高二数学人教A必修5练习：第一章 解三角形 Word版含解析

第一章　解三角形
§1.1　正弦定理和余弦定理
1．1.1　正弦定理(一)
课时目标
1．熟记正弦定理的内容；
2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．
1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.
2．在Rt△ABC中，C＝，则＝sin_A，＝sin_B.
3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是三角形外接圆的直径2R.
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则
a∶b∶c等于(　　)
A．1∶2∶3
B．2∶3∶4
C．3∶4∶5
D．1∶∶2
答案　D
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A.＋1
B．2＋1
C．2
D．2＋2
答案　C
解析　由正弦定理＝，
得＝，∴b＝2.
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为(　　)
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形
答案　A
解析　sin2A＝sin2B＋sin2C?(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，若sin
A>sin
B，则角A与角B的大小关系为(　　)
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不能确定
答案　A
解析　由sin
A>sin
B?2Rsin
A>2Rsin
B?a>b?A>B.
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于(　　)
A．45°或135°
B．60°
C．45°
D．135°
答案　C
解析　由＝得sin
B＝
＝＝.
∵a>b，∴A>B，B<60°
∴B＝45°.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)
A．120°
B．105°
C．90°
D．75°
答案　A
解析　∵c＝a，∴sin
C＝sin
A＝sin(180°－30°－C)
＝sin(30°＋C)＝，
即sin
C＝－cos
C.
∴tan
C＝－.
又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
二、填空题
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.
答案　75°
解析　由正弦定理得＝，∴sin
A＝.
∵BC＝2∴C＝75°.
8．在△ABC中，若tan
A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
答案　
解析　∵tan
A＝，A∈(0°，180°)，∴sin
A＝.
由正弦定理知＝，
∴AB＝＝＝.
9．在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
答案　1
解析　由正弦定理，得
＝，
∴sin
B＝.∵C为钝角，
∴B必为锐角，∴B＝，
∴A＝.
∴a＝b＝1.
10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.
答案　30°
解析　∵b＝2a∴sin
B＝2sin
A，又∵B＝A＋60°，
∴sin(A＋60°)＝2sin
A
即sin
Acos
60°＋cos
Asin
60°＝2sin
A，
化简得：sin
A＝cos
A，∴tan
A＝，∴A＝30°.
三、解答题
11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解　∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝＝2＋2.
12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
解　a＝2，b＝6，a又因为bsin
A＝6sin
30°＝3，a>bsin
A，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sin
B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝，b＝2，sin
B＋cos
B＝，则角A的大小为________．
答案　
解析　∵sin
B＋cos
B＝sin(＋B)＝.
∴sin(＋B)＝1.
又0由正弦定理，得sin
A＝＝＝.
又a14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．
解　在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，
即∴30°由正弦定理知：＝＝＝2cos
B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.
A为锐角
aA
a＝bsin
A
bsin
A
a≥b
无解
一解(直角)
两解(一锐角，
一钝角)
一解(锐角)
A为直角
或钝角
a≤b
a>b
无解
一解(锐角)
1.1.1　正弦定理(二)
课时目标
1．熟记正弦定理的有关变形公式；
2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1)sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
2．三角形面积公式：S＝absin
C＝bcsin
A＝casin
B.
一、选择题
1．在△ABC中，sin
A＝sin
B，则△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
答案　D
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
答案　B
解析　由正弦定理知：＝＝，
∴tan
A＝tan
B＝tan
C，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sin
A＝，a＝10，则边长c的取值范围是(　　)
A.
B．(10，＋∞)
C．(0,10)
D.
答案　D
解析　∵＝＝，∴c＝sin
C.
∴04．在△ABC中，a＝2bcos
C，则这个三角形一定是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案　A
解析　由a＝2bcos
C得，sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于(　　)
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
答案　B
解析　∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k
(k>0)，
则，解得.
∴sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)
A．1
B．2
C.
D．4
答案　A
解析　设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin
C＝＝＝，∴abc＝1.
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
答案　2
解析　∵cos
C＝，∴sin
C＝，
∴absin
C＝4，∴b＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
答案　2
解析　由正弦定理＝，得＝，
∴sin
B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
答案　7
解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
答案　12　6
解析　＝＝＝12.
∵S△ABC＝absin
C＝×6×12sin
C＝18，
∴sin
C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明　因为在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左边＝
＝＝＝＝右边．
所以等式成立，即＝.
12．在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
解　设三角形外接圆半径为R，则a2tan
B＝b2tan
A
?＝
?＝
?sin
Acos
A＝sin
Bcos
B
?sin
2A＝sin
2B
?2A＝2B或2A＋2B＝π
?A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　)
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
答案　C
解析　设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，
∴＝
＝
＝＋＝＝＋，
∴tan
A＝1，A＝45°，C＝75°.
14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，
cos
＝，求△ABC的面积S.
解　cos
B＝2cos2
－1＝，
故B为锐角，sin
B＝.
所以sin
A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin
B＝×2××＝.
1．在△ABC中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C；
(3)＋＝；
(4)sin
＝cos
，cos
＝sin
，tan
＝.
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．
1．1.2　余弦定理(一)
课时目标
1．熟记余弦定理及其推论；
2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.
2．余弦定理的推论
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝.
3．在△ABC中：
(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝90°；
(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝60°；
(3)若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝135°.
一、选择题
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于(　　)
A.
B．3
C.
D．5
答案　A
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　∵a>b>c，∴C为最小角，
由余弦定理cos
C＝
＝＝.∴C＝.
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos
C＋ccos
B等于(　　)
A．1
B.
C．2
D．4
答案　C
解析　bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝＝a＝2.
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos
B＝＝＝.
5．在△ABC中，sin2＝
(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
答案　B
解析　∵sin2＝＝，
∴cos
A＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．
6．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为(　　)
A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
答案　B
解析　∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin
C，
∴a2＋b2－c2＝2absin
C，∴c2＝a2＋b2－2absin
C.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴sin
C＝cos
C，
∴C＝45°
.
二、填空题
7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.
答案　120°
8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
答案　30°
解析　c2＝a2＋b2－2abcos
C
＝22＋42－2×2×4×cos
60°
＝12
∴c＝2.
由正弦定理：＝得sin
A＝.
∵a9．三角形三边长为a，b，
(a>0，b>0)，则最大角为________．
答案　120°
解析　易知：>a，>b，设最大角为θ，
则cos
θ＝＝－，
∴θ＝120°.
10．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan
C＝________.
答案　－2
解析　S△ABC＝acsin
B＝，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos
B＝13，
∴cos
C＝＝－，sin
C＝，
∴tan
C＝－＝－2.
三、解答题
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
解　由条件知：cos
A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcos
A＝42＋92－2×4×9×＝49
?x＝7.
所以，所求中线长为7.
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
解　(1)cos
C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos
120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
(3)S△ABC＝absin
C＝.
能力提升
13．(2010·潍坊一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
答案　
解析　∵cos
C＝＝，
∴sin
C＝.
∴AD＝AC·sin
C＝.
14．在△ABC中，acos
A＋bcos
B＝ccos
C，试判断三角形的形状．
解　由余弦定理知
cos
A＝，cos
B＝，
cos
C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
1．1.2　余弦定理(二)
课时目标
1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；
2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．
1．正弦定理及其变形
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
(3)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(4)sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c.
2．余弦定理及其推论
(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.
(2)cos
A＝.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c23．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：
(1)A＋B＋C＝π，＝－.
(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.
(3)sin
＝cos
，cos
＝sin
.
一、选择题
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
答案　C
解析　∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，
即＝－，
∴cos
C＝－，∴∠C＝120°.
2．在△ABC中，若2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是
(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
答案　C
解析　∵2cos
Bsin
A＝sin
C＝sin(A＋B)，
∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
3.在△ABC中，已知sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为
(　　)
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
答案　B
解析　∵a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，
不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，
则cos
C＝＝－.
∴C＝120°.
∴最小外角为60°.
4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
答案　D
解析　∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.
∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，
c＝a，则(　　)
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
答案　A
解析　在△ABC中，由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos
120°
＝a2＋b2＋ab.
∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.
∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度确定
答案　A
解析　设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
答案　
解析　由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos
C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
答案　2解析　∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，
化简得：02a＋1，
∴a>2，∴29．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
答案　12
解析　S△ABC＝AB·AC·sin
A
＝AB·AC·sin
60°＝2，
∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A
＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，
∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，
∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
答案　
解析　S△ABC＝bcsin
A＝c＝，
∴c＝4，
由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos
A
＝12＋42－2×1×4cos
60°＝13，
∴a＝.
∴2R＝＝＝，
∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明　右边＝＝·cos
B－·cos
A
＝·－·＝－＝＝左边．
所以＝.
12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB
=，
且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
解
（1）∵?·＝－21，∴?·=21.?
∴·
=
||·||·cosB
=
accosB
=
21.?
∴ac=35，∵cosB
=
，∴?sinB
=
.?
∴S△ABC
=
acsinB
=
×35×
=
14.?
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos
B＝32，
∴b＝4.由正弦定理：＝.
∴sin
C＝sin
B＝×＝.
∵c∴C＝45°.
能力提升
13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)
A．0B．0C.D.答案　A
解析　方法一　(应用正弦定理)
∵＝，∴＝
∴sin
C＝sin
A，∵0A≤1，
∴0C≤.
∵AB∴0方法二　(应用数形结合)
如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，
则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，
∴014．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos
B＝.
(1)求＋的值；
（2）设·
=
，求a+c的值.?
解　(1)由cos
B＝，得sin
B＝＝.
由b2＝ac及正弦定理得sin2
B＝sin
Asin
C.
于是＋＝＋
＝＝
＝＝＝.
(2)由·
=
得ca·cosB
=
由cos
B＝，可得ca＝2，即b2＝2.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos
B，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cos
B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
1．解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角
(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；
由正弦定理求出b与c.在有
解时只有一解．
两边和夹角
(如a，b，C)
余弦定理
正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一
角．在有解时只有一解．
三边
(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出
角C.在有一解时只有一解.
两边和其中一边的对角如
(a，b，A)
余弦定理
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求
c.可有两解、一解或无解.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
§1.2　应用举例(一)
课时目标
1．了解数学建模的思想；
2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．
1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
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