2020-2021学年高中数学湘教版选修1-2单元测试卷 第五章 推理与证明 Word版含解析

第五章 推理与证明
1.如图是谢尔宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数依次构成数列的前4项，则的通项公式可以是( )
A. B. C. D.
2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A.5 B.4 C.6 D.9
3.给出下面类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）
（1）“若则”类比推出“若，则”；
（2）“若则复数”类比推出“若，则”；
（3）“若则”类比推出“若，则”；
其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.观察下列各式，则=( )
A．322 B．521 C．123 D．199
5.下列三段话按三段论的模式排列顺序正确的是( )
①不能比较大小；②虚数不能比较大小；③是虚数
A.①②③ B. ③②① C.②①③ D.②③①
6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（ ）
A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天
7.“车走直、马走日、炮打隔子、象飞田、小卒过河赛大车”,这是中国象棋中的部分下棋规则.其中“马走日”是指马走“日”字的对角线,如棋盘中,马从点处走出一步,只能到点或点或点或点.设马从点出发,必须经过点（点不考虑先后顺序）到达点,则至少需走的步数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是(???)
A.甲????????? B.乙????????? C.丙????????? D.丁
9.用反证法证明命题：“已知，若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )
A．都不能被5整除 B．都能被5整除
C．中有一个不能被5整除 D．中有一个能被5整除
10.用反证法证明命题：“若能被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A．都能被3整除 B．都不能被3整除
C．不都能被3整除 D．不能被3整除
11.观察下列各式：
根据规律，计算__________．
12.给出下面类比推理：
①“若，则”类比推出“若，则”；
②“”类比推出“”；
③“，若，则”类比推出“，若，则”；
④“，若，则”类比推出“，若，则 (为复数集)”．
其中结论正确的个数为________.
13.在一次数学测试中,甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学考了满分,他们四位同学的对话如下,甲:我没考满分;乙:丙考了满分;丙:丁考了满分;丁:我没考满分.其中只有一位同学说的是真话,据此,判断考满分的同学是________.
14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:丙没有申请;乙说:甲申请了;丙说:甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是__________
15.已知,求证: .
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意得因此的通项公式可以是.
2.答案：C
解析：杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，所以.故选C.
3.答案：C
解析：①在复数集中，若两个复数满足，则它们的实部和虚部均相等，则相等。故①正确；
②在有理数集中,若,则，易得：.故②正确；
③若，当，时，，但是两个虚数，不能比较大小。故③错误
故3个结论中，有两个是正确的。
故选C
4.答案：A
解析：根据题中数据，归纳推理，即可得出结果.
因为，，，，，…，
等式右边对应的数为，
所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；
因此，求，即是求数列“”中的第12项，
所以对应的数列为”，即第12项为322.
5.答案：D
解析：解；由三段论的格式可知：大前提为②虚数不能比较大小。小前提为：③是虚数，结论：①不能比较大小故三段论的顺序是②③①，故选：D
6.答案：B
解析：第一天：大老鼠小老鼠；
第二天：大老鼠小老鼠
第三天：大老鼠小老鼠相遇
7.答案：B
解析：本题考查以象棋规则为背景的数学文化.由图可知,从到只需1步,从到至少需走2步,从到至少需走3步,从到至少需走3步.所以要使得从点经过点到点所走的步数最少,只需从点先到点,再到点,最后到点,这样走的步数为6.
8.答案：B
解析：∵乙、丁两人的观点一致,∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假;若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论,矛盾;∴乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话;由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.
9.答案：A
解析：∵“至少有一个”的反面是“都没有”，
∴用反证法证明命题：“已知，若可被5，
整除，则中至少有一个能被5整除时，
反设是：都不能被5整除。
故选：A。
10.答案：B
解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立。“中至少有一个能被3整除”的反面是：“都不能被3整除”，故应假设都不能被3整除。故选B
11.答案：708
解析：.
12.答案：2
解析：①“若,则”类比推出“若，则”，不正确，比如；
②“”类比推出“”，正确；
③在复数集中，若两个复数满足，则它们的实部和虚部均相等，则相等。故正确；
④若，当时，，但是两个虚数，不能比较大小。故错误。
故选：2.
13.答案：甲
解析：如果甲说的是真话,则乙、丙、丁都是假话,此时丙与丁是矛盾的,所以不成立;
如果乙说的是真话,则甲、丙、丁都是假话,此时丙与丁是矛盾的,所以不成立;
如果丙说的是真话,则甲、乙、丁都是假话,此时甲与丙是矛盾的,所以不成立;
所以只有丁说的是真话,此时甲、乙、丙都是假话,可推得甲得了满分,
故考满分的同学是甲.
14.答案：乙
解析：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；
假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；
假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意。
故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙。故答案为：乙。
15.答案：证明:假设不全是正数,即其中至少有一个不是正数.不妨先设.下面分和两种情况讨论.
如果,则,与矛盾,所以不可能.
如果,那么由可得.又因为,所以.
于是,这和已知相矛盾.因此, 也不可能.
综上所述, .同理可证.所以原命题成立.