18.1.1平行四边形的性质
[必备]☆知识点
一、平行四边的概念与性质
1.概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2.性质：
①平行四边形的对边相等
②平行四边形的对角相等，邻角互补
③平行四边形的对角线互相平分
例1：已知平行四边形的周长为28cm，AB：BC=3:4，求各边的长度.
例2：如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（
）
B.2
C.
D.4
例3：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线把BC边分成长度是6和8的两部分，则平行四边形ABCD的周长是（
）
A.44
B.40
C.44或40
D.36
例4：如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，求∠A，∠B，∠C，∠D的度数.
例5：如图，在平行四边形ABCD中，∠B=120°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数.
例6：如图，在平行四边形ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA，DC的延长线于点M,N，交BA，BC于点P，Q.求证：MP=QN
例7：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E,F在对角线BD上，AE∥CD，求证：AE=CF
例8：如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形的各边长.
二、平行线之间的距离
1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
2.性质：①两条平行线之间的距离处处相等；②夹在两条平行线间的平行线段相等.
3.平行四边形面积：
①公式：平行四边形的面积=底×高=ah（其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是边长为a的边与其对边之间的距离）.
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.
例1：如图所示，在平行四边形ABCD中，P为BC的中点，过P作BD的平行线交CD于点Q，连接PA，PD,QB,QA，则图中与△ABP面积相等的三角形（除△ABP外）有几个？
例2：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD于点F.若∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积.
例3：一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为_____.
课后练习：
1.如图，若平行四边形ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边长的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，平行四边形ABCD的面积为（
）cm2.
A.40
B.32
C.36
D.50
2.如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（
）
A.3
B.6
C.12
D.24
3.如图，在平行四边形ABCD中，DE=CE，链接AE并延长线于点F.①求证：△ADE≌△FCE；②若AB=2BC，∠F=36°，求∠B的度数.
4.如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE⊥DF，连接EF交BD于O.
①求证：BO=DO
②若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长
5.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BDBD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.
①
求证：∠EDB=∠EBD.
②
判断AF与BD是否平行，说明理由
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是
7：如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.试说明：OE=OF
8：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE=DF，求证AE=CF
9.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
①求证：BE=CD；②连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积.
答案：
一、平行四边形的概念与性质
例1：解∵平行四边形ABCD,AB占3份,它的对边CD也占3份；BC占4份,它的对边AD也占4份.
∴
AB=CD=28÷(4X2+3X2)X3=6(cm)
BC=AD=28÷(4X2+3X2)X4=8(cm)
例2：答案：C
例3；答案：C
例4：解：∵平行四边形ABCD，∠A+∠C=160°
∴∠A=∠C=80°
∴∠B=∠C=100°
例5：解：∠A+∠B=180°
∠A=180-120=60°
∠DEA=90°
∠ADE=90-60=30°
同理
∠A=∠C=60°
∠DFC=90°
∠FDC=90-60=30°
∠ADC=∠B=120°
∠EDF=120-30-30=60°
例6：解∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AB∥cd
∵MN∥AC
即AM∥CG,MQ∥AC
AP∥CN,PN∥AC
∴四边形AMQC和四边形APNC是平行四边形
∴MQ=AC,NP=AC
∴MQ=NP
例7：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE∥CF，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，∠OAE=∠OCF，OA=OC,∠AOE=∠COF，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴AE=CF．
例8：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，
∴（OA+OB+AB）-（OB+OC+BC）=8cm，
即AB-BC=8cm，①
∵平行四边形ABCD的周长为60cm，
∴2（AB+BC）=60cm，②
∴由①②得到：AB=19cm，BC=11cm．
二、平行线之间的距离
例1：解析：
△DBP，△DCP，△ADQ，△BDQ，△BCQ
例2：解：在四边形AECF中，∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠C=180°-∠EAF=120°，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B=∠D=60°，
在RTΔABE中，AB=2BF=4，
∴AE==2√3，
在RTΔADF中，AD=2DF=6，
∴ABCD周长：2(AB+AD)=20cm，
SABCD=BC
AE=12√3平方厘米。
例3：答案：5
课后练习：
1.答案：A
2.答案：C
3.解答?（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECF
，DE=CE，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AD=FC，
∵AD=BC，AB=2BC，
∴AB=FB，
∴∠BAF=∠F=36°，
∴∠B=180°-2×36°=108°．
4.
5.解答?解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDB=∠EBD，
∴∠EDB=∠EBD；
（2）AF∥DB；
∵∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
由折叠可知：DC=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，
∴DF=AB，
∴AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，
∴2∠EDB+∠DEB=180°，
同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，
∵∠DEB=∠AEF，
∴∠EDB=∠EFA，
∴AF∥DB．
6.答案：14
7.证明：
在平行四边形ABCD中,
OA=OC,AB//CD,
∴∠1=∠2,
又∵OE⊥AD,OF⊥BC,
∴∠AEO=∠CFO=90°,
∴△AEO≌△CFO(AAS)
∴OE=OF
8.证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∠ABE=∠CDF
∵BE=DF
∴⊿ABE≌⊿CDF(SAS)
∴AE=CF
9.答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，.
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2
∴BF===2，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE?BF=×4×2=4．平行四边形判定（2）作业
一、选择题
1.
在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，若∠C=680，则∠AED=（）
A.
220
B.
680
C.
960
D.
1120
2.
已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（）
A.
8
B.
C.
16
D.4
3.
如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6,
BD=4,
CD=3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）
A.
7
B.
9
C.
10
D.
11
4.
四边形ABCD各边中点分别是E,
F,
G,
H,
若对角线AC，BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是（）
A.
80cm
B.
40cm
C.
20cm
D.
10cm
5.
如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
6.
已知三角形的三条中位线分别为3cm，4cm，6cm，则这个三角形的周长为（）
A.13cm
B.
26cm
C.
24cm
D.6.5cm
7.
如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6,则DF的长是（）
A.
3
B.
2
C.
D.
4
8.
如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动，而点R不动时，下列结论成立的是（）
A.
线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长与点P的位置有关
9.如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=4,BC=12,点E是BC的中点，点P，Q分别是边AD，BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从C出发向点B运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。当运动时间t为______秒时，以点A，P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形。
2
B.
C.
3或2
D.
2或
10.已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示。求证：DE∥BC，EG
=
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF，又AE=EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DF∥BC,DF=BC
②∴CF∥AD,CF=AD,即
CF∥BD,CF=BD
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC,且DE=
则正确的证明顺序应是：（）
A.
②
③
①
④B.②
①
③
④
C.①
③
④
②
D.①
③
②
④
二、填空题
11.如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D。若BC=4.，则CD的长为________.2
12.
如图，平行四形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是______.9
13.
如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF=1，则BD=___2
14.
如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=180，则∠PFE的度数是______
15.
已知等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为_______。
16.
如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD,点E，点F分别是BM，CM的中点,若EF=6,则AM的长为_____.
17.如图，△ABC称为第一个三角形，其周长为1，连接△ABC各边的中点所组成的△DEF称为第二个三角形，其周长为，......，以此类推，第2020个三角形的周长
为__________
三、解答题
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F.
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形。
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长。
19.如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF
20.如图，在△ACB中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点。求证：EF∥BC.
21.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=900，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=，连接DE，DF.
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若BC=4,∠C=300,求DF的长
参考答案
1、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
D
B
C
B
A
C
D
A
2、填空题
11.
2
12.
9
13.
2
14.
180
15.
22或26
16.
8
17.
3、解答题
18.
（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，
即DE∥CF
∵EF∥DC
∴四边形DEFC是平行四边形
（2）解：设DE=x，由DE是△ABC的中位线，得BC=2x
∵D是AB中点，Rt△ABC中，∠ACB=900
∴AB=2DC=25-2x
∵平行四边形CDEF的周长是25cm
∴2DC=25-2x,
即
AB=25-2x
由勾股定理
得:AC2+BC2=AB2,
AC=5
∴25+4=
解方程得：x=6
∴AB=25-12=13
19.
证明：连接BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC.
∵CE=CD,∴AB∥CE,AB=CE,
∴四边形ABEC为平行四边形。
∴BF=FC,
∴OF∥AB,OF=AB,即
AB=2OF
20.
证明：∵DC=AC,CE⊥AD,
∴AE=ED
∴F为AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BC
（1）21.
证明：连接EF，AE，
∵
E，F分别是BC，AC的中点
∴EF∥AB，EF=
∵
AD=
∴AD=EF，AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：∵
∠BAC=900，∠C=300,
∴AB=BC,又∵E为BC的中点，
∴AB=BE.
∵∠B=900-300=600，∴△ABE是等边三角形，
∴DF=AE=AB=
BC=2
