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2020-2021学年北师大版数学八年级下册章节提优练
第4章《因式分解》
一．选择题
1．（2019春?西湖区校级月考）对于算式，下列说法错误的是
A．能被2016整除
B．能被2017整除
C．能被2018整除
D．能被2019整除
解：
能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．
故选：．
2．（2019春?西湖区校级月考）已知，给出下列结论：①当时，；②当时，；③当时，．其中正确的是
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
解：①把代入，得，
把代入．
所以①正确．
②把代入，得
，
方程两边同时除以，得
，，，
两边同时平方，得
，．
所以②错误．
③把代入，得
，，，，
方程两边同乘以，得，
．
所以③正确．
故选：．
3．（2019春?东台市期中）已知：，，，请你巧妙的求出代数式的值
A．3
B．2
C．1
D．0
解：，，，
，，，
，
故选：．
4．（2019春?漳州期中）若多项式可分解为，则的值为
A．2
B．1
C．
D．
解：，
，，
，，
．
故选：．
5．把多项式分解因式，下列结果正确的是
A．
B．
C．
D．
解：
故选：．
6．（2017秋?淅川县期末）已知，则当时，的值为
A．25
B．20
C．15
D．10
解法一：，
，
，
．
解法二：，
，
．
故选：．
7．设为实数，且，则
A．3
B．
C．1
D．
解：，
，
，
，
，或，
（1）若时，
△，
为实数，
此二元一次方程在实数范围内无解；
（2）若时，
变形得：①
将①代入下列代数式得：
故选：．
8．（2014秋?博野县期末）设、、是三角形的三边长，且，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
解：由已知条件化简得，则，
即
，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形
故选：．
9．（2015春?长安区校级月考）分解因式的正确结果是
A．
B．
C．
D．
解：，
．
故选：．
10．（2013?攀枝花模拟）若关于的多项式含有因式，则实数的值为
A．
B．5
C．
D．1
解：根据题意设，
，，
解得：，．
故选：．
二．填空题
11．（2019秋?海珠区期末）、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为 12
解：，
，
，
，，
解得，，，
、、是等腰的三边长，
当时，，此时不能构成三角形，
当时，此时，则的周长为：，
故答案为：12．
12．（2019秋?松北区期末）若把多项式分解因式为 ．
解：，
故答案为：．
13．（2019秋?田家庵区期末）已知与互为相反数，计算的结果是 48 ．
解：．依题意得
，则
．，
解得
，．
所以，
故答案为：48．
14．（2020?建湖县模拟）若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是 ．
解：，
即，
．
故答案为：．
15．（2019秋?思明区校级期中）计算： 1 ．
解：原式
故答案为：1
16．（2019秋?吴中区期中）若，那么代数式的值是 ．
解：，
故答案为：．
17．（2019春?西湖区校级月考）已知，则 3 ；则 ．
解：，
，，
．
．
故答案为：3，．
18．（2019春?九龙坡区校级月考）若，，则代数式的值为 ．
解：原式
，
原式
19．（2018春?成都期中）若，，，则的值为 3 ．
解：，，，
，，，
．
故答案为3．
20．（2016春?龙泉驿区期中）已知，则 0 ．
解：，
，
，
，，，
，，，
故．
故答案为：0．
三．解答题
21．（2019秋?莱山区期末）将下列各式因式分解
（1）
（2）
解：（1）原式，
（2）．
22．（2020春?沙坪坝区校级月考）（1）若是关于的二次多项式的其中一个因式，求的值及另一个因式．
（2）若，求的值．
（3）已知，，分别是的三边长，且满足，试确定的形状．
解：（1）设另一个因式为，
，
，
解得，或．
的值是，另一个因式是或的值是1，另一个因式是．
（2），
且，
则，．
．
（3）：，
，
，
，，
，，
，且．
为等腰直角三角形．
23．（2019秋?天津期末）分解因式：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
24．（2019秋?正阳县期末）阅读下面的问题，然后回答，
分解因式：，
解：原式
上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
（1）
（2）．
解：（1）
（2）
25．（2019秋?莱山区期末）阅读材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
解：（1），
，
，
，，
解得，，，
；
（2），
，
将代入，得
，
，
，
，，
解得，，，
，
．
26．（2019秋?平山县期末）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解．
（1）求式子中、的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
解：（1）在等式，中，
分别令，，
即可求出：，
（2）把代入，得其值为0，
则多项式可分解为的形式，（7分）
用上述方法可求得：，，（8分）
所以，（9分）
．（10分）
27．（2019春?西湖区校级期中）如图1，小明同学用1张边长为的正方形，2张边长为的正方形，3张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式．请解答下列问题：
（1）写出图2，写出一个代数恒等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）小明同学又用4张边长为的正方形，3张边长为的正方形，8张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形的长为 ，宽为 ．
解：（1）如图2所示：
由图可知，外面边长为正方形的面积等于3个边长分
别为、、小正方形的面积，2个边长分别为、的长方形，
2个边长分别为、的长方形，2个边长分别为、的长方形构成，
；
（2），
，
又，
；
（3）依题意得：
，
长方形的长为，宽为，
故答案为，．
28．（2019春?西湖区校级月考）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若是多项式的一个因式，求的值；
（2）若和是多项式的两个因式，试求，的值．
（3）在（2）的条件下，把多项式因式分解．
解：（1）是多项式的一个因式
时，
的值为．
（2）和是多项式的两个因式
和时，
解得
、的值分别为和0．
（3），，
可化为：
29．（2018秋?樊城区期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：．
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式．这种分解因式的方法叫“试根法”．
（1）求上述式子中，的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：．
解：（1）把代入多项式，多项式的值为0，
多项式中有因式，
于是可设，
，，，，
（2）把代入，多项式的值为0，
多项式中有因式，
于是可设，
，，，，
30．（2019春?市中区期末）阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到．
请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）图3中给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长分别为、的长方形纸片，
①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为，
②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式分解因式．
即
．
（1）；
故答案为：；
（2），
，
；
（3）①如图所示，
②如上图所示的矩形面积，
它是由2个边长为的正方形、5个边长分别为、的长方形、2个边长为的小正方形组成，所以面积为，
则，
故答案为：．
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第4章《因式分解》
一．选择题
1．（2019春?西湖区校级月考）对于算式，下列说法错误的是
A．能被2016整除
B．能被2017整除
C．能被2018整除
D．能被2019整除
2．（2019春?西湖区校级月考）已知，给出下列结论：①当时，；②当时，；③当时，．其中正确的是
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
3．（2019春?东台市期中）已知：，，，请你巧妙的求出代数式的值
A．3
B．2
C．1
D．0
4．（2019春?漳州期中）若多项式可分解为，则的值为
A．2
B．1
C．
D．
5．把多项式分解因式，下列结果正确的是
A．
B．
C．
D．
6．（2017秋?淅川县期末）已知，则当时，的值为
A．25
B．20
C．15
D．10
7．设为实数，且，则
A．3
B．
C．1
D．
8．（2014秋?博野县期末）设、、是三角形的三边长，且，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
9．（2015春?长安区校级月考）分解因式的正确结果是
A．
B．
C．
D．
10．（2013?攀枝花模拟）若关于的多项式含有因式，则实数的值为
A．
B．5
C．
D．1
二．填空题
11．（2019秋?海珠区期末）、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为
12．（2019秋?松北区期末）若把多项式分解因式为
．
13．（2019秋?田家庵区期末）已知与互为相反数，计算的结果是
．
14．（2020?建湖县模拟）若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是
．
15．（2019秋?思明区校级期中）计算： ．
16．（2019秋?吴中区期中）若，那么代数式的值是 ．
17．（2019春?西湖区校级月考）已知，则 ；则 ．
18．（2019春?九龙坡区校级月考）若，，则代数式的值为 ．
19．（2018春?成都期中）若，，，则的值为
．
20．（2016春?龙泉驿区期中）已知，则
．
三．解答题
21．（2019秋?莱山区期末）将下列各式因式分解
（1）
（2）
22．（2020春?沙坪坝区校级月考）（1）若是关于的二次多项式的其中一个因式，求的值及另一个因式．
（2）若，求的值．
（3）已知，，分别是的三边长，且满足，试确定的形状．
23．（2019秋?天津期末）分解因式：
（1）；
（2）．
24．（2019秋?正阳县期末）阅读下面的问题，然后回答，
分解因式：，
解：原式
上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
（1）
（2）．
25．（2019秋?莱山区期末）阅读材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
26．（2019秋?平山县期末）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解．
（1）求式子中、的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
27．（2019春?西湖区校级期中）如图1，小明同学用1张边长为的正方形，2张边长为的正方形，3张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式．请解答下列问题：
（1）写出图2，写出一个代数恒等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）小明同学又用4张边长为的正方形，3张边长为的正方形，8张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形的长为 ，宽为 ．
28．（2019春?西湖区校级月考）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若是多项式的一个因式，求的值；
（2）若和是多项式的两个因式，试求，的值．
（3）在（2）的条件下，把多项式因式分解．
29．（2018秋?樊城区期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：．
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式．这种分解因式的方法叫“试根法”．
（1）求上述式子中，的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：．
30．（2019春?市中区期末）阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到．
请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式
；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）图3中给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长分别为、的长方形纸片，
①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为，
②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式分解因式．
即
．
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