2020-2021学年人教版 九年级数学下册 第二十七章 相似 综合训练（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版 九年级数学下册 第二十七章 相似 综合训练（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 786.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-21 18:38:09 | ||
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文档简介
人教版 九年级数学下册 第二十七章 相似 综合训练
一、选择题
1. 2020·绍兴如图，三角尺在灯光照射下形成投影，三角尺与其投影的相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角尺的对应边长为( )
A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm
2. （2020·河北） 在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是
A.四边形NPMQ B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ D.四边形NHMR
3. (2019?重庆)下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
4. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（） C．（） D．（﹣2，﹣1）
5. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为( )
图27－Y－3
A．4 B．4
C．2 D．8
6. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
7. (2019?贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于
A．5 B．6
C．7 D．8
8. （2020?丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
9. 如图，△ABO的顶点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为( )
A．9 B．12
C．15 D．18
10. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题
11. (2019?郴州)若，则__________．
12. （2020·吉林）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
13. (2019?百色)如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，
，，，则的面积为__________．
14. 在由边长均为1的小正方形组成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图27－Y－7，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________．
15. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________．
17. 在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.
(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则＝__________；
(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．
18. 如图，直线y＝－x－3交x轴于点A，交y轴于点B，P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是________________．
19. (2019?辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为__________．
20. (2019?泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．
三、解答题
21. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.
(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
图① 图② 图③
22. (2019?广东)如图，在中，点是边上的一点．
(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若，求的值．
23. (2019?菏泽)如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
24. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
图① 图 ② 图③
25. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc；
(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．
人教版 九年级数学下册 第二十七章 相似 综合训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A
2. 【答案】A
【解析】解析：连接AO并延长AO至点N，连接BO并延长PO至点P, 连接CO并延长CO至点M, 连接DO并延长DO至Q，可知，所以以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故答案为A.
3. 【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，
故选B．
4. 【答案】B
【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝，可得C（）因此本题选B．
5. 【答案】B [解析] 依题意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，
∴S四边形ABDE＝3.
∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故选B.
6. 【答案】 B．
【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．
7. 【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，即，解得：，故选B．
8. 【答案】C
【解析】∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BG＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG，∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FGx.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，
∴BG＝xx，∴BC2＝BG2+CG2，
∴，因此本题选D．
9. 【答案】D [解析] ∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB.∵M，N是OA的三等分点，∴＝，＝，∴＝.
∵四边形MNQP的面积为3，
∴＝，∴S△ANQ＝1.
∵＝()2＝，∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18.
10. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
二、填空题
11. 【答案】
【解析】∵，∴，
故2y=x，则，故答案为：．
12. 【答案】
【解析】点，分别是边，的中点，
，即
又，
则四边形的面积为.
故答案为：．
13. 【答案】18
【解析】∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，
若点，，∴位似比为，
∵，，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：18．
14. 【答案】5 [解析] ∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC∶BC＝1∶2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2.
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6 ，∴画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4.在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2 ，DF＝5 的格点三角形．
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为×2 ÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为5 .
15. 【答案】(－4，－8)或(4，8)
【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．
16. 【答案】 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝AB＝1.
∵AB∥CD，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∴＝，∴＝.
∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△BDC，∴＝＝.
∵CD＝2，∴PQ＝.
17. 【答案】(1)△ABC如图 (2)直角三角形 解析：(1)因为点A的坐标为(1,2)，所以点A关于y轴的对称点B的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C的坐标为(－1，－2)．连AB，BC，AC，作△ABC.
设AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为(0,2)，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC.
∴＝＝.
(2)∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，
∴点A不在坐标轴上，
∴AB∥x轴，BC⊥x轴．
∴∠ABC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
18. 【答案】(－，0)或(－，0)[解析] 如图，依题意可知A(－4，0)，B(0，－3)，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5.
设⊙P与直线AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1.
易得△APD∽△ABO，
∴＝，即＝，
∴AP＝，∴OP＝或OP＝，
∴点P的坐标是(－，0)或(－，0)．
19. 【答案】或
【解析】∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，
∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示，
∵，，
∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴点横坐标为﹣4，，，，
∵∽，
∴，即，
解得：，
∴点．
②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图2所示，
∵，∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
∴，∴，
∵∽，
∴，即：，
解得：，，
∴，
∴点，
综上所述：点的坐标为：或，
故答案为：或．
20. 【答案】
【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，
∴，
∴CH=AC–AH=15–DH，
∵，∴，
又∵∠ANH=∠DNF，∴，
∴，∴，
∵，CE+BE=BC=15，∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
三、解答题
21. 【答案】
(1)证：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，
∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，
∴A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.
∴△A′CD是等边三角形．
(2)证：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝ .
又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.
∵＝tan30°＝，∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3.
(3)120，.
22. 【答案】
(1)如图所示：
(2)∵，
∴．
∴．
23. 【答案】
(1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在与中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
(2)在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
24. 【答案】
解： （1）.解：∵，AC=20，∴AB=.
（2）延长CG交DA的延长线于点J，由折叠可知：∠BCG=∠ECG，
∵AD∥BC，∴∠J=∠BCG=∠ECG，∴JE=CE.由折叠可知：E、F为AD、BC的中点，∴DE=AE=10，
由勾股定理可得：CE=,∴EJ=，∴AJ=JE-AE=-10，
∵AJ∥BC，∴△AGJ∽△BGC，∴,∴G是AB的黄金分割点.
（3）PB=BC，理由如下：∵E为AD的黄金分割点，且AE>DE，∴AE=a.
∵CF⊥BE，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90?,∴∠ABE=∠FCB,
在△BEA和△CFB中，∵，∴△BEA≌△CFB，∴BF=AE=a.
∴,∵AE∥BP，∴△AEF∽△BPF,∴,
∵AE=BF,∴PB=AB，∴PB=BC.
25. 【答案】
(1)证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，
∴＝k.∴a＝ka1，又∵c＝a1，∴a＝kc.
(2)解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2.
此时＝＝＝2，∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1.
(3)解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.
又∵b＝a1，c＝b1，
∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c，
∴b＝2c.(12分)
∴b＋c＝2c＋c＜4c＝a，与b＋c>a矛盾，
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2.
一、选择题
1. 2020·绍兴如图，三角尺在灯光照射下形成投影，三角尺与其投影的相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角尺的对应边长为( )
A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm
2. （2020·河北） 在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是
A.四边形NPMQ B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ D.四边形NHMR
3. (2019?重庆)下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
4. （2020·嘉兴） 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（） C．（） D．（﹣2，﹣1）
5. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为( )
图27－Y－3
A．4 B．4
C．2 D．8
6. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
7. (2019?贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于
A．5 B．6
C．7 D．8
8. （2020?丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
9. 如图，△ABO的顶点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为( )
A．9 B．12
C．15 D．18
10. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题
11. (2019?郴州)若，则__________．
12. （2020·吉林）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
13. (2019?百色)如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，
，，，则的面积为__________．
14. 在由边长均为1的小正方形组成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图27－Y－7，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________．
15. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是______．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________．
17. 在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.
(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则＝__________；
(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．
18. 如图，直线y＝－x－3交x轴于点A，交y轴于点B，P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是________________．
19. (2019?辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为__________．
20. (2019?泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．
三、解答题
21. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.
(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
图① 图② 图③
22. (2019?广东)如图，在中，点是边上的一点．
(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若，求的值．
23. (2019?菏泽)如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
24. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
图① 图 ② 图③
25. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc；
(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．
人教版 九年级数学下册 第二十七章 相似 综合训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A
2. 【答案】A
【解析】解析：连接AO并延长AO至点N，连接BO并延长PO至点P, 连接CO并延长CO至点M, 连接DO并延长DO至Q，可知，所以以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故答案为A.
3. 【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，
故选B．
4. 【答案】B
【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝，可得C（）因此本题选B．
5. 【答案】B [解析] 依题意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，
∴S四边形ABDE＝3.
∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故选B.
6. 【答案】 B．
【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．
7. 【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，即，解得：，故选B．
8. 【答案】C
【解析】∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BG＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG，∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FGx.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，
∴BG＝xx，∴BC2＝BG2+CG2，
∴，因此本题选D．
9. 【答案】D [解析] ∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB.∵M，N是OA的三等分点，∴＝，＝，∴＝.
∵四边形MNQP的面积为3，
∴＝，∴S△ANQ＝1.
∵＝()2＝，∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18.
10. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
二、填空题
11. 【答案】
【解析】∵，∴，
故2y=x，则，故答案为：．
12. 【答案】
【解析】点，分别是边，的中点，
，即
又，
则四边形的面积为.
故答案为：．
13. 【答案】18
【解析】∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，
若点，，∴位似比为，
∵，，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：18．
14. 【答案】5 [解析] ∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC∶BC＝1∶2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2.
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6 ，∴画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4.在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2 ，DF＝5 的格点三角形．
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为×2 ÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为5 .
15. 【答案】(－4，－8)或(4，8)
【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．
16. 【答案】 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝AB＝1.
∵AB∥CD，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∴＝，∴＝.
∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△BDC，∴＝＝.
∵CD＝2，∴PQ＝.
17. 【答案】(1)△ABC如图 (2)直角三角形 解析：(1)因为点A的坐标为(1,2)，所以点A关于y轴的对称点B的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C的坐标为(－1，－2)．连AB，BC，AC，作△ABC.
设AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为(0,2)，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC.
∴＝＝.
(2)∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，
∴点A不在坐标轴上，
∴AB∥x轴，BC⊥x轴．
∴∠ABC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
18. 【答案】(－，0)或(－，0)[解析] 如图，依题意可知A(－4，0)，B(0，－3)，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5.
设⊙P与直线AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1.
易得△APD∽△ABO，
∴＝，即＝，
∴AP＝，∴OP＝或OP＝，
∴点P的坐标是(－，0)或(－，0)．
19. 【答案】或
【解析】∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，
∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示，
∵，，
∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴点横坐标为﹣4，，，，
∵∽，
∴，即，
解得：，
∴点．
②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图2所示，
∵，∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
∴，∴，
∵∽，
∴，即：，
解得：，，
∴，
∴点，
综上所述：点的坐标为：或，
故答案为：或．
20. 【答案】
【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，
∴，
∴CH=AC–AH=15–DH，
∵，∴，
又∵∠ANH=∠DNF，∴，
∴，∴，
∵，CE+BE=BC=15，∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
三、解答题
21. 【答案】
(1)证：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，
∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，
∴A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.
∴△A′CD是等边三角形．
(2)证：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝ .
又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.
∵＝tan30°＝，∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3.
(3)120，.
22. 【答案】
(1)如图所示：
(2)∵，
∴．
∴．
23. 【答案】
(1)∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在与中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴．
(2)在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
24. 【答案】
解： （1）.解：∵，AC=20，∴AB=.
（2）延长CG交DA的延长线于点J，由折叠可知：∠BCG=∠ECG，
∵AD∥BC，∴∠J=∠BCG=∠ECG，∴JE=CE.由折叠可知：E、F为AD、BC的中点，∴DE=AE=10，
由勾股定理可得：CE=,∴EJ=，∴AJ=JE-AE=-10，
∵AJ∥BC，∴△AGJ∽△BGC，∴,∴G是AB的黄金分割点.
（3）PB=BC，理由如下：∵E为AD的黄金分割点，且AE>DE，∴AE=a.
∵CF⊥BE，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90?,∴∠ABE=∠FCB,
在△BEA和△CFB中，∵，∴△BEA≌△CFB，∴BF=AE=a.
∴,∵AE∥BP，∴△AEF∽△BPF,∴,
∵AE=BF,∴PB=AB，∴PB=BC.
25. 【答案】
(1)证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，
∴＝k.∴a＝ka1，又∵c＝a1，∴a＝kc.
(2)解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2.
此时＝＝＝2，∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1.
(3)解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.
又∵b＝a1，c＝b1，
∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c，
∴b＝2c.(12分)
∴b＋c＝2c＋c＜4c＝a，与b＋c>a矛盾，
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2.