湖南省益阳市桃江第一高级中学校2020-2021学年高二下学期入学考试（3月）数学试题 Word版含答案

2021桃江一中高二第二学期入学考试数学试卷
总分：150分考试时间：120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）.
1. 命题 ，， 则是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分不必要条件
4. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
6. 函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数有零点，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 记双曲线的左焦点为，双曲线上的点关于原点对称，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列不等式中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在单调递增 D. 的最小值为
11. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
12. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是（ ）
A. 0 B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 若实数，满足约束条件，则的最大值是________．
14. 已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
15. 已知拋物线的焦点为F，O为坐标原点，M的准线为l且与x轴相交于点B，A为M上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若，，则M的标准方程为______________.
16. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知.
（1）求的值；
（2）求值.
18. ①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
在中，角，，的对边分别为，，，若，，______，求的面积.
19. 已知等比数列的公比大于1，且满足，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
20. 在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.
（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；
（2）求平面EAB与平面ECD所成锐二面角的大小.
21. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.
22. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，当时，对任意，存在，使，证明：.
2021桃江一中高二第二学期入学考试数学试卷（答案版）
总分：150分考试时间：120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）.
1. 命题 ，， 则是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
2. 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分不必要条件
【答案】A
4. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】A
5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
6. 函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7. 若函数有零点，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 记双曲线的左焦点为，双曲线上的点关于原点对称，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列不等式中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在单调递增 D. 的最小值为
【答案】ABD
11. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
【答案】BD
12. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】CD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 若实数，满足约束条件，则的最大值是________．
【答案】
14. 已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】 (1). (2).
15. 已知拋物线的焦点为F，O为坐标原点，M的准线为l且与x轴相交于点B，A为M上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若，，则M的标准方程为______________.
【答案】
16. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知.
（1）求的值；
（2）求值.
【答案】（1）；（2）1
18. ①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
在中，角，，的对边分别为，，，若，，______，求的面积.
【答案】条件选择见解析，面积为
19. 已知等比数列的公比大于1，且满足，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
20. 在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.
（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；
（2）求平面EAB与平面ECD所成锐二面角的大小.
【答案】（1）见解析（2）45°
21. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
22. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，当时，对任意，存在，使，证明：.
【答案】(1)见解析；(2)见证明