上海市实验高级中学校2020-2021学年高二下学期3月第4周周测数学试题 Word版含答案

上海市实验学校高二数学周测试卷
一、判断题（每小题2分，共20分）
1．在本大题中，false是三条互不重合的直线，false是三个互不重合的平面．
（1）若false，false，则false； 　（2）若false，false，则false；
（3）若false，false，则false； 　（4）若false，false，则false；
（5）若false，false，则false； （6）若false，false，则false；
（7）若false，false，则false； （8）若false，false，则false；
（9）若false，false，false，则false；
（10）若false，false，false，则false．
二、填空题（每小题3分，共24分）
2．空间四边形ABCD中，E、F、G、H依次为AB、BC、CD、DA边的中点，且AC＝2，BD＝4，则false＝　　　　　　　.　
3．对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值；③与a的距离为定值.　那么，这样的直线有　　　　　　条.　
3714750186690M
D
C
B
A
P
M
D
C
B
A
P
4．在长方体false中，若false，则false与平面false所成的角false可用反三角函数值表示为false____________．

5．如图，在四棱锥false中，底面false是边长为false的
菱形，false，false平面false，false与平面false
所成角的大小为false，false为false的中点．则异面直线false
与false所成角的大小为　　　　　　　　．
37014152330456．在菱形false中，false，false．false为菱形false所在平面false外的一点，false，false． false到直线false的距离为 ．
7．如图，在棱长为2的正方体false中，E是
BC1的中点．则直线DE与平面ABCD所成角的大小为　　　　　．
8．ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为　　　　　　　.　

9．ABCD—A1B1C1D1是一个边长为1的正方体，过顶点A作正方体的截面（该截面与正方体的表面不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是 ．
三、选择题（每小题3分，共12分）
10. “直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的（ ）
(A)充要条件 (B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件
11.　设a,b,c表示三条直线，false表示两个平面，下列命题中不正确的是（ ）
A. falsefalse B. false
C. false D. false
12．如图，false为正方体false的中心，△false在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A. (1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4)
13．已知棱长为1的正方体false中，点false，false分别是棱false，false上的动点，且falsefalse．设false与false所成的角为false，与false所成的角为false，则false的最小值( )
（A）不存在 （B）等于60 （C）等于90 （D）等于120
四、解答题
14．（本题满分false分）如图，直线false不在平面false上，直线false在false上，且false．试用反证法证明：false．
38950909525 证明：用反证法，若false，则false．
因为false，所以直线false确定一个平面false．
由于直线false在false上，所以false________．
因为false，且______________，所以false．
又因为false，故false，即false且false，
这样与已知中_______________矛盾，
所以false．
395097081407015．（本题满分8分）如图，直四棱柱false中，false，二面角false的平面角是直角，且false，false，求异面直线false与false所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
16．（本题10分）如图，点false是正方形false所在平面外一点，false为false的中点．
35052005715（1）试在false上找一点false，使得false，并说明理由；
（2）若点false在平面false上的射影是点false，false（false是正常数），求异面直线false与false所成角的大小；
（3）若false（false是正常数），试判断false点在底面false中的射影是否可能恰好落在点false上？说明你的理由．
347662556261017．（本题10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角；
18．（本题10分）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).
(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:
310261010795(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。
五、附加题
19．已知直三棱柱false中，false，false，false为false的中点。
（Ⅰ）求异面直线false和false的距离；
（Ⅱ）若false，求二面角false的平面角的余弦值。

347789510795














20．从O点引三条射线OA，OB， OC，其两两之间的夹角分别为false ，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？
上海市实验学校高二数学周测试卷解答
一、判断题（每小题2分，共20分）
1．在本大题中，false是三条互不重合的直线，false是三个互不重合的平面．
（1）若false，false，则false； 　（2）若false，false，则false；
（3）若false，false，则false； 　（4）若false，false，则false；
（5）若false，false，则false； （6）若false，false，则false；
（7）若false，false，则false； （8）若false，false，则false；
（9）若false，false，false，则false；
（10）若false，false，false，则false．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
×
×
√
×
√
×
×
√
×
二、填空题（每小题3分，共24分）
2．空间四边形ABCD中，E、F、G、H依次为AB、BC、CD、DA边的中点，且AC＝2，BD＝4，则false＝　　　　　　　.　　10
3．对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值；③与a的距离为定值.　那么，这样的直线有　　　　　　条.　无数条
4．在长方体false中，若false，则false与平面false所成的角false可用反三角函数值表示为false____________．
答案：false
38100002540M
D
C
B
A
P
O
M
D
C
B
A
P
O
5．如图，在四棱锥false中，底面false是边长为false的
菱形，false，false平面false，false与平面false
所成角的大小为false，false为false的中点．则异面直线false
与false所成角的大小为　　　　　　　　．
解：连结false，交false于点false，连结false，
因为false、false分别为false、false的中点，所以false∥false，
所以false（或其补角）为异面直线false与false所成的角．
在△false中，false，false，false
（以下由余弦定理，或说明△false是直角三角形求得）
false或false或false．
所以，异面直线false与false所成角的大小为false
6．在菱形false中，false，false．false为菱形false所在平面false外的一点，false，false． false到直线false的距离为 ．5
33718505505457．如图，在棱长为2的正方体false中，E是BC1的中点．则直线DE与平面ABCD所成角的大小为　　　　　．
解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.
∵ EF⊥平面ABCD，
∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.
由题意，得EF=false
∵ false
∵ EF⊥DF， ∴ false
故直线DE与平面ABCD所成角的大小是false
8．ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为　　　　　　　.　false
9．ABCD—A1B1C1D1是一个边长为1的正方体，过顶点A作正方体的截面（该截面与正方体的表面不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是 ．
答案：false
三、选择题（每小题3分，共12分）
10. “直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的（ B ）.
(A)充要条件 (B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件
11.　设a,b,c表示三条直线，false表示两个平面，下列命题中不正确的是（ D ）
A. falsefalse B. false
C. false D. false
12．如图，false为正方体false的中心，△false在该正方体各个面上的射影可能是（ C ）
A. (1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4)
13．已知棱长为1的正方体false中，点false，false分别是棱false，false上的动点，且falsefalse．设false与false所成的角为false，与false所成的角为false，则false的最小值( C )
（A）不存在 （B）等于60 （C）等于90 （D）等于120
三、解答题
14．（本题满分false分）如图，直线false不在平面false上，直线false在false上，且false．试用反证法证明：false．
38950909525 证明：用反证法，若false，则false．
因为false，所以直线false确定一个平面false．
由于直线false在false上，所以false___b___．
因为false，且_____falsefalsefalse_____，所以false．
又因为false，故false，即false且false，
这样与已知中_____false_____矛盾，
所以false．
395097081407015．（本题满分8分）如图，直四棱柱false中，false，二面角false的平面角是直角，且false，false，求异面直线false与false所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
解：false直四棱柱false中，false，
∴false的大小即为异面直线false与false所成的角的大小，
又false直四棱柱false中，侧棱false面false，
∴false，false，
∴false即为二面角false的平面角，∴false．
在false中， false，false
∴ false
∴false，即异面直线false与false所成的角的大小为false．
16．（本题10分）如图，点false是正方形false所在平面外一点，false为false的中点．
35052005715（1）试在false上找一点false，使得false，并说明理由；
（2）若点false在平面false上的射影是点false，false（false是正常数），求异面直线false与false所成角的大小；
（3）若false（false是正常数），试判断false点在底面false中的射影是否可能恰好落在点false上？说明你的理由．
解：（1）false为false的中点．
在平面false中，过false作false，
又因为false，所以 false．
（2）因为false，所以false为异面直线false与false所成角．
因为点false在平面上的射影是点false，所以在直角false中，false．
即异面直线false与false所成角的大小为false．
（3）不可能．
若false点在底面false中的射影是否可能恰好落在点false上，即false平面false．
又因为正方形false的边长为false，则对角线false，
在直角false中，false，矛盾！
17．（本题10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。
(1)求证：；（2）求与平面所成的角；
解:（1）证明：因为是的中点，， 所以。
375729578105由底面，得，
又，即，
平面，所以 ，
平面， 。
（2）连结，
因为平面，即平面，
所以是与平面所成的角，
在中，，
在中，，
故，
在中, ，
又，故与平面所成的角是。
136004503962408．（本题10分）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).
(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。
解：（Ⅰ）证：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。
SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.
(II)解：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。
过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，
故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°
在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。
323850078105于是，DF=
在Rt△CDF中，由cot60°=
得，
即=3 　， 解得=
四、附加题
19．已知直三棱柱false中，false，false，false为false的中点。
（Ⅰ）求异面直线false和false的距离；
（Ⅱ）若false，求二面角false的平面角的余弦值。
解：（Ⅰ）如图，因AC=BC， D为AB的中点，
故CD falseAB。又直三棱柱中，false 面false ，
故false，
所以异面直线false 和AB的距离为：
353250576200false
（Ⅱ）：由false故false 面false ，
从而false，false
故false 为所求的二面角false的平面角。
因false是false在面false上的射影，又已知false
由三垂线定理的逆定理得false
从而false，false都与false互余，
因此false，
所以false≌false，因此false
得false
从而false
所以在false中，
由余弦定理得false
363347027305020．从O点引三条射线OA，OB， OC，其两两之间的夹角分别为false ，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？
解：如图，不妨设OA与OB的夹角为false，OB与OC的夹角为false，OC与OA的夹角为false，在OA，OB， OC上分别取点false,使得false
作∠AOB，∠BOC，∠COA的角平分线分别交　　　false于D，E，F，
则false，且D，E，F分别是
false的中点.
　正△false中，false，等腰Rt△false中，false，
　△false中，false，
　又false
且false
所以false
所以false
所以这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是false