第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
课时目标
1．初步学会作差法比较两实数的大小．
2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a
(2)符号表示
a－b>0?a>b；
a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b?b(2)a>b，b>c?a>c(传递性)；
(3)a>b?a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac(5)a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0?ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2?an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2?>.
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.<
B．a2>b2
C.>
D．a|c|>b|c|
答案 C
解析 对A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，
∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>>
B.>>a
C.>a>
D.>>a
答案 D
解析 取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，
∴>>a.
3．已知a、b为非零实数，且aA．a2B．a2bC.<
D.<
答案 C
解析 对于A，当a<0，b<0时，a2对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于C，∵a0，∴<；
对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.
4．若x∈(e－1,1)，a＝ln
x，b＝2ln
x，c＝ln3x，则( )
A．aB．cC．bD．b答案 C
解析 ∵x<0.
令t＝ln
x，则－1∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.
5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0
B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0
D．b＋a>0
答案 D
解析 由a>|b|得－a∴a＋b>0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对．
可取特值，如a＝2，b＝－1，
a3＋b3＝7>0，故B错．
而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac
B．ac>bc
C．a|b|>c|b|
D．a2>b2>c2
答案 A
解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.
二、填空题
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
答案 [－1,6]
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
答案 f(x)>g(x)
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
9．若x∈R，则与的大小关系为________．
答案 ≤
解析 ∵－＝＝≤0，
∴≤.
10．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
答案 A>B
解析 A＝，B＝.
∵＋<＋，并且都为正数，∴A>B.
三、解答题
11．设a>b>0，试比较与的大小．
解 方法一 作差法
－＝
＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二 作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
能力提升
13．若0A．a1b1＋a2b2
B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1
D.
答案 A
解析 方法一 特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，
a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二 作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
∴0又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a－b，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a＋b－2a1b1
＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)
＝4>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1
＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)
＝2>0，
∴a1b1＋a2b2>.
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．
/课时训练15 不等关系与不等式
一、不等式性质的直接应用与判断
1.若<0,则下列结论不正确的是( )
A.a2B.abC.>2
D.<1
答案:D
解析:由<0可知,b2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )
A.a2>b2
B.
C.
D.a3>b3
答案:D
解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;
B.虽然3>-2,但是不成立;
C.虽然2>-3,但是不成立;
D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.
成立.
综上可知,只有D正确.故选D.
3.已知下列说法:
①若aab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则;④若0loga
其中正确的有 .?
答案:①③④
解析:对于①,由aab,故①正确;
对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;
对于③,当a>b>0时,得0<,
又c<0,∴,故③正确;
对于④,当01,则1+a<1+,
∴loga(1+a)>loga,故④正确.
二、利用不等式的性质比大小
4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:D
解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;
②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;
③a2+b2-ab=b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.
综上可得:①②③都恒成立.故选D.
5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是
( )
A.A≤B
B.A≥B
C.AB
D.A>B
答案:B
解析:∵A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=b2≥0,
∴A≥B.
6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的大小关系为 .?
答案:t1>t2
解析:由题意知,甲用的时间t1==S·,
乙用的时间t2=2×.
∵t1-t2=S·
=S=S>0.∴t1>t2.
7.已知a,b,x,y均为正实数,且,x>y,试判断的大小关系.
解:因为,
又且a>0,b>0,所以b>a>0.
又x>y>0,所以bx>ay,即bx-ay>0.
又x+a>0,y+b>0,
所以>0,即.
三、利用不等式的性质求代数式范围
8.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是 .?
答案:27
解析:∵4≤≤9,∴16≤≤81.
①
∵3≤xy2≤8,∴.
②
由①②可得2≤≤27,即2≤≤27.
∴的最大值为27.
9.已知1(1)2a+b;(2)a-b;(3).
解:(1)因为1又3(2)因为3又1(3)因为3又1四、利用不等式的性质证明
10.已知a>b>0,c求证:.
思路分析:解答本题可先比较的大小,进而判断.
证明:∵c-d>0.∴0<-<-.
又a>b>0,∴->->0.
∴,即->-.
两边同乘以-1,得.
(建议用时:30分钟)
1.若a,b∈R,且a>b,则( )
A.a2>b2
B.<1
C.lg(a-b)>0
D.
答案:D
解析:∵a>b,无法保证a2>b2,<1和lg(a-b)>0,
∴排除A与B,C,故选D.
2.如果aA.
B.abC.-ab<-a2
D.-<-
答案:D
解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.
3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )
A.
B.
C.ac>bc
D.ac答案:B
解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.
∴.
故选B.
4.下列结论正确的是( )
A.若a>b>0,a>c,则a2>bc
B.若a>b>c,则
C.若a>b,n∈N
,则an>bn
D.a>b>0,则ln
ab
答案:A
解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,an>bn不成立.
对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.
5.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是
( )
A.-π<2α-β<0
B.-π<2α-β<π
C.-<2α-β<
D.0<2α-β<π
答案:C
解析:∵-<α<,∴-π<2α<π.
又-<β<,∴-<-β<.
∴-<2α-β<.
又α-β<0,α<,∴2α-β<.
故-<2α-β<.
6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).?
答案:>
解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴a2-ab>ba-b2.
7.已知2b答案:-1<<2
解析:∵2b∴,即-1<<2.
8.若m答案:m解析:∵(p-m)(p-n)<0,
∴
又m同理m∴m9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1
000
kg,乙每次购粮用去1
000元钱,谁的购粮方式更合算?
解:设两次价格分别为a元、b元,
则甲的平均价格为m=元,
乙的平均价格为n=,
∴m-n=>0.
∴乙更合算.
10.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
解:因为f(x)=ax2-c,所以
即
解得
所以f(3)=9a-c=f(2)-f(1).
又因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,
所以≤-f(1)≤,-f(2)≤,
所以-1≤f(2)-f(1)≤20,
即-1≤f(3)≤20.
/