2020-2021学年苏科版七年级数学下册第七章 平面图形的认识（二） 压轴培优（三）（word版含解析）

七年级数学下册第七章
《平面图形的认识（二）》
压轴培优（三）
1．如图1，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，GH⊥EG交MN于H．
（1）求证：PF∥GH．
（2）如图2，连接PH，K为GH上一动点，∠PHK＝∠HPK，PQ平分∠EPK交MN于Q，则∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
2．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保特（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
3．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
4．已知：如图，线段AC和BD相交于点G，连接AB，CD，E是CD上一点，F是DG上一点FE∥CG，且∠1＝∠A．
（1）求证：AB∥DC；
（2）若∠B＝30°，∠1＝63°，求∠EFG的度数．
5．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．
6．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠EHF＝70°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
7．如图，AB∥CD，GM、HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线
（1）试判断GM和HN的位置关系；
（2）如果GM是∠AGH的角平分线，（1）中的结论还成立吗？
（3）如果GM是∠BGH的角平分线，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请你猜想GM和HN的位置关系，不必说明理由．
8．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　
　（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝　
　°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝　
　°．
∴AD∥BC（　
　）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．
9．如图，以n边形的n个顶点和它内部m个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形．观察图形，解答问题：
（1）填表：
m
个数
n
1
2
3
…
3
3
5
7
…
4
4
　
　
　
　
…
（2）填空，三角形内部有m个点，则原三角形被分割成　
　个不重叠的小三角形；四边形内部有m个点，则原四边形被分割成　
　个不重叠的小三角形；n边形内部有m个点，则原n边形被分割成　
　个不重叠的小三角形；
（3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，分割成互不重叠的小三角形共有2021个，求这个多边形的边数．
10．阅读下面内容，并解答问题
在学行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“　
　”，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择　
　题，并写出解答过程．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．
11．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是　
　度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是　
　．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是　
　度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
12．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝82°，请将求∠AGD的过程填写完整．
解：因为EF∥AD
所以∠2＝∠　
　（　
　）
又因为∠1＝∠2
所以∠1＝∠3（　
　）
所以AB∥　
　（　
　）
所以∠BAC+∠　
　＝180°（　
　）
因为∠BAC＝82°
所以∠AGD＝　
　°
13．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数．
14．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α，∠EMF＝β，且+|β﹣30|＝0．
（1）α＝　
　°，β＝　
　°；直线AB与CD的位置关系是　
　；
（2）如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
15．阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝　
　．
∵AB∥CD，
∴　
　∥　
　，
∴∠FED＝　
　．
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
参考答案
1．解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠PEF＝BEF，∠PFE＝DFE，
∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠DFE）＝180°＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∵GH⊥EG，
∴∠EGH＝90°，
∴∠EPF＝∠EGH，
∴PF∥GH；
（2）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
∵PF∥GH，
∴∠FPH＝∠PHK，
∵∠PHK＝∠HPK，
∴∠FPH＝∠HPK，
∵PQ平分∠EPK，
∴∠EPQ＝∠QPK，
设∠FPH＝∠HPK＝α，∠FPQ＝β，
∴∠EPQ＝∠FPH+∠HPK+∠FPQ＝2α+β，
∴∠EPF＝∠EPF+∠QPF＝2α+β+β＝2（α+β）＝90°，
∴α+β＝45°，
∴∠HPQ＝∠HPF+∠FPQ＝α+β＝45°．
所以∠HPQ的大小不发生变化．
2．（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3＝EDF，
∴ABE+∠β＝EDF，
∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）
解得∠α＝100°
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK＝EBK，
∠CDN＝∠EDN＝CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
＝∠EBK﹣CDE
＝（∠EBK﹣∠CDE）
＝80°
＝40°．
3．（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AFH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠AHE＝∠ACD，
∵∠ACD+∠F＝180°．
∴∠AHE+∠F＝180°，
∵∠AHE+∠EHC＝180°，
∴∠EHC＝∠F，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
∴设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴解得x＝15°，
∴∠BCD＝2x＝30°．
答：∠BCD的度数为30°．
4．解：（1）∵FE∥CG，
∴∠1＝∠C．
又∵∠1＝∠A，
∴∠C＝∠A，
∴AB∥DC；
（2）∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B＝30°．
∵∠1＝63°，
∴∠EFG＝∠D+∠1＝30°+63°＝93°．
5．解：（1）如图1，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠C，
又∵∠C＝∠D，
∴∠DAE＝∠D，
∴AD∥BC；
（2）∠EAD+2∠C＝90°．
证明：如图2，设CE与BD交点为G，
∵∠CGB是△ADG是外角，
∴∠CGB＝∠D+∠DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，
∴∠D+∠DAE+∠C＝90°，
又∵∠D＝∠C，
∴2∠C+∠DAE＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，
∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
6．解：（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF，
∴∠C＝∠DGF，
又∵∠C＝∠EFG，
∴∠DGF＝∠EFG，
∴AB∥CD；
（2）∵∠CED＝∠GHD，∠GHD＝∠EHF＝70°，
∴∠CED＝70°，
在△CDE中，∠CED＝70°，∠D＝30°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝80°，
∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣80°＝100°．
答：∠AEM的度数为100°．
7．解：（1）GM∥HN；理由如下：
∵AB∥CD，且GM、HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线，
∴∠EGB＝∠GHD，∠EGD＝2∠EGB，∠GHD＝2∠GHN，
∴∠EGM＝∠GHN，
∴GM∥HN．
（2）（1）中的结论还成立；理由如下：
如图，当GM′平分∠AGH时，∠AGH＝2∠M′GH；
∵AB∥CD，
∴∠AGH＝∠GHD；而∠GHD＝2∠GHN，
∴∠M′GH＝∠GHN，
∴GM′∥HN．
（3）（1）中的结论不成立；此时，GM⊥HN．
8．解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．
9．解：（1）观察图形，完成下表，
m
个数
n
1
2
3
…
3
3
5
7
…
4
4
6
8
…
故答案为：6，8；
（2）三角形内部1个点时，共分割成3部分，3＝3+2（1﹣1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5＝3+2（2﹣1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7＝3+2（3﹣1），
…，
所以，三角形内部有m个点时，3+2（m﹣1）＝2m+1，
四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m﹣1）＝2m+2，
n边形内部有m个点，则原n边形被分割成n+2（m﹣1）＝2m+n﹣2个不重叠的小三角形；
故答案为：（2m+1），（2m+2），（2m+n﹣2）；
（3）设这个多边形的边数为n，则内部的点的个数为n，
根据题意得，2×n+n﹣2＝2021，
解得：n＝1445，
答：这个多边形的边数为1445．
10．解：（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝，，
∴∠GEF+∠GFE＝＝＝＝90°，
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案为：EG⊥GF；
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．结论：∠EOF＝2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为：A或B．
11．解：（1）
①∵∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30；
（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）①∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
故答案为：45°；
②∵BC∥DA，
∴∠A+∠ACB＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．
12．解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝82°，
∴∠AGD＝98°，
故答案为：3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；AGD；两直线平行，同旁内角互补；98．
13．解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A＝35°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）∵∠B＝60°，
∴∠A+∠C＝120°，
设最小的角为x，
①当60°＝3x时，x＝20°，
②当x+3x＝120°时，x＝30°，
答：△ABC中最小内角为20°或30°．
14．（1）证明：∵+|β﹣30|＝0，
∴α＝β＝30，
∴∠PFM＝∠MFN＝30°，∠EMF＝30°，
∴∠EMF＝∠MFN，
∴AB∥CD；
故答案为：30；30；AB∥CD；
（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°．
理由：∵AB∥CD，
∴∠MNF＝∠PME，
∵∠MGH＝∠MNF，
∴∠PME＝∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM＝∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM＝180°，
∴∠FMN+∠GHF＝180°．
（3）解：的值不变，＝2．
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．
∵AB∥CD，
∴∠PEM1＝∠PFN，
∵∠PER＝∠PEM1，∠PFQ＝∠PFN，
∴∠PER＝∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠FQM1＝∠R，
设∠PER＝∠REB＝x，∠PM1R＝∠RM1B＝y，
则有：，可得∠EPM1＝2∠R，
∴∠EPM1＝2∠FQM1
∴＝2．
15．解：（1）过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；
故答案为：∠B；EF；CD；∠D；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF＝∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．
答：∠BED的度数为65°；
②如图2，过点E作EF∥AB，
有∠BEF+∠EBA＝180°．
∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，
∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣+．
答：∠BED的度数为180°﹣．