江苏省扬中市第二高级中学2020-2021第二学期高一数学周练3
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．已知，则与同向的单位向量为
（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知,均为单位向量,它们的夹角为,那么
(
)
A.
B.
C.
D.
4
3．已知向量满足，则向量夹角的余弦值为
（
）
A.
B.
C.
D.
4．已知，，则
（
）
A.
B.
C.
D.
5．如图，边长为2的正方形中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则
（
）
A.
B.
C.
D.
6．如图四边形中，为线段上的一点，若，则实数的值等于
（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，是半径为1的圆的两条直径，，
则等于
(
)
A.
B.
C.
D.
8．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．如图，在菱形中，，则以下说法正确的是
（
）
A.
与相等的向量（不含）只有一个
B.
与的模相等的向量（不含）有个
C.
的模恰为模的倍
D.
与不共线
10.
已知向量，，则
（
）
A.
B.
C.
D.
与的夹角为
11．在△ABC中，下列结论正确的是
(
)
A.
B.
C.
若,则△ABC是锐角三角形[来源:Zx
D.
若,则是等腰三角形;
12．已知是边长为的等边三角形，分别是上的两点，且与交于点，则下列说法正确的为
（
）
A.
B.
C.
D.
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知两个单位向量的夹角为，
则
，
14．如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C
均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则____．
15．△ABC中，点M是边BC的中点，，，则_____.
16．如图，在△ABC中，，若，
则
.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量的夹角为.
求：（1）的值；（2）的值.
18．已知向量．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当时，求的取值范围．
19．已知向量
（1）当时，求证：点A，B，C是一个直角三角形的顶点；
（2）在△ABC中，若，试求实数m的取值范围．
20．.如图，在边长为1的正六边形中，M为边EF上一点，且满足，设，.
（1）若，试用,表示和；
（2）若，求λ的值.
21．如图，已知正三角形的边长为1，设
（1）若是的中点，用分别表示向量，；
（2）求；
（3）求与的夹角.
22．如图，在平面直角坐标系中，已知，角的终边与单位圈交于点．
（1）当时，设，求的最小值；
（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，说明理由．
4江苏省扬中市第二高级中学2020-2021第二学期高一数学周练3
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．已知，则与同向的单位向量为
（
A
）
A．
B．
C．
D．
2．已知,均为单位向量,它们的夹角为,那么
(
C
)
A.
B.
C.
D.
4
3．已知向量满足，则向量夹角的余弦值为
（
C
）
A.
B.
C.
D.
4．已知，，则
（
C
）
A.
B.
C.
D.
5．如图，边长为2的正方形中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则
（
D
）
A.
B.
C.
D.
6．如图四边形中，为线段上的一点，若，则实数的值等于
（
A
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，是半径为1的圆的两条直径，，
则等于
(
B
)
A.
B.
C.
D.
8．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为
（ B ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．如图，在菱形中，，则以下说法正确的是
（
ABC
）
A.
与相等的向量（不含）只有一个
B.
与的模相等的向量（不含）有个
C.
的模恰为模的倍
D.
与不共线
10.
已知向量，，则
（
ACD
）
A.
B.
C.
D.
与的夹角为
11．在△ABC中，下列结论正确的是
(
ABD
)
A.
B.
C.
若,则△ABC是锐角三角形[来源:Zx
D.
若,则是等腰三角形;
12．已知是边长为的等边三角形，分别是上的两点，且与交于点，则下列说法正确的为
（AC
）
A.
B.
C.
D.
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知两个单位向量的夹角为，
则
，
14．如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C
均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则___12_．
15．△ABC中，点M是边BC的中点，，，则_____.
16．如图，在△ABC中，，若，
则
－
.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量的夹角为.
求：（1）的值；（2）的值.
17．解：（1）设夹角为，有，
因为，所以，
所以.
（2）因为，
所以.
18．已知向量．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当时，求的取值范围．
18.
解：（1），所以的坐标为，
设与之间的夹角为，
则，
而，故；
（2），
，
在上递减，在上递增，
所以时，最小值为，
时，最大值为，
故的取值范围为.
19．已知向量
（1）当时，求证：点A，B，C是一个直角三角形的顶点；
（2）在△ABC中，若，试求实数m的取值范围．
19．解：（1）因为，
所以，
,
，
所以点A，B，C是一个直角三角形的顶点；
（2）因为，
，
在则，因为，
所以，且不共线，
所以，
解得，
所以实数m的取值范围是
20．.如图，在边长为1的正六边形中，M为边EF上一点，且满足，设，.
（1）若，试用,表示和；
（2）若，求λ的值.
20．解：（1）记正六边形的中心为点O，连结，
在平行四边形中，，
在平行四边形中，
（2）若，
，
又因为，
，
所以.
21．如图，已知正三角形的边长为1，设
（1）若是的中点，用分别表示向量，；
（2）求；
（3）求与的夹角.
21．解：（1），
（2）由题意知，，且，
则
所以
（3）
与（2）解法相同，可得
设与的夹角为，
则，
因为，
所以与的夹角为(范围不写或写错扣1分).
22．如图，在平面直角坐标系中，已知，角的终边与单位圈交于点．
（1）当时，设，求的最小值；
（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，说明理由．
22．解：（1）∵，角的终边与单位圆交于点，，
∴，，
．
∵，
∴，
∴当时，，即．
（2）假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值，
设，∵角的终边与单位圆交于点，∴，
∵，．
∴为定值，
设∴对任意角恒成立，
∴，消去得，∴或，∵，∴，
此时，即，
∴在轴上存在异于点的定点，使得为定值2．
另解：若为定值，则取0和1时的值相同，
即，解得或，∴，∴
当时，，即．
∴在轴上存在异于点的定点，使得为定值2．
6
