直角中，，．
在直角中，．
则的面积是．
故选：．
二．填空题
8．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△，连接，，过点作交于点，若，，且，则的长为 ．
解：过点作于，交于．
由题意：，
，，，
，，
△△，
，
，
，
设，，则，
，
，
，，设，，
则有，解得或，
或，
，
．
故答案为．
9．（2020?哈尔滨模拟）如图，中，，将绕点按顺时针方向旋转得到△，连接，则的长为 ．
解：连接，延长交于点，如图所示：
由旋转的性质得：，，，，
为等边三角形，
，，
在与△中，，
△
，
，且，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
10．（2019秋?九龙坡区期末）如图，中，，，，将绕顶点逆时针旋转到△处，此时线段与的交点恰好为的中点，则的面积为 19.2（即 ．
解：在中，，，，
，
点为的中点，
．
将绕顶点，按顺时针方向旋转到△处，
，
，
过作于，过作于，
，
△，
，
，
，
，
的面积，
故答案为：．
11．（2019秋?山西期末）如图，绕着点顺时针旋转得到△，连接，，延长交于点，若，，则的长为 ．
解：绕着点顺时针旋转得到△，
，，，，
，
延长交于点，则，
四边形是矩形，
，
延长交于点，如图所示：
则，，
△，
，
即，
解得：，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
12．（2019秋?松江区期末）如图，在中，已知，，点在边上，．把绕着点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么 70或120 ．
解：①当点落在边上时，
，
，
，
②当点落在上时，
在中，，，
，
，
故答案为70或120．
13．（2019?沈河区二模）如图，线段绕着点逆时针方向旋转得到线段，点对应点，在的内部有一点，，，，则线段的长为 ．
解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作于，
则，，
，，，
，
，
，
在中，
，
，
，
为直角三角形，且，
，
，
，
，
，，
在中，
，
，
故答案为：．
14．（2019?浦东新区二模）如图，已知在中，，，，将这个三角形绕点旋转，使点落在射线上的点处，点落在点处，那么 ．
解：如图，连接，
由旋转知，△，
，，，
，
为等腰直角三角形，，
在等腰直角三角形中，
，
在△中，
，
故答案为：．
15．（2019?宝应县一模）如图，点是等边的边上的一个动点，连结，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则的最小值是 3 ．
解：为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
由二次函数的性质可知，当的值为2时，有最小值，最小值为3，
故答案为：3．
16．（2018秋?西湖区校级月考）如图，已知在中，，，，在边上方作等边，则的长为 ．
解：如图，以为边，在的左侧作等边，连接，作交的延长线于．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，，
在中，，，，
，
故答案为．
17．（2017秋?历下区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，三角尺不动，将三角尺的边与边重合，然后绕点按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度所有可能的值是 、、、、 ．
解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，或，
即角度所有可能的值为：、、、、．
故答案为、、、、．
三．解答题
18．（2020春?江岸区校级月考）如图，已知，，，．
（1），是内任一点，经平移后对应点为，，将作同样的平移，得到△，
①直接写出、、的坐标．
②若点是点通过平移变换得到的，求的平方根．
（2）若为轴上一点，，直接写出点的坐标．
解：（1）①△如图所示，，．．
②由题意：，，
解得，，
，2的平方根为．
（2）设，
由题意：，
解得或，
，或，．
19．（2019秋?金平区期末）如图，是等边三角形，顺时针方向旋转后能与重合．
（1）旋转中心是 ，旋转角度是 度，
（2）连接，证明：为等边三角形．
（1）解：旋转中心是，旋转角度是60度；
故答案为：，60；
（2）证明：是等边三角形，
，
旋转角是；
，
又，
是等边三角形．
20．（2019秋?孝南区期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针方向旋转得到△，连接，求线段的长．
解：连．
，
，，
由旋转可知：，
是等边三角形
，
．
21．（2019秋?南宁期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，连接，．分别交，于点、，交于点．
（1）求的角度；
（2）求证：．
解：（1）绕点顺时针旋转得到，
，，
，
又，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
在和中，
，
．
22．（2020?泸县模拟）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后△；
（2）在（1）的条件下，求线段扫过的图形的面积（结果保留．
解：（1）绕点逆时针旋转后的△如图所示；
（2），，
线段扫过的图形的面积．
23．（2019秋?曲靖期末）将两块全等的三角板如图①楔放，其中，．
（1）将图①中的△顺时针旋转得图②，点是与的交点，点是与的交点，
求证：；
（2）在图②中，若，求长．
解：（1）将△顺时针旋转，
，，，
，
，且，，
△
；
（2）如图②，过点作，
，，，
，
，，
，
，
．
24．（2019秋?花都区期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在上，求线段的长．
解：在中，，，，
，
由旋转的性质得：，
．
25．（2019秋?莱西市期末）（1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．
求：①旋转角的度数 ；
②线段的长 ；
③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足什么条件时，？请给出证明．
解：（1）①为等边三角形，
，，
绕点顺时针旋转后得到，
，
旋转角的度数为；
②绕点顺时针旋转后得到，
，
而，
为等边三角形；
；
③为等边三角形，
，
绕点顺时针旋转后得到，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
；
（2）时，．理由如下：
绕点顺时针旋转后得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，
当时，为直角三角形，，
，
当、、满足时，．
26．（2020?武汉模拟）如图，正方形和直角，，将绕点旋转得到．
（1）在图中画出点和，并简要说明作图过程；
（2）若，，求的长．
解：（1）如图所示：连接，，交于点．连接并延长到点，使，连接，，
（2）如图所示：过点作与的延长线交于点，
四边形为正方形
，
在四边形中
，
在和中，
，
，．
为等腰直角三角形，
．
27．（2018秋?天心区校级期末）综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
；
（2）如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
（3）如图③，在图①基础上，若三角板的边从．处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当，求旋转的时间是多少？
解：（1），，
，
故答案为：；
（2）如图1，此时，成立，
，，
，
，
，
，
转速为秒，
旋转时间为3秒；
如图2，，
，，
，
，
，
，
三角板绕点逆时针旋转的角度为，
转速为秒，
旋转时间为21秒，
综上所诉，当旋转时间为3或21秒时，成立；
（3）设旋转的时间为秒，由题知，，，
，
，
当，即，
解得：，
当，求旋转的时间是25秒．
28．（2019春?商河县期中）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点旋转．
（1）当统点旋转到点恰好落在边上时，如图2．
①当时，此时旋转角的大小为 ；
②当时，此时旋转角的大小为 （用含的式子表示）．
（2）当绕点旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：的面积与的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
解：（1）①，，
，
，
是等边三角形，
，
旋转角为，
故答案为．
②如图2中，作于．
，，
，
，，
，
，
旋转角为．
故答案为．
（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过作于，过作于，如图3，
，
，，
，
于，于，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
，，
，
．
29．（2019秋?厦门期中）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，此时点恰好落在边上．
（1）画出旋转后的图形；
（2）连接，若，求旋转角及长．
解：（1）如图所示：
（2）连接，作于，
，
，
，
，
，
，
，
．
故旋转角是，长2．
30．（2019秋?朝阳区校级月考）如图①，在中，．将绕点逆时针旋转得到△，旋转角为，且．在旋转过程中，点可以恰好落在的中点处，如图②．
（1）求的度数；
（2）当点到的距离等于的一半时，求的度数．
解：（1）将绕点逆时针旋转得到△，旋转角为，
点可以恰好落在的中点处，
点是的中点．
，
，
，
即是等边三角形．
．
，
；
（2）如图，过点作于点，
点到的距离等于的一半，即．
在中，，，
，
，
．
，即．
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第3章《图形的平移与旋转》
一．选择题
1．（2019秋?丰南区期末）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到△，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值为
A．4
B．8
C．
D．6
2．（2019秋?莱山区期末）已知，，现将线段平移至，如果，，那么的值是
A．32
B．16
C．5
D．4
3．（2019秋?任城区期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，其中有：①；②；③；④，四个结论，则结论一定正确的有 个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．（2019秋?斗门区期末）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为
A．
B．
C．
D．
5．（2018秋?福田区校级月考）如图，中，，绕点逆时针旋转至，连接对应点，垂直平分于点，则旋转角度是
A．
B．
C．
D．
6．（2017秋?浉河区校级月考）如图，边长为8的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是
A．4
B．3
C．2
D．1
7．（2018?淄博）如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为
A．
B．
C．
D．
二．填空题
8．（2020春?沙坪坝区校级月考）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△，连接，，过点作交于点，若，，且，则的长为 ．
9．（2020?哈尔滨模拟）如图，中，，将绕点按顺时针方向旋转得到△，连接，则的长为 ．
10．（2019秋?九龙坡区期末）如图，中，，，，将绕顶点逆时针旋转到△处，此时线段与的交点恰好为的中点，则的面积为 ．
11．（2019秋?山西期末）如图，绕着点顺时针旋转得到△，连接，，延长交于点，若，，则的长为 ．
12．（2019秋?松江区期末）如图，在中，已知，，点在边上，．把绕着点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么 ．
13．（2019?沈河区二模）如图，线段绕着点逆时针方向旋转得到线段，点对应点，在的内部有一点，，，，则线段的长为 ．
14．（2019?浦东新区二模）如图，已知在中，，，，将这个三角形绕点旋转，使点落在射线上的点处，点落在点处，那么 ．
15．（2019?宝应县一模）如图，点是等边的边上的一个动点，连结，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则的最小值是 ．
16．（2018秋?西湖区校级月考）如图，已知在中，，，，在边上方作等边，则的长为 ．
17．（2017秋?历下区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，三角尺不动，将三角尺的边与边重合，然后绕点按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度所有可能的值是 ．
三．解答题
18．（2020春?江岸区校级月考）如图，已知，，，．
（1），是内任一点，经平移后对应点为，，将作同样的平移，得到△，
①直接写出、、的坐标．
②若点是点通过平移变换得到的，求的平方根．
（2）若为轴上一点，，直接写出点的坐标．
19．（2019秋?金平区期末）如图，是等边三角形，顺时针方向旋转后能与重合．
（1）旋转中心是 ，旋转角度是 度，
（2）连接，证明：为等边三角形．
20．（2019秋?孝南区期末）如图，在中，，，．将绕点逆时针方向旋转得到△，连接，求线段的长．
21．（2019秋?南宁期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，连接，．分别交，于点、，交于点．
（1）求的角度；
（2）求证：．
22．（2020?泸县模拟）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后△；
（2）在（1）的条件下，求线段扫过的图形的面积（结果保留．
23．（2019秋?曲靖期末）将两块全等的三角板如图①楔放，其中，．
（1）将图①中的△顺时针旋转得图②，点是与的交点，点是与的交点，
求证：；
（2）在图②中，若，求长．
24．（2019秋?花都区期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在上，求线段的长．
25．（2019秋?莱西市期末）（1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．
求：①旋转角的度数 ；
②线段的长 ；
③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足什么条件时，？请给出证明．
26．（2020?武汉模拟）如图，正方形和直角，，将绕点旋转得到．
（1）在图中画出点和，并简要说明作图过程；
（2）若，，求的长．
27．（2018秋?天心区校级期末）综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
；
（2）如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
（3）如图③，在图①基础上，若三角板的边从．处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当，求旋转的时间是多少？
28．（2019春?商河县期中）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕点旋转．
（1）当统点旋转到点恰好落在边上时，如图2．
①当时，此时旋转角的大小为 ；
②当时，此时旋转角的大小为 （用含的式子表示）．
（2）当绕点旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：的面积与的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
29．（2019秋?厦门期中）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，此时点恰好落在边上．
（1）画出旋转后的图形；
（2）连接，若，求旋转角及长．
30．（2019秋?朝阳区校级月考）如图①，在中，．将绕点逆时针旋转得到△，旋转角为，且．在旋转过程中，点可以恰好落在的中点处，如图②．
（1）求的度数；
（2）当点到的距离等于的一半时，求的度数．
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