福建省福州市福清市高中联合体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 福建省福州市福清市高中联合体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-21 20:08:41 | ||
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文档简介
福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 函数是（ ）
A. 奇函数，且在R上单调递减 B. 奇函数，且在R上单调递增
C. 偶函数，且在R上单调递减 D. 偶函数，且在R上单调递增
4. 若角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的零点所在区间应是（ ）
A. B. C. D.
6. 要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）
A. B. C. D.
10. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 关于函数有下述四个结论，其中正确的是：（ ）
A. 的图象关于原点对称 B. 在区间单调递减
C. 在有2个零点 D. 的最大值为2
12. 已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 在上单调递增
C. 4是函数的周期 D. 在上单调递减
第Ⅱ卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 已知函数则________．
14. 已知，且为锐角，则________．
15. 如图，的三个顶点A，B，C恰好分别落在函数，，的图象上，且B，C两点关于x轴对称，则点A的横坐标为________．
16. 已知定义在R上偶函数，当时，函数则满足的x的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
18. 已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知函数，且_______，
（1）求定义域，并判断的奇偶性；
（2）判断的单调性，并用定义给予证明．
20. 已知，且
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S最小，并求出该最小值？
22. 已知函数．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；
（2）求图象的对称轴与单调递增区间；
（3）当时，，求实数取值范围．
福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试
数学试卷（解析版）
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得集合B，再根据交集定义直接得结果.
【详解】因为，又，所以，
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
由全称命题的否定变换形式即可得出结果.
【详解】命题“，” 的否定是
，.
故选：C
3. 函数是（ ）
A. 奇函数，且在R上单调递减 B. 奇函数，且在R上单调递增
C. 偶函数，且在R上单调递减 D. 偶函数，且在R上单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据函数的解析式判断单调性.
【详解】函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以是奇函数，又是R上的增函数，
所以是R上的增函数，
故选：B
4. 若角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据任意角的三角函数的定义，求出和，再由二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
所以，，
因此.
故选：D.
5. 函数的零点所在区间应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的零点存在定理求解.
【详解】由函数，
因为，
所以函数的零点所在区间应是
故选：B
6. 要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，利用平移变换求解.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，
只需由图象上所有点横坐标向右平移个单位长度，
故选：D
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】因为，，
，
所以
故选：C
8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得出关于、的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令可得结果.
【详解】由题意可得，解得，
所以，函数解析式为，
在函数解析式中，令，可得.
因此，月份的月均温为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于A，，当时，，
当且仅当时取等号；当时，，
当且仅当时取等号，故A不正确；
对于B，，当且仅当时取等号.
对于C，，当时，取最小值；
对于D，，当且仅当时取等号；
故选：BCD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意，命题为真可得，求出的取值范围，再根据必要不充分条件即可求解.
【详解】由命题“，”为真命题，
可得，解得，
对于A，是命题为真的充要条件；
对于B，由不能推出，反之成立，
所以是命题为真的一个必要不充分条件；
对于C，不能推出，反之成立，
所以也是命题为真的一个必要不充分条件；
对于D，能推出，反之不成立，
是命题为真的一个充分不必要条件.
故选：BC
11. 关于函数有下述四个结论，其中正确是：（ ）
A. 的图象关于原点对称 B. 在区间单调递减
C. 在有2个零点 D. 的最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】
分，，将函数转化，再逐项求解判断.
【详解】当，即时，，
当，即时，，
所以，
A.因为函数定义域为R，关于原点对称，又，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，故错误；
B.当时， ，因为在上单调递减，所以在区间单调递减，故正确；
C. 令，则，因为，解得，又因为是偶函数，所以函数在有2个零点，故正确；
D. 的最大值为，故错误；
故选：BC
【点睛】关键点点睛：将函数变形为是本题求解的关键.
12. 已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 在上单调递增
C. 4是函数的周期 D. 在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A. 由的图象与的图象关系判断；C.由满足判断；BD.由对任意的，且，都有，得到在上递增，再结合函数的周期性判断.
【详解】因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，故A正确；
满足，所以4是函数的周期，故C正确；
因为对任意的，且，都有，所以在上递增，又 ，所以在上单调递减，故D正确B错误；
故选：ACD
第Ⅱ卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 已知函数则________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据分段函数每段的定义域求解.
【详解】因为函数
所以，
所以，
故答案为：2
14. 已知，且为锐角，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二倍角的正切公式，求出，再由为锐角，即可求出.
【详解】因为，又为锐角，所以，
因此，
所以.
故答案为：.
15. 如图，的三个顶点A，B，C恰好分别落在函数，，的图象上，且B，C两点关于x轴对称，则点A的横坐标为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
设出点，根据题意可知轴，从而可得出点，进而可得点，代入对数函数的解析式即可求解.
【详解】设出点，
是直角三角形，且B，C两点关于x轴对称，
轴，和纵坐标相同，
，，
，则，
在的图象上，
则，整理可得，，
解得.
故答案为：2
16. 已知定义在R上的偶函数，当时，函数则满足的x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
分析】
根据和的单调性，又 ，得到在 上递减，再根据是偶函数，将不等式转化为求解.
【详解】当时，函数
当时， ，因为 在 上递减，所以 在 上递减，
当时， 递减，又 ，
所以在 上递减，
又因为是定义在R上的偶函数，
则不等式可化为：，
所以，
解得，
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）3；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）根据指数的运算性质即可求解.
（2）利用对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式
（2）原式
.
18. 已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得到，再利用集合的补集和并集运算求解.
（2）化简，，再由求解.
【详解】（1）当时，集合，,
因为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
由（1）知，，
又因为，所以，
解得，所以实数的取值范围.
19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知函数，且_______，
（1）求的定义域，并判断的奇偶性；
（2）判断的单调性，并用定义给予证明．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
选择①，可得，选择②，可得.
（1）使函数有意义，只需；再求出与的关系即可求解.
（2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明.
【详解】选择①，因为，所以.
（1）要使函数有意义，只需，
所以函数的定义域为.
因为，
所以为奇函数．
⑵ 函数在区间和均为增函数．
证明如下： ，且，
则
，
因为，所以，，，
所以，即，
故函数在区间为增函数；
同理可证，函数在区间为增函数；
所以函数在区间和均为增函数．
选择②，因为，所以．
（1）要使函数有意义，只需，
所以函数的定义域为.
因为，
所以奇函数．
⑵ 函数在区间和均为减函数．
证明如下：，且，
则
，
因为，所以，，，
所以，即，
故函数在区间为减函数；
同理可证，函数在区间为减函数；
所以函数在区间和均为减函数．
20. 已知，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将已知条件两边平方，求得的值，进而求得的值.
（2）先求得的值，然后利用，结合两角差的余弦公式，求得的值.
【详解】（1）将两边同时平方，得，则，
又，所以.
（2）由（1）知，，
因为，，所以.
又因为所以
所以
，
【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．
21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S最小，并求出该最小值？
【答案】长为米，宽为米；平方米.
【解析】
【分析】
先设泳池的长为米，宽为米，列出式子，再利用基本不等式即可求解.
【详解】解：设游泳池的长为米，宽为米，则场地长为米，宽为米，
，
，
当且仅当“”时取等号．
当时，取得最小值为平方米，此时场地长为米，宽为米.
22. 已知函数．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；
（2）求图象的对称轴与单调递增区间；
（3）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）对称轴方程为，递增区间为；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由，计算出的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数在上的图象；
（2）解方程可得出函数的对称轴方程，解不等式可得函数的单调递增区间；
（3）利用（1）中的图象结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，当时，，
列表如下：
0 1
1 2 0
0 1
作图如下：
（2）因为，令，解得，
令，解得，
所以对称轴方程为，递增区间为；
（3），，
又，由（1）的图象可知，，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：函数的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法：
（1）五点法：用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取、、、、来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
（2）三角函数图象进行平移变换时注意提取的系数，进行周期变换时，需要将的系数变为原来的倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 函数是（ ）
A. 奇函数，且在R上单调递减 B. 奇函数，且在R上单调递增
C. 偶函数，且在R上单调递减 D. 偶函数，且在R上单调递增
4. 若角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的零点所在区间应是（ ）
A. B. C. D.
6. 要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）
A. B. C. D.
10. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 关于函数有下述四个结论，其中正确的是：（ ）
A. 的图象关于原点对称 B. 在区间单调递减
C. 在有2个零点 D. 的最大值为2
12. 已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 在上单调递增
C. 4是函数的周期 D. 在上单调递减
第Ⅱ卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 已知函数则________．
14. 已知，且为锐角，则________．
15. 如图，的三个顶点A，B，C恰好分别落在函数，，的图象上，且B，C两点关于x轴对称，则点A的横坐标为________．
16. 已知定义在R上偶函数，当时，函数则满足的x的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
18. 已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知函数，且_______，
（1）求定义域，并判断的奇偶性；
（2）判断的单调性，并用定义给予证明．
20. 已知，且
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S最小，并求出该最小值？
22. 已知函数．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；
（2）求图象的对称轴与单调递增区间；
（3）当时，，求实数取值范围．
福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试
数学试卷（解析版）
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得集合B，再根据交集定义直接得结果.
【详解】因为，又，所以，
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
由全称命题的否定变换形式即可得出结果.
【详解】命题“，” 的否定是
，.
故选：C
3. 函数是（ ）
A. 奇函数，且在R上单调递减 B. 奇函数，且在R上单调递增
C. 偶函数，且在R上单调递减 D. 偶函数，且在R上单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据函数的解析式判断单调性.
【详解】函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以是奇函数，又是R上的增函数，
所以是R上的增函数，
故选：B
4. 若角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据任意角的三角函数的定义，求出和，再由二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
所以，，
因此.
故选：D.
5. 函数的零点所在区间应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的零点存在定理求解.
【详解】由函数，
因为，
所以函数的零点所在区间应是
故选：B
6. 要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，利用平移变换求解.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，
只需由图象上所有点横坐标向右平移个单位长度，
故选：D
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】因为，，
，
所以
故选：C
8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得出关于、的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令可得结果.
【详解】由题意可得，解得，
所以，函数解析式为，
在函数解析式中，令，可得.
因此，月份的月均温为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于A，，当时，，
当且仅当时取等号；当时，，
当且仅当时取等号，故A不正确；
对于B，，当且仅当时取等号.
对于C，，当时，取最小值；
对于D，，当且仅当时取等号；
故选：BCD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意，命题为真可得，求出的取值范围，再根据必要不充分条件即可求解.
【详解】由命题“，”为真命题，
可得，解得，
对于A，是命题为真的充要条件；
对于B，由不能推出，反之成立，
所以是命题为真的一个必要不充分条件；
对于C，不能推出，反之成立，
所以也是命题为真的一个必要不充分条件；
对于D，能推出，反之不成立，
是命题为真的一个充分不必要条件.
故选：BC
11. 关于函数有下述四个结论，其中正确是：（ ）
A. 的图象关于原点对称 B. 在区间单调递减
C. 在有2个零点 D. 的最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】
分，，将函数转化，再逐项求解判断.
【详解】当，即时，，
当，即时，，
所以，
A.因为函数定义域为R，关于原点对称，又，所以是偶函数，其图象关于y轴对称，故错误；
B.当时， ，因为在上单调递减，所以在区间单调递减，故正确；
C. 令，则，因为，解得，又因为是偶函数，所以函数在有2个零点，故正确；
D. 的最大值为，故错误；
故选：BC
【点睛】关键点点睛：将函数变形为是本题求解的关键.
12. 已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 在上单调递增
C. 4是函数的周期 D. 在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A. 由的图象与的图象关系判断；C.由满足判断；BD.由对任意的，且，都有，得到在上递增，再结合函数的周期性判断.
【详解】因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，故A正确；
满足，所以4是函数的周期，故C正确；
因为对任意的，且，都有，所以在上递增，又 ，所以在上单调递减，故D正确B错误；
故选：ACD
第Ⅱ卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 已知函数则________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据分段函数每段的定义域求解.
【详解】因为函数
所以，
所以，
故答案为：2
14. 已知，且为锐角，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二倍角的正切公式，求出，再由为锐角，即可求出.
【详解】因为，又为锐角，所以，
因此，
所以.
故答案为：.
15. 如图，的三个顶点A，B，C恰好分别落在函数，，的图象上，且B，C两点关于x轴对称，则点A的横坐标为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
设出点，根据题意可知轴，从而可得出点，进而可得点，代入对数函数的解析式即可求解.
【详解】设出点，
是直角三角形，且B，C两点关于x轴对称，
轴，和纵坐标相同，
，，
，则，
在的图象上，
则，整理可得，，
解得.
故答案为：2
16. 已知定义在R上的偶函数，当时，函数则满足的x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
分析】
根据和的单调性，又 ，得到在 上递减，再根据是偶函数，将不等式转化为求解.
【详解】当时，函数
当时， ，因为 在 上递减，所以 在 上递减，
当时， 递减，又 ，
所以在 上递减，
又因为是定义在R上的偶函数，
则不等式可化为：，
所以，
解得，
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）3；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）根据指数的运算性质即可求解.
（2）利用对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式
（2）原式
.
18. 已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得到，再利用集合的补集和并集运算求解.
（2）化简，，再由求解.
【详解】（1）当时，集合，,
因为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
由（1）知，，
又因为，所以，
解得，所以实数的取值范围.
19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知函数，且_______，
（1）求的定义域，并判断的奇偶性；
（2）判断的单调性，并用定义给予证明．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
选择①，可得，选择②，可得.
（1）使函数有意义，只需；再求出与的关系即可求解.
（2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明.
【详解】选择①，因为，所以.
（1）要使函数有意义，只需，
所以函数的定义域为.
因为，
所以为奇函数．
⑵ 函数在区间和均为增函数．
证明如下： ，且，
则
，
因为，所以，，，
所以，即，
故函数在区间为增函数；
同理可证，函数在区间为增函数；
所以函数在区间和均为增函数．
选择②，因为，所以．
（1）要使函数有意义，只需，
所以函数的定义域为.
因为，
所以奇函数．
⑵ 函数在区间和均为减函数．
证明如下：，且，
则
，
因为，所以，，，
所以，即，
故函数在区间为减函数；
同理可证，函数在区间为减函数；
所以函数在区间和均为减函数．
20. 已知，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将已知条件两边平方，求得的值，进而求得的值.
（2）先求得的值，然后利用，结合两角差的余弦公式，求得的值.
【详解】（1）将两边同时平方，得，则，
又，所以.
（2）由（1）知，，
因为，，所以.
又因为所以
所以
，
【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．
21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S最小，并求出该最小值？
【答案】长为米，宽为米；平方米.
【解析】
【分析】
先设泳池的长为米，宽为米，列出式子，再利用基本不等式即可求解.
【详解】解：设游泳池的长为米，宽为米，则场地长为米，宽为米，
，
，
当且仅当“”时取等号．
当时，取得最小值为平方米，此时场地长为米，宽为米.
22. 已知函数．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；
（2）求图象的对称轴与单调递增区间；
（3）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）对称轴方程为，递增区间为；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由，计算出的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数在上的图象；
（2）解方程可得出函数的对称轴方程，解不等式可得函数的单调递增区间；
（3）利用（1）中的图象结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，当时，，
列表如下：
0 1
1 2 0
0 1
作图如下：
（2）因为，令，解得，
令，解得，
所以对称轴方程为，递增区间为；
（3），，
又，由（1）的图象可知，，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：函数的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法：
（1）五点法：用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取、、、、来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
（2）三角函数图象进行平移变换时注意提取的系数，进行周期变换时，需要将的系数变为原来的倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
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