单元素养评价(三)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是
( )
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
【解析】选D.概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性.
2.12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽取3个，必然事件是
( )
A.3个都是正品
B.至少有一个是次品
C.3个都是次品
D.至少有一个是正品
【解析】选D.A，B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的3个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件.
3.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P==.
4.在区间[-2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由几何概型的概率计算公式可知x∈[0，1]的概率P==.
5.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.既不互斥又不对立事件
【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.
6.将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[-2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为
( )
A.x=2x1
B.x=4x1
C.x=2x1-2
D.x=4x1-2
【解析】选D.由题意可知x=(2+2)x1-2=4x1-2.
7.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率是0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是
( )
A.0.62
B.0.38
C.0.70
D.0.68
【解析】选B.记“取到质量小于4.8
g”为事件A，“取到质量不小于4.85
g”为事件B，“取到质量在[4.8，4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件.所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1，即P(C)=1-0.3-0.32=0.38.
8.某人从甲地去乙地共走了500
m，途中要过一条宽为x
m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为
( )
A.100
m
B.80
m
C.50
m
D.40
m
【解析】选A.设河宽为x
m，则1-=，
所以x=100.
9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
( )
A.
B.
C.1-
D.1-
【解析】选C.直角三角形的斜边长为=13，
设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2.
所以内切圆的面积为πr2=4π，所以豆子落在内切圆外部的概率P=1-=1-.
10.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为Ω={(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，
所以事件总数有15种.
因为正确的开机密码只有1种，所以P=.
11.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P=1-=.
12.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率
为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意，设BC=2，则以点B为圆心的扇形面积为××22=，
等边△ABC的面积为×22×sin
=，
其中一个弓形的面积为-，
所以勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即+2×=2π-2，
所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率为1-=.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A={摸出黑球}，B={摸出白球}，C={摸出绿球}，D={摸出红球}，则P(A)，P(B)，P(C∪D)的值依次为____________.?
【解析】由古典概型的算法可得P(A)==，P(B)=，P(C∪D)=P(C)+P(D)=+=.
答案：，，
14.在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2+2ax+=0有两个相异实根的概率为______.?
【解析】方程有两个相异实根的条件是Δ=(2a)2-4×1×=4a2-2>0，解得|a|>，又a∈(0，1)，所以
答案：
15.从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)
162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5～170.5
cm之间的概率为______.(用分数表示)?
【解析】样本中有8人身高在155.5～170.5
cm之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5～170.5
cm之间的概率为=.
答案：
16.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a-b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______.?
【解析】此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10=100种取法.若|a-b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取1～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8=24种，所以P==.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
=15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
=10.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
18.(12分)设集合M={1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件.
(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件？“a<3且b>1”呢？
(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件？“a=b”呢？
(3)“直线ax+by=0的斜率k>-1”这一事件包含哪几个基本事件？
【解析】这个试验的基本事件构成集合Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
(1)“a+b=5”包含以下4个基本事件：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).
“a<3且b>1”包含以下6个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，
(2，3)，(2，4).
(2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
“a=b”这一事件包含以下4个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
(3)直线ax+by=0的斜率k=->-1，
所以a(2，4)，(3，4).
19.(12分)
某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果.
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.
【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种.
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种.
因此，事件M发生的概率P(M)==.
20.(12分)国家安全机关的监听录音记录了两名间谍的谈话，发现在30
min长的磁带上，从开始30
s处起，有10
s长的一段谈话内容包含两名间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了.该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？
【解析】包含两名间谍谈话录音的部分在30～40
s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉；当按错键的时刻在0～30
s之间时，全部被擦掉.即在0～40
s之间的时间段内任一时刻按错键时，含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉，而在0～30
min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的.所以按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段的长度有关，符合几何概型的条件.设事件A表示“按错键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉”，事件A发生就是在0～
min的时间段内按错键.
所以μA=
min，μΩ=30
min，P(A)===.
21.(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；
(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率.
【解析】先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个.
(1)因为直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切，
所以=1，整理得：a2+b2=25.
由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，所以满足条件的情况只有a=3，b=4，或a=4，b=3两种情况.所以直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率是=.
(2)因为三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，所以当a=1时，b=5，共1个基本事件；
当a=2时，b=5，共1个基本事件；
当a=3时，b=3，5，共2个基本事件；
当a=4时，b=4，5，共2个基本事件；
当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，共6个基本事件；
当a=6时，b=5，6，共2个基本事件；
所以满足条件的基本事件共有1+1+2+2+6+2=14个，
所以三条线段能围成等腰三角形的概率为=.
22.(12分)在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示.
(1)求甲班的平均分.
(2)从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率.
【解析】(1)甲班的平均分为：
=89.
(2)甲班90～100的学生有2个，设为A，B；乙班90～100的学生有4个，设为a，b，c，d，
从甲班和乙班90～100的学生中抽取两人，共包含：
(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)15个基本事件，设事件M=“至少含有甲班一名同学”，
则事件M包含：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，9个事件，
所以事件M的概率为=.
PAGE单元素养评价(三)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是
( )
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
2.12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽取3个，必然事件是
( )
A.3个都是正品
B.至少有一个是次品
C.3个都是次品
D.至少有一个是正品
3.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
4.在区间[-2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
5.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.既不互斥又不对立事件
6.将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[-2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为
( )
A.x=2x1
B.x=4x1
C.x=2x1-2
D.x=4x1-2
7.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率是0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是
( )
A.0.62
B.0.38
C.0.70
D.0.68
8.某人从甲地去乙地共走了500
m，途中要过一条宽为x
m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为
( )
A.100
m
B.80
m
C.50
m
D.40
m
9.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
( )
A.
B.
C.1-
D.1-
10.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
11.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
12.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率
为
( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A={摸出黑球}，B={摸出白球}，C={摸出绿球}，D={摸出红球}，则P(A)，P(B)，P(C∪D)的值依次为____________.?
14.在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2+2ax+=0有两个相异实根的概率为______.?
15.从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)
162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5～170.5
cm之间的概率为______.(用分数表示)?
16.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a-b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______.?
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
18.(12分)设集合M={1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件.
(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件？“a<3且b>1”呢？
(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件？“a=b”呢？
(3)“直线ax+by=0的斜率k>-1”这一事件包含哪几个基本事件？
19.(12分)
某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果.
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.
20.(12分)国家安全机关的监听录音记录了两名间谍的谈话，发现在30
min长的磁带上，从开始30
s处起，有10
s长的一段谈话内容包含两名间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了.该工作人员声称他完全是无意中按错了键，才使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪信息的谈话被部分或全部擦掉的概率有多少？
21.(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；
(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率.
22.(12分)在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示.
(1)求甲班的平均分.
(2)从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率.
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