2020-2021学年北师大版八年级数学下册 第一章　三角形的证明 同步单元训练卷（word版含答案）

北师大版八年级数学下册
第一章　三角形的证明
同步单元训练卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　　)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
2．已知等腰三角形两边长是8
cm和4
cm，那么它的周长是(　　)
A．12
cm
B．16
cm
C．16
cm或20
cm
D．20
cm
3．下列命题的逆命题不正确的是(　　)
A．若a2＝b2，则a＝b
B．两直线平行，内错角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．对顶角相等
4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于点D，∠A＝45°，若BD＝2，则AB的长为(　　)
A．2
B．2
C．2
D．3
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，CD⊥AB于点D，则∠DCB等于(　　)
A．68°
B．46°
C．44°
D．22°
6.
如图，一棵树在一次强台风中在离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　　)
A．6米
B．9米
C．12米
D．15米
7．如图，△ABC是等边三角形，点D，G分别在BC和AC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF，AG＝DG，则下列结论：①点D在∠BAC的平分线上；②AE＝AF；③DG∥AB；④△BDE≌△GDF.其中，正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，若∠B＝70°.则∠BCE的度数为(　　)
A．55°
B．50°
C．40°
D．35°
9．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为(　　)
A．3
B．4
C．2
D．4.5
10．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE.下列四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45°；④BE2＝2(AD2＋AB2)．其中结论正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中_____________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是______________________．
12.
如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．
13．三角形的一个角的平分线垂直于对边，那么这个三角形是________三角形．
14．下列三个定理中，存在逆定理的是___________．
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的周长相等；
③同位角相等，两直线平行．
15．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是________．
16．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，DE⊥AB于点E，DE＝5
cm，则BC＝________
cm.
17．如图，∠BAC＝100°，点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上，则∠DAE＝________.
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是__________．
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分)
如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F.试判断△AFC的形状，并说明理由．
20．(8分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
21．(8分)
如图，某公路一侧有A，B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8
km，BC＝15
km，AB＝17
km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边行走，速度为2.5
km/h，问：多长时间后他距B送奶站最近？
22．(10分)
如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
23．(10分)
如图，△ABC为等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.
(1)求证：PD＝DQ；
(2)若AB＝1，求DE的长．
24．(10分)
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
25．(12分)
如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)求证：△ODE是等边三角形；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；
(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)
参考答案
1-5DDDCD
6-10BCBBC
11.有两个角是直角；内错角相等，两直线平行
12.3
13.
等腰
14.
①④
15.
(－4，3)
16.
15
17.
20°
18.
15
19.
解：△AFC是等腰三角形，理由如下：∵∠BAD＝∠BCE，∠B＝∠B，BD＝BE，∴△BAD≌△BCE(AAS)，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，又∵∠BAD＝∠BCE，∴∠FAC＝∠FCA，∴AF＝FC，∴△AFC为等腰三角形．
20．(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
(2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2.
∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.
∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3.
21.
解：过B作BD⊥CD于点D，图略．在△ABC中，AC＝8，BC＝15，AB＝17，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∵∠1＝30°，∴∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝7.5(km)，∴时间为7.5÷2.5＝3(h)．
22.
解：(1)全等，理由如下：如图所示，∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC.
(2)是直角三角形，理由如下：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3＝∠4，∵∠3＋∠5＝90°，∴∠4＋∠5＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△CDE是直角三角形．
23.
解：(1)证明：点过P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.
∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形．∴AP＝PF.
∵AP＝CQ，∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.
(2)∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝AC.
∵△ABC为等边三角形，AB＝1，∴AC＝1，∴DE＝.
24．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.
在△BED与△CFD中，∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)．
(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.
又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°.
∴在Rt△BED中，BD＝2BE＝2.
∴BC＝2BD＝4.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝3BC＝12.
25.
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形
(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴BD＝OD.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC
(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；②若等边△ABC的边长为1，求BC边上的高
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）