江苏省无锡市八校联盟2021届高三下学期3月第三次适应性检测数学试题 Word版含答案

1071880012496800江苏省无锡市2021届高三无锡八校联盟第三次适应性检测
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若角α的终边经过点P(3，a)(a≠0)，则（ ）
A．sinα＞0 B．sinα＜0 C．cosα＞0 D．cosα＜0
2．记函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(x－1)的定义域为B，则A∩B＝（ ）
A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1)
3．设实数x满足x＞0，函数y＝2＋3x＋的最小值为（ ）
A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6
4. 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（　　）
A. 3.3m B. 3.5m C. 3.8m D. 4.5m
425450365760B
－π
π
1
y
x
O
A
x
－π
π
1
y
O
D
1
－π
π
O
x
y
x
C
－π
π
1
y
O
B
－π
π
1
y
x
O
A
x
－π
π
1
y
O
D
1
－π
π
O
x
y
x
C
－π
π
1
y
O
5．函数f(x)＝ 在[－π，π]上的图象大致为（ ）
6．若函数f(x)同时满足：①定义域内存在实数x，使得f(x)·f(－x)＜0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；则称函数f(x)为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为（ ）
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝sinx C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝lnx
7. 已知等差数列false的公差为2，前n项和为false，且false，false，false成等比数列.令false，数列false的前n项和为false，若对于false，不等式false恒成立，则实数false的取值范围是（　　）
A. false B. false C. false D. false
8. 若椭圆false上的点false到右准线的距离为false，过点false的直线false与false交于两点false，且false，则false的斜率为（ ）
A. false B. false C. false D. false
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 如图，已知false为正方体，E，F分别是BC，false的中点，则（　　）
A. false B. false
C. 向量false与向量false的夹角是false D. 异面直线false与false所成的角为false
10.我们把离心率为false的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为false的双曲线称为黄金双曲线，则（　　）
A. 曲线false是黄金双曲线
B. 如果双曲线false是黄金双曲线，那么false（c为半焦距）
C. 如果双曲线false是黄金双曲线，那么右焦点false到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一
D. 过双曲线false的右焦点false且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若false，则双曲线C是黄金双曲线
11．已知(2＋x)(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x＋a6x，则（ ）
A．a0的值为2 B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为120
12.对于定义在false上的函数false，若存在正实数false、false，使得false对一切false均成立，则称false是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）
A.false B.false
C.false D.false
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝x2交于A，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．
14．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级(M)是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的 ▲ 倍（精确到1位）．
15.将正奇数按如图所示的规律排列：
false
false false false
false false false false false
false false false false false false false
………………………
则false在第 ▲ 行，从左向右第 ▲ 个数.
16．若不等式(ax2＋bx＋1)ex≤1对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(本小题满分10分)
在①false，②false，③false这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为false．若false，false，
，求a和false．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)
已知数列false的前n项和为false，且false，false，false．
（1）求数列false，false的通项公式；
（2）设false，数列false的前n项和为false，求证：false．
19．(本小题满分12分)
2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“false”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
历史
150
合计
400
800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有false的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为false，求false的分布列和数学期望false.
附：false
false
0.050
0.010
0.001
false
3.8410
6.635
10.828
20．(本小题满分12分)
如图，在正六边形false中，将false沿直线false翻折至false，使得平面false平面false，false，false分别为false和false的中点.
（1）证明：false平面false；
（2）求平面false与平面false所成锐二面角的余弦值.
21．(本小题满分12分)
对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点．已知f(x)＝ax2＋1．
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点．
22． (本小题满分12分)
已知false为坐标原点，椭圆false，点false为false上的动点，false三点
共线，直线false的斜率分别为false．
（1）证明：false；
（2）当直线false过点false时，求false的最小值；
（3）若false，证明：false为定值．
1071880012496800江苏省无锡市2021届高三无锡八校联盟第三次适应性检测
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若角α的终边经过点P(3，a)(a≠0)，则（ ）
A．sinα＞0 B．sinα＜0 C．cosα＞0 D．cosα＜0
答案：C
2．记函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(x－1)的定义域为B，则A∩B＝（ ）
A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1)
答案：B
3．设实数x满足x＞0，函数y＝2＋3x＋的最小值为（ ）
A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6
答案：A
4. 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（　　）
A. 3.3m B. 3.5m C. 3.8m D. 4.5m
答案：C
5．函数f(x)＝ 在[－π，π]上的图象大致为（ ）
28829092075B
－π
π
1
y
x
O
A
x
－π
π
1
y
O
D
1
－π
π
O
x
y
x
C
－π
π
1
y
O
B
－π
π
1
y
x
O
A
x
－π
π
1
y
O
D
1
－π
π
O
x
y
x
C
－π
π
1
y
O
答案：D
6．若函数f(x)同时满足：①定义域内存在实数x，使得f(x)·f(－x)＜0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；则称函数f(x)为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为（ ）
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝sinx C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝lnx
答案：A
7. 已知等差数列false的公差为2，前n项和为false，且false，false，false成等比数列.令false，数列false的前n项和为false，若对于false，不等式false恒成立，则实数false的取值范围是（　　）
A. false B. false C. false D. false
答案：A
8. 若椭圆false上的点false到右准线的距离为false，过点false的直线false与false交于两点false，且false，则false的斜率为（ ）
A. false B. false C. false D. false
答案：B
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 如图，已知false为正方体，E，F分别是BC，false的中点，则（　　）
A. false B. false
C. 向量false与向量false的夹角是false D. 异面直线false与false所成的角为false
答案：ABD
10.我们把离心率为false的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为false的双曲线称为黄金双曲线，则（　　）
A. 曲线false是黄金双曲线
B. 如果双曲线false是黄金双曲线，那么false（c为半焦距）
C. 如果双曲线false是黄金双曲线，那么右焦点false到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一
D. 过双曲线false的右焦点false且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若false，则双曲线C是黄金双曲线
答案：BD
11．已知(2＋x)(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x＋a6x，则（ ）
A．a0的值为2 B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为120
答案：ABC
12.对于定义在false上的函数false，若存在正实数false、false，使得false对一切false均成立，则称false是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）
A.false B.false
C.false D.false
答案：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝x2交于A，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．
答案：
14．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级(M)是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的 ▲ 倍（精确到1位）．
答案：32
15.将正奇数按如图所示的规律排列：
false
false false false
false false false false false
false false false false false false false
………………………
则false在第 ▲ 行，从左向右第 ▲ 个数.
答案： (1). false (2). false
16．若不等式(ax2＋bx＋1)ex≤1对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ▲ ．
答案：(－∞，－1]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(本小题满分10分)
在①false，②false，③false这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为false．若false，false，
，求a和false．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案：若选①，由false及正弦定理false，
得false，所以false． …… 3分
因为false，所以false． …… 5分
又false，所以false， …… 6分
结合false，可得false． …… 8分
所以△ABC中的面积false
falsefalse． …… 10分
若选②，由false，
可得false．下同① …… 3分
若选③，由false，得false， …… 3分
因为false，所以false．下同① …… 5分
18．(本小题满分12分)
已知数列false的前n项和为false，且false，false，false．
（1）求数列false，false的通项公式；
（2）设false，数列false的前n项和为false，求证：false．
答案：（1）因为false，所以当false时，false，即false． …… 1分
当false时，有false，所以false，
即false，即false（false），
所以false是首项为false，公比为false的等比数列， …… 4分
所以false．
所以false． …… 6分
（2）false．…… 8分
所以false
false
false， …… 10分
可知false为递增数列，所以false．
又false，所以false，所以false． …… 12分
19．(本小题满分12分)
2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“false”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
历史
150
合计
400
800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有false的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为false，求false的分布列和数学期望false.
附：false
false
0.050
0.010
0.001
false
3.8410
6.635
10.828
答案：
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
250
550
历史
100
150
250
合计
400
400
800
……3分
（1）false
故有false的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关. …… 6分
（2）抽取的男女比例为false，故抽取5人中男生2人，女生3人.false的所有可能取值为0，1，2
false，false，false …… 10分
false的分布列如下：
false
0
1
2
false
false
false
false
false. …… 12分
20．(本小题满分12分)
如图，在正六边形false中，将false沿直线false翻折至false，使得平面false平面false，false，false分别为false和false的中点.
（1）证明：false平面false；
（2）求平面false与平面false所成锐二面角的余弦值.
答案：（1）证明：取false中点false，连接false，false，false，false …… 2分
又falsefalse，falsefalse，falsefalse平面false，false平面false ……3分
false平面false，false，false平面false平面false
falsefalse平面false …… 5分
（2）false平面false平面false，平面false平面false
false，false平面false，又false
如图建立空间直角坐标系，设false，false …… 7分
false，false，false，false，false
false，false，false，false …… 8分
设平面false，平面false的法向量分别为false，false
false ……9分
false …… 10分
设平面false与平面false所成角为false，false所成角为false
false. …… 12分
21．(本小题满分12分)
对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点．已知f(x)＝ax2＋1．
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．
①求实数a的取值范围；
②设g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点．
答案：（1）当a＝－2时，f(x)＝－2x2＋1．方程f(x)＝x可化为2x2＋x－1＝0，解得x＝－1或x＝，
所以f(x)的不动点为－1和 ． 2分
（2）①因为函数f(x)有两个不动点x1，x2，所以方程f(x)＝x，即ax2－x＋1＝0的两个实数根为x1，x2，
记p(x)＝ax2－x＋1，则p(x)的零点为x1和x2，因为x1＜2＜x2，所以a·p(2)＜0，
即a(4a－1)＜0，解得0＜a＜． 所以实数a的取值范围为(0，)． 6分
②因为g(x)＝loga[f(x)－x]＝loga(ax2－x＋1)．
方程g(x)＝x可化为loga(ax2－x＋1)＝x，即
因为0＜a＜，△＝1－4a＞0，所以p(x)＝0有两个不相等的实数根．
设p(x)＝ax2－x＋1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n．
因为函数p(x)＝ax2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，p(1)＝a＞0，＞1，p()＝1＞0，
所以1＜m＜＜n＜．
记h(x)＝ax－(ax2－x＋1)， 因为h(1)＝0，且p(1)＝a＞0，所以x＝1是方程g(x)＝x的实数根，
所以1是g(x)的一个不动点． 8分
h(n)＝an－(an2－n＋1)＝an＞0，因为0＜a＜，所以＞4，h()＝a－1＜a4－1＜0，
且h(x)的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，所以x0∈(n，)，使得h(x0)＝0， 10分
又因为p(x)在(n，)上单调递增，所以p(x0)＞p(n)＝0，所以x0是g(x)的一个不动点，
综上，g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点． 12分
22． (本小题满分12分)
已知false为坐标原点，椭圆false，点false为false上的动点，false三点
共线，直线false的斜率分别为false．
（1）证明：false；
（2）当直线false过点false时，求false的最小值；
（3）若false，证明：false为定值．
答案：（1）由题知false关于原点对称，则可设false．
因为点false在椭圆false上，所以false，
所以false，
所以false． …… 2分
（2）设直线false，代入false可得，
false，所以false，
因此false， …… 4分
因为false，所以false．
设false，则false，
等号当仅当false时取，即false时取等号．
所以false的最小值为8． …… 7分
（3）不妨设false，由false，false，
所以false． 8分
将直线false的方程为false代入false可得，
false，即false．
因为false，所以方程可化为false．
所以false，即false，所以false，即false．10分
所以false．… 12分