人教版八年级数学下册：17.1.1 勾股定理 课件（26张ppt）

八年级下册
勾股定理
学习目标
1、了解勾股定理的发现过程；
2、掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.
1.正方形的面积是4,则它的对角线长是　(　 　)
A.2 B. C. D.4
2.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长(　 　)
A.5 B.6
C.8 D.10
3.已知:如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3cm,BO=4cm,
将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1
与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D=______cm.　
C
C
1.5
预习检测
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地
面反映直角三角形三边的
某种数量关系，同学们，
我们也来观察下面的图案，
看看你能发现什么？
课堂导入
A、B、C的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
探究点一
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　
弦
勾
课堂探究
问题1：正方形A中含有____个小方格，即A的面积
是____个单位面积.
正方形B中含有____个小方格，即B的面积是___个单位面积.
正方形C中含有____个小方格，即C的面积是___个单位面积.
(2)在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？______________________________________________________________________.
(3)你能发现图1-1三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？图1-2中的呢？__________________________.
9
9
9
9
18
18
正方形A、B、C分别含有4个、4个、8个小方格；面积各是4、4、8
SA+SB=SC
问题2：(1)观察图1-3、图1-4，并填写下表（每个小方格的面积为1）：


(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？________________________
16
9
25
4
9
13
SA+SB=SC
这样就通过推理证实了命题1的正确性，经过证明被确认的命题叫做定理，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理.
如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 在西方又称毕达哥拉斯定理.
a? + b? = c?
┏
a2+b2=c2
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
股
弦
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝ a ，则a2＋b2＝c2.
探究点二
问题1：由上面的几个例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a、b，
斜边长为c，那么a?+b?=c?.
这个命题的证明方法：（1）如图
(2)赵爽利用弦图证明。
显然4个 的面积＋ 的面积＝该图案的面积.
即4×12× ＋( b-a ) ?＝c?,化简后得到 .
?
直角三角形
中间小正方形
ab
a? + b? = c?
课堂探究
问题2：⑴.一个直角三角形，两直角边长分别是3和4，则斜边的长是 ;
⑵.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a.b.c是△ABC的三边，则（用字母表示）
①c= .（已知a.b，求c）
②a= .（已知b.c，求a）
③b= .（已知a.c，求b）
⑶ 如下图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是______________cm?。
5
49
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
解：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得????=????2+????2=62+62=62.
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得????=????2?????2=32?22=5.
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝5.
?
例题解析
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，
即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；
二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2 （假设c是斜边）；
三化简．
方法总结
1、 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
2、在△ABC中，AB＝10，AC＝2 10?，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(　　)
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
?
C
C
试一试
3、如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于__________cm.　
解：因为∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,
所以由勾股定理可得,AB=10cm.
又因为将纸片折叠:点A与点B重合,
所以∠ADE=90°,AD=5cm.
连接BE.设AE=x,
则CE=8-x,BE=x,
所以(8-x) ?+6?=x?,解得x= .
在Rt△BDE中,BE= cm,BD=5cm,
所以DE= (cm).
答案:
4、如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′=________.
解：根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=3,
设BE=EB′=x,则EC=4-x,
∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得,AC= =5,
∴B′C=5-3=2,在Rt△B′EC中,由勾股定理得,x?+2?=(4-x) ?,解得x=1.5.
答案:1.5
5、设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
解：(1)????=????2?????2=102?62=8;
(2)????=????2+????2=52+122=13.
(3)????=????2?????2=252?152=20.
?
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,
若AC=6,BC=8,则CD等于(　 　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4.8
2.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC
折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的
长为________.
3.这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时
给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2,
其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,
△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为__________.
4

D
10
随堂检测
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为　(　 　)
A.225 B.200
C.250 D.150
5.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,
所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分
别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是__________.

A
10
6.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2 EF,则正方形ABCD的面积为　(　 　)

A.12S B.10S
C.9S D.8S
C
7.在△ABC中,已知BD和CE分别是边AC,AB上的中线,且BD⊥CE,垂足为O,若OD=2cm,
OE=4cm, 则线段AO的长度为为多少cm？
解：如图,连接AO,作OF⊥AB于点F,
∵BD,CE是△ABC的中线,
∴OB=2OD=4,
∵OE=4,BD⊥CE,
∴△BOE是等腰直角三角形,
∴AE=BE=4 ,
∴OF=EF=2 ,AF=6 ,
∴AO=
线段AO的长度为为4 cm
1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；?
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a?+b?＝c?
2.勾股定理的证明?
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法?
用拼图的方法验证勾股定理的思路是:?
图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;
课堂小结
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
再见