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18.1.2
平行四边形的判定（第2课时）同步练习
一、选择题
1．（2020秋?海淀区校级期末）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．（2020春?碑林区校级期中）下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．（2020春?资阳期末）下列说法中：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；③对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数为 个．
A．1
B．2
C．3
D．4
4.顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC＝AD③∠A＝∠C④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种
B．4种
C．3种
D．1种
二、填空题
5．（2020春?牡丹区期末）如图，，要使四边形成为平行四边形还需要添加的条件是
（只需写出一个即可）
6．（2020?扶沟县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是
．
7．（2020春?西市区期末）如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止），在运动以后，以、、、四点组成平行四边形的次数有
次．
8．（2020?浙江自主招生）已知四边形，从下列条件中：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
任取其中两个，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有
．
9．（2020秋?肇州县期末）如图，点、、、在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于，于，且．则当点、不重合时，与的关系是
．
10．（2020?青山区模拟）如图，在四边形中，，对角线，交于点，，，，则四边形的面积为
．
11．（2020秋?锦江区校级月考）如图，在中，，于点，且．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为，当为
时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
12．（2020春?潮南区期末）如图，点、、、在一条直线上，，，．连接、，求证：四边形是平行四边形．
13．（2020秋?石景山区期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求的长．
14．（2020秋?龙凤区校级期末）已知：如图所示，在平行四边形中，、分别是和的角平分线，交、于点、，连接、．
（1）求证：、互相平分；
（2）若，，，求线段的长．
18.1.2
平行四边形的判定（第2课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?海淀区校级期末）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】解：、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题；
、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
2．（2020春?碑林区校级期中）下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
选项不符合题意；
、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
选项不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
选项符合题意；
故选：．
3．（2020春?资阳期末）下列说法中：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；③对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数为 个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；正确；
②平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；正确；
③对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；正确；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；不正确；
故选：．
4.顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC＝AD③∠A＝∠C④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A．5种
B．4种
C．3种
D．1种
【解析】解：当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形；
故选：C．
二、填空题
5．（2020春?牡丹区期末）如图，，要使四边形成为平行四边形还需要添加的条件是 或 （只需写出一个即可）
【解析】解：在四边形中，，
可添加的条件是：，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：或．
6．（2020?扶沟县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是 ， ．
【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
故答案为：，．
7．（2020春?西市区期末）如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止），在运动以后，以、、、四点组成平行四边形的次数有 3 次．
【解析】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，
以点、、、为顶点组成平行四边形，
，
分为以下情况：①点的运动路线是，方程为，
此时方程，此时不符合题意；
②点的运动路线是，方程为，
解得：；
③点的运动路线是，方程为，
解得：；
④点的运动路线是，方程为，
解得：；
⑤点的运动路线是，方程为，
解得：，
此时点走的路程为，此时不符合题意．
共3次．
故答案为：3．
8．（2020?浙江自主招生）已知四边形，从下列条件中：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
任取其中两个，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有 9种 ．
【解析】解：根据平行四边形的判定，符合四边形是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共9种．
故答案为：9种．
9．（2020秋?肇州县期末）如图，点、、、在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于，于，且．则当点、不重合时，与的关系是 互相平分 ．
【解析】解：已知，于，于，且且点、不重合，
，即，
，
又已知，
，
，
，
，
，，
和互相平分．
故答案为：互相平分．
10．（2020?青山区模拟）如图，在四边形中，，对角线，交于点，，，，则四边形的面积为 120 ．
【解析】解：，
，
，
，且，
四边形是平行四边形，
四边形的面积，
故答案为120．
11．（2020秋?锦江区校级月考）如图，在中，，于点，且．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为，当为 或 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】解：如图1所示：
，
，
，
，即，
，
，
，
；
分两种情况：
①当点在点的上方时，如图2所示：
由题意得：，，，
，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
即：当时，四边形是平行四边形，
解得：；
②当点在点的下方时，如图3所示：
根据题意得：，，，
，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
即：当时，四边形是平行四边形，
解得：；
综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形；
故答案为：或．
三、解答题
12．（2020春?潮南区期末）如图，点、、、在一条直线上，，，．连接、，求证：四边形是平行四边形．
【解析】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
13．（2020秋?石景山区期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求的长．
【解析】（1）证明：，
，．
是中点，
．
在与中，
．
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点．
，，
，
．
在中，，，，
．
在中，，，，
，
．
14．（2020秋?龙凤区校级期末）已知：如图所示，在平行四边形中，、分别是和的角平分线，交、于点、，连接、．
（1）求证：、互相平分；
（2）若，，，求线段的长．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
、互相平分；
（2），，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
过点作于点，
在中，，，
，
，
．
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精品试卷·第
2
页
（共
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人教版
八年级数学下册
18.1.2
平行四边形的判定（第2课时）
1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.（重点）
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题．（重点、难点）
学习目标
想一想：
B
如图，
取两根等长木条AB、CD,将他们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
新课导入
A
B
C
D
1
2
从上面的问题中我们可以抽取出如下题目:
已知
AB∥CD,AB=CD,试说明四边形ABCD是平行四边形.
解：方法1：连接AC，
∵
AB∥CD,
∴
∠1=∠2.
又∵
AB=CD,
AC=CA,
∴
△ABC≌△CDA,
∴
BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识讲解
∵AB
//CD
，
∴∠1=∠2
．
又
∵AB
=CD
，
AC
=CA
，
∴△ABC≌△CDA
．
∴∠BCA=∠DAC
．
∴AD
//BC
．
∴四边形ABCD是平行四边形．
方法2：如图，连接
AC．
平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中，
∵AB//CD，AB
=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
符号语言：
强调：同一组对边平行且相等.
文字语言
图形语言
几何语言
判定
方法1
定义法
判定方法2
判定方法3
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB//CD,
AD//BC,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵
∠
A=
∠
C,
∠
B=
∠
D,
∴四边形ABCD是
平行四边形
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是
平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
判定方法4
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
C
D
∵AB//CD,
AB=CD,
∴四边形ABCD是
平行四边形
平行四边形的判定方法
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=CD,EB
//FD．
又
∵EB
=
AB
,FD
=
CD，
∴EB
=FD
．
∴四边形EBFD是平行四边形．
例
如图
，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
1.四边形ABCD中，已知AB∥CD，再添加一个条件_____________，使四边形ABCD是平行四边形.
AB=CD
提示：本题答案不唯一，如答案也可为AD∥BC.
当堂训练
2.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？
解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，两条直铺的铁轨互相平行.
3.如图，
ABCD中，线段EF、GH分别在AB、CD上运动，在运动过程中总是保持EF=GH.
（1）试猜想四边形EFGH的形状，并说明理由.
解：四边形EFGH为平行四边形.
由平行四边形的性质,得AB∥CD，即EF∥GH.又∵EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形.
（2）若EF=
AB，且S
ABCD=24，
则S四边形EFGH=____.
8
4.如图，在
ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，
又∠AED=∠CFB=90°，∴△AED≌△CFB，
∴AE=CF.
又∵
∠AEF=∠CFE=90°，
∴
AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线
判定一个四边形是平行四边形的方法：
课堂小结
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