上海市实验高级中学校2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

上海市实验学校2020-2021学年度第一学期期末考试
高二年级 数学试卷
一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1、 已知复数满足（为虚数单位），则的模为_________.
2、抛物线的准线方程为__________.
3、已知直线l的参数方程为：(t为参数)，则直线l的倾斜角的大小为
4、双曲线的两条渐近线的夹角为_________.
5、已知，满足，则的最大值是_________.
6、已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为__________.
7、过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________.
8、已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是__________.
9、若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 .
10、对于直角坐标平面内任意两点，定义它们之间的一种“折线距离”，写出下列四个命题：
（1）在中，若,则；
（2）到原点的“折线距离”等于1的集合是一个圆；
（3）到,，两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
（4）到,，两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.
其中正确的命题是_________.（写出所有正确命题的序号）
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.）
11、在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线
12、一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．或 B．或 C．或 D．或
13、设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为 （ ）
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11
14、 已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为（ ）
A． B． C． D.
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知复数，（，是虚数单位）.
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
16、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知椭圆 （）的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍. 直线交椭圆于不同的两点和．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线经过点，且的面积为，求直线的方程.

17、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.
（1）求的方程；
（2）若直线，且和有且只有一个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
18、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
把半椭圆与圆弧
合成的曲线称作“曲圆”，其中为的右焦点．如图所示，、、、分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点（在轴的上方）．
（1）求半椭圆和圆弧的方程；
（2）当点分别在第一、第三象限时，求的周长的取值范围；
（3）若射线绕点顺时针旋转交“曲圆”于点，请用表示两点的坐标，并求的面积的最小值．
附加题（每题10分，共20分）
19. 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
20. 确定所有的复数，使得对任意的复数（），均有
上海市实验学校2020-2021学年度第一学期期末考试
高二年级 数学试卷
一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1、 已知复数满足（为虚数单位），则的模为_________.
2、抛物线的准线方程为__________.
3、已知直线l的参数方程为：(t为参数)，则直线l的倾斜角的大小为
4、双曲线的两条渐近线的夹角为_________.
5、已知，满足，则的最大值是_________.5
6、已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为__________.
7、过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________.
8、已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是__________.
9、若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 .
10、对于直角坐标平面内任意两点，定义它们之间的一种“折线距离”，写出下列四个命题：
（1）在中，若,则；
（2）到原点的“折线距离”等于1的集合是一个圆；
（3）到,，两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
（4）到,，两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.
其中正确的命题是_________.（写出所有正确命题的序号）
（3）（4）
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.）
11、在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是( C )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线
12、一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为( A )
A．或 B．或 C．或 D．或
13、设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为 （ C ）
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11
14、 已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为（ C ）
A． B． C． D.
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知复数，（，是虚数单位）.
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
解：（1）由条件得，
因为在复平面上对应点落在第一象限，故有
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根
所以，即，
把代入，则，所以.
16、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知椭圆 （）的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍. 直线交椭圆于不同的两点和．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线经过点，且的面积为，求直线的方程.
解：（1）由题意得 ，，
解得 ，， 所以椭圆的方程为 .
（2）设点、的坐标为、，直线的方程为.
由方程组 ，得
所以，
解得.∴直线的方程为.

17、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形.
（1）求的方程；
（2）若直线，且和有且只有一个公共点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
【解】（1）由题意知，设，则的中点为
因为，由抛物线的定义可知
，
解得或（舍去）
由，解得．所以抛物线的方程为．
（2）由（1）知，设．
因为，则，
由得，故，故直线的斜率
因为直线和直线平行，
设直线的方程为，代入抛物线的方程得，
由题意，得
设，则
当时，，
可得直线的方程为，由，
整理得，直线恒过点
当时，直线的方程为，过点，
所以直线过定点．
18、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为的右焦点．如图所示，、、、分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点（在轴的上方）．
（1）求半椭圆和圆弧的方程；
（2）当点分别在第一、第三象限时，求的周长的取值范围；
（3）若射线绕点顺时针旋转交“曲圆”于点，请用表示两点的坐标，并求的面积的最小值．
[解] (1) 解：（1）易得，：，……2分
：. …………………4分
（2）由题意可知，此时为腰长为2的等腰三角形，，故的周长.
所以周长的取值范围为. ……………8分
【法二】的周长.
其中 .
（3）不妨设，
由题意知,
即
（其中， ，以下步骤未求出也给2分）
①当时，将的坐标代入得：
，
整理得，
解得或（舍去），
从而可得.
令，则
当即时，.
②当时，
综上可得:的面积的最小值为. …………………12分
附加题（每题10分，共20分）
19. 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
【解】由消去化简整理得
设，，则
①
由消去化简整理得
设，，则
②
因为，所以，此时．由得
．
所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．
20. 确定所有的复数，使得对任意的复数（），均有
【解析】记
假如存在复数，，使得 ，则由（1）知
利用即
另外一方面,对任意满足的复数其中
代入(1)可得
综上所述,符合要求的值为.
12