人教版八年级数学下册18.1 平行四边形 教案（4课时）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册18.1 平行四边形 教案（4课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 375.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-21 13:14:14 | ||
图片预览
文档简介
第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边角性质
教学目标
【知识与技能】
1．理解平行四边形定义，能够依据定义探究平行四边形的性质．
2．掌握平行四边形的对角相等，对边相等性质，能用它们解决简单的实际问题．
3．掌握两条平行线间的距离的含义．
【过程与方法】
经历探索平行四边形的性质及运用性质解决简单的实际问题的过程，培养学生的推理和演绎能力，发展学生的抽象思维和形象思维．
【情感态度】
在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情．
【教学重点】
平行四边形的对应角相等，对应边相等的性质的探究和应用．
【教学难点】
两条平行线间的距离的含义．
教学过程
一、情境导入，初步认识
现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物、铺满地面的地板、别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影，其中平行四边形与我们的生活关系更为密切，你能举出一些日常生活中的平行四边形的例子吗？
【教学说明】
学生相互交流，通过日常生活中的平行四边形实例感受平行四边形的含义，初步体验平行四边形的特征．
二、思考探究，获取新知
平行四边形的概念平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，通常用“?”表示，如“平行四边形ABCD”可记作“?ABCD”．
思考如图所示的?ABCD中，除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间有什么关系？你能说明原因吗？
【教学说明】
教师提出问题后，学生独立思考并相互交流．教师关注学生的交流活动，针对学生思考结果的实际情况，开展师生互动，如教师提问、学生自主交流或学生向教师提出质疑等，让学生能感受到要想获得观察和猜想中结论“平行四边形的对角相等”、“平行四边形的对边相等”时，需通过添加辅助线获得全等三角形来达到目的，从而理解并掌握平行四边形的这些性质．在引导学生连接对角线AC(或BD)后，让学生自己完成证明，达到获取知识的目的，教师也可引导学生在论证“两组对角分别相等”时，还可利用平行四边形的平行线性质得到结论．
平行四边形的性质
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等．
【探究】如图，a，b是两条平行线，从直线a上任一点A向直线b作垂线，垂足为B，再过a上另一点C作CD⊥b于D，你能发现AB与CD的关系吗？
【教学说明】
学生相互交流，教师关注学生对问题的探讨过程，让学生获得平行线间的距离的感性认识，最后教师予以解释、归纳和总结，得出结论，两条平行线间的距离：过一条平行线上任一点作另一条平行线的垂线，这点和垂足之间的线段的长度叫做两条平行线间的距离．
三、典例精析，掌握新知
【例1】如图，小明用一根长为36 m的绳子围成了一个平行四边形场地，其中AB边长为8 m，其他三边的长各是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC.∵AB＝8 m，∴CD＝8 m．又AB＋BC＋CD＋DA＝36 m，∴AD＝BC＝10 m．即其他三边长分别为10 m，8 m，10 m.
【例2】如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F.求证：BE∥DF.
【分析】要证明BE∥DF，依据图形特征，需得到同位角∠BEA＝∠FDA或∠EBF＝∠DFC.这时联想到平行四边形的性质有∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，再借助角平分线定义可得到结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC.∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠ABC.又DF平分∠ADC，∴∠3＝∠ADC，∴∠2＝∠3.∵AD∥BC，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3，∴BE∥DF.
【教学说明】
上述两例均可让学生自己独立完成，最后教师再展示解答过程．
四、运用新知，深化理解
1．一个平行四边形的一个内角是58°，这个平行四边形的每个内角的度数是多少？为什么？
解：由于平行四边形的两组对边分别平行，故它的邻角互补，所以它的每个内角分别为122°，58°，122°，58°.
2．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF＝60°，BE＝2 cm，DF＝3 cm，试求?ABCD的周长．
解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，∴∠C＝360°－90°－90°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝180°－120°＝60°.∴∠BAE＝∠DAF＝90°－60°＝30°.在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，BE＝2 cm，∴AB＝2BE＝4 cm.同理：AD＝2DF＝6 cm.故?ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2×(4＋6)＝20 cm.
【教学说明】
第1题可由学生独立完成，而第2题教师应给予适当点拨，先求∠C＝120°，从而∠B＝∠D＝60°.易有∠BAE＝∠DAF＝30°，从而AB＝2BE＝4 cm，AD＝2DF＝6 cm，从而可得结论．
五、师生互动，课堂小结
1．在探索平行四边形性质的过程中，你有哪些认识？
2．在运用平行四边形的性质解题时，应注意哪些问题？
课后作业
1．布置作业：从教材“习题18.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课时中，课本的设计意图是利用图形平移和旋转的特征来得出平行四边形的性质．因此教学时应先列出日常生活中所用到的一些物体，体会平行四边形在日常生活中的广泛应用，进而给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质．因为本章课标明确要求学生能够严格说理过程，所以教师在得出平行四边形性质的同时要加上几何语言的描述，在练习中也要注意规范学生的说理过程．
第2课时 平行四边形的对角线性质
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，并能用它来解决问题．
【过程与方法】
通过活动探究获得平行四边形的对角线互相平分的性质过程中，增强学生的合作交流意识和探究精神，培养分析问题，解决问题的能力．
【情感态度】
在问题解决过程中让学生体验成功的快乐，激发学习数学的兴趣．
【教学重点】
平行四边形的对角线互相平分这一性质的探究与应用．
【教学难点】
综合运用平形四边形性质解决问题．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【探究】如图，在纸上画?ABCD，将它剪下，再在一张纸上沿?ABCD的边缘画一个与?ABCD相同的?EFGH.在它们的中心(两条对角线的交点)钉一个图钉，将?ABCD绕点O旋转180°后，它能与?EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的?ABCD的边、角关系吗？进一步地，你能发现OA与OC，OB与OD的关系吗？
【教学说明】
教学时，教师应给出适当的时间让学生能够完成操作实践，并通过观察思考获得结论，一方面巩固上节课学过的两个性质，另一方面又为本节探讨平行四边形对角线互相平分的性质作铺垫，引入新课．
二、思考探究，获取新知
通过?ABCD绕点O旋转180°后与?EFGH重合，易发现OA＝OC，OB＝OD这一结论，于是有：平行四边形的对角线互相平分，即在?ABCD中，AC、BD相交于O，则有OA＝OC，OB＝OD.
思考 请观察下边的图形(在?ABCD中，AC、BD相交于O)，你能证明上述结论吗？
【教学说明】
教师可引导学生利用三角形全等来得到上述结论，让学生自主完成证明过程．
三、典例精析，掌握新知
【例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长及?ABCD的面积．
【分析】由平行四边形的对边相等易知BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，再在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AC＝6，由平行四边形的对角线互相平分知OA＝OC＝12AC＝3，从而易得?ABCD的面积为BC×AC＝6×8＝48.
【教学说明】
教师给出本题后，应让学生先独立完成试试，然后教师给出评讲，让学生在成功或挫折中加深对知识的领悟．
【例2】如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的一直线交AD于E，交BC于F.
求证：OE＝OF.
【分析】由平行四边形的性质有OA＝OC，又AD∥BC，故∠EAO＝∠FCO，又由∠AOE＝∠COF易知△AOE≌△COF，从而OE＝OF.
【教学说明】
本例仍可先让学生自己独立完成，然后相互交流，教师巡视，对有困难同学及时予以指导．
四、运用新知，深化理解
1．如图，在?ABCD中，BC＝10 cm，AC＝8 cm，BD＝14 cm，△AOD的周长是多少？为什么？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
解：在?ABCD中，AC＝8 cm，BD＝14 cm.∴AO＝AC＝4 cm，DO＝BD＝7 cm.∴△AOD的周长是AO＋OD＋AD＝4＋7＋10＝21 cm.又∵△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋8＋10＝AB＋18，△DBC的周长为BD＋CD＋BC＝14＋AB＋10＝24＋AB.∴△DBC的周长比△ABC的周长长，长(24＋AB)－(18＋AB)＝6 cm.
2．如图，?ABCD的周长为50 cm，对角线AC、BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长7 cm，求?ABCD的各边长．
解：∵?ABCD的周长为50 cm，
∴2(AB＋BC)＝50 cm，即AB＋BC＝25 cm ①，由平行四边形的性质得：AO＝CO，故C△AOB－C△BOC＝(AB＋AO＋BO)－(BO＋CO＋BC)＝AB－BC＝7 cm ②，联系①②解得：AB＝16 cm，BC＝9 cm.即?ABCD的边长分别为16 cm，9 cm，16 cm，9 cm.
3．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB＝4，AD＝8，求对角线AC的范围；
(2)若AB＝4，BD＝10，求对角线AC的范围．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，在△ABC中，BC－AB＜AC＜BC＋AB，∴8－4＜AC＜8＋4，即4＜AC＜12.
(2)∵BO＝12BD＝5，∴BO－AB＜OA＜BO＋AB，∴5－4＜OA＜5＋4，∴1＜OA＜9，∴2＜AC＜18.
4．如图，王大爷有一块平行四边形菜地，现在想把它分成面积相等的两块，两块地中间挖一条与一组对边AD、BC都垂直的水沟，你能帮助他完成这个分法吗？
解：(1)连接AC、BD交于点O；
(2)过点O作OE⊥AD于点E，延长EO交BC于点F，则EF即为水沟的位置．
【教学说明】
通过上述四道题的探究，可进一步增强学生对平行四边形性质的认识，积累解题经验，锻炼分析问题，解决问题的能力．
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你又有哪些收获？与同伴交流．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题18.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课的教学是在前一课时的基础上对平行四边形对角线的性质进行探索．本课时教学时，应关注以下几个方面：
(1)新课讲解过程中，要让学生通过观察、拼一拼、折一折、量一量等方法去探究，去亲身感受知识的形成和发展过程．
(2)在练习的过程中要注意方法指导和“转化”思想的渗透．比如：当学生利用连接对角线方法来解决实际问题后，老师应该强调，我们在解决四边形问题时常用的方法是将其“转化”成三角形问题．
(3)对于学生的练习情况要多用多媒体来展示，使说和写有利地结合起来，培养学生的论证推理能力．
18．1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
教学目标
【知识与技能】
掌握平行四边形的判定方法1，2，3，能用它们来证明一个四边形是否是平行四边形．
【过程与方法】
在观察、实验、猜想、验证、推理、交流等活动过程中，让学生感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性，发展学生的动手操作能力，推理能力及数学应用意识．
【情感态度】
在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探索、质疑和独立思考的习惯，发展学生的实践能力和创新意识．
【教学重点】
平行四边形的判定方法1，2，3.
【教学难点】
平行四边形判定方法的探寻过程．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题】(1)平行四边形的定义是怎样的？
(2)平行四边形有哪些重要性质？
(3)反过来，如果一个四边形的对边平行、对边相等、对角相等或对角线互相平分，这个四边形能是平行四边形吗？
【教学说明】
教师展示问题(1)、(2)，让学生对前面所学的知识进行系统回顾，并展示问题(3)，引入新课．
二、思考探究，获取新知
【观察思考】如图(1)，将两长两短的四根木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边．转动这个四边形，使它形状改变，在图形的变化过程中，这个四边形一直是平行四边形吗？如图(2)，将两根细木条AC、BD的中点用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的端点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，则图中的四边形ABCD一直是平行四边形吗？
【教学说明】
教师展示事先制作好的实物模型，让学生观察思考，在感性上认识具有两组对边分别相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形，然后提出请学生尝试着证明这些结论．教师巡视，引导学生通过连接对角线，先证明三角形全等，从而得到两对边平行，来论证两组对边分别相等的四边形是平行四边形，同样地可论证对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【探究】求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】本例应关注两个方面，一是引导学生回顾证明一个命题的一般步骤，即依题意画出合适的图形，标注字母后，写出已知、求证，再进行证明；二是让学生自主探究，选择恰当的方法来证明这个命题．由两组对角分别相等及四边形内角和为360°容易得到四组同旁内角互补，从而可利用平行四边形定义来证明更方便些．
【教学说明】
本例的解答过程由学生自己完成，教师巡视指导；关注学生的解题格式和论证思路．
平行四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
三、典例精析，掌握新知
【例】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】若连BD交AC于O，由?ABCD的性质易知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，从而OE＝OF，故四边形BEDF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．事实上，还可以分别证明△ADE≌△CBF，△ABE≌△CDF，得DE＝BF，BE＝DF，也能证明四边形DEBF是平行四边形；也可以证明∠BEF＝∠DFE，∠DEF＝∠BFE，得BE∥DF，DE∥BF，利用平行四边形定义证明四边形BEDF是平行四边形．同样也可以通过三角形全等，推出两组对角相等，进而得出四边形BEDF是平行四边形．
【教学说明】
在教师与学生一道分析后，证明过程由学生自己独立完成，同时可选取四名同学上黑板按四种不同方法给出证明过程，一方面加深学生对平行四边形判定方法的理解，另外通过一题多解也能开拓学生思维，增强分析问题、解决问题的能力．也可将全班同学分成四个小组分别用四种不同方法来试试，教师巡视，对有困难同学应及时予以指导．
四、运用新知，深化理解
1．已知，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝55°，则当∠B＝__125°__时，四边形是平行四边形．
2．如图，已知四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4.BE∥DF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵BE∥DF，∴∠3＝∠EBF，又∠3＝∠4，∴∠4＝∠EBF，∴DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴DE＝BF，BE＝DF.在△ABE和△CDF中，∠1＝∠2，DF＝BE，∠3＝∠4，∴△ABE≌△CDF.∴AB＝CD，AE＝CF.∴AE＋DE＝CF＋BF，即AD＝BC, ∴四边形ABCD是平行四边形．
3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在△ABO和△CDO中，∵∠ABO＝∠CDO，BO＝DO，∠AOB＝∠COD，∴△ABO≌△CDO，∴AO＝CO，又∵BO＝DO, ∴四边形ABCD是平行四边形．
【教学说明】
由学生独立完成，然后相互交流，进一步掌握用“两组对边分别相等”，“两组对角分别相等”，“对角线互相平分”的方法判定四边形是平行四边形，教师巡视指导．
五、师生互动，课堂小结
谈谈这节课学习的体会和收获，学生相互交流，各抒己见，最后教师进行总结归纳．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题18.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课时是有关于平行四边形的前三种判定方法，教师教学时应采用师生共同探究的方法来得出结论．另外，教师最好要求学生将每种判定的数学语言和符号语言都按格式书写出来，这样有利于学生数学习惯的培养．
第2课时 平行四边形的判定(2)
教学目标
【知识与技能】
1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．
2．理解三角形中位线定理．
3．能灵活运用平行四边形的判定定理解决问题．
【过程与方法】
在“活动操作——观察思考——推理论证”等活动过程中，进一步锻炼学生的分析能力和解决问题能力．
【情感态度】
在操作活动和观察、分析过程中培养学生主动探索、质疑和独立思考的习惯．
【教学重点】
平行四边形的判定定理及三角形中位线定理．
【教学难点】
平行四边形判定定理的灵活运用．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题】前面我们通过用细木棒绞在一起的方式感受到“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”及“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这些重要结论，那么，按如图方式，将两根等长的木条AB、CD平行放置，再用两根木条AD、BC加固，得到的四边形ABCD也能是平行四边形吗？如果是平行四边形，你能说明理由吗？
【教学说明】
承接上节课的数学思考，通过观察教师展示的实物模型，让学生再次感受平行四边形是现实生活中的重要模型，从而激发学生的学习兴趣，增强求知欲望，导入新课．
二、思考探究，获取新知
试一试
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．
【教学说明】
教师提出问题后，帮助学生分析题设条件和需解决的问题是什么，如何利用现有条件通过添加辅助线达到论证结论的目的，从而完成证明．证明过程由学生完成．
【归纳结论】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
想一想
(1)你能用几种方法证明“试一试”的问题？不妨试试看，并与同伴交流．
(2)说说看，要判定一个四边形是平行四边形，你有哪些方法？
【教学说明】
通过想一想，即可巩固前面所学过的三个判定定理，又能系统地完成对知识的领悟，并可让学生灵活选用不同方法来解决问题，增强分析问题、解决问题的能力．
练一练
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE.求证：DE∥BC，且DE＝BC.
【分析】(1)可延长DE至F，使DE＝EF，连接CF，CD，AF.由于E为AC中点，从而易知四边形ADCF是平行四边形，有CF∥AD，CF＝AD.又D为AB中点，故CF綊BD，又有四边形BCFD是平行四边形，故DE∥BC，DE＝DF＝BC，得到结论；
(2)过C作CF∥AB交DE延长线于F，∴易证△ADE≌△CFE，∴CF＝AD，DE＝EF.又D为AB中点，∴AD＝BD，∴CF綊BD，故四边形BCFD是平行四边形，也能得到结论．
【教学说明】
教师分析后，让学生自己完成证明过程．一方面可加深对平行四边形判定定理的理解，另一方面可锻炼学生的语言表述能力．教师巡视，关注学生完成情况，对有困难的同学给予帮助．通过上述思考，你能发现其中的规律性特征吗？
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
三、运用新知，深化理解
1．如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点，求证：EF∥BC.
证明：∵DC＝AC，且CE⊥AD于点E，∴AE＝ED.又∵点F是AB的中点，∴AF＝FB，∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥BC.
2．如图，在?ABCD的一组对边AD、BC上截取EF＝MN，连接EM，FN.EM与FN有什么关系？为什么？
解：EM＝NF，理由如下：在?ABCD中，AD∥BC，又∵EF＝MN，∴四边形EMNF是平行四边形，∴EM＝NF.
3．O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
(1)如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当点O在△ABC外时，(1)的结论是否成立？画出图形并说明理由．
证明：(1)∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G，∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线，∴DG∥BC，EF∥BC，DG＝12BC，EF＝12BC，∴DG∥EF且DG＝EF，∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)如图所示，O在△ABC外，∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G，∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线，∴DG∥BC，EF∥BC，DG＝BC，EF＝BC，∴DG∥EF且DG＝EF，∴四边形DEFG是平行四边形．
4．如图，E、F是四边形ABCD对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.在△ADF和△CBE中，DF＝BE，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE，∴△ADF≌△CBE，∴AD＝BC，∠DAF＝∠BCE.∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
【教学说明】
让学生自主探究，独立完成，然后相互交流，探寻结论．教师巡视，发现问题及时予以点拨．
四、师生互动，课堂小结
1．平行四边形的判定方法有哪些？如果从边看，可用哪几种方法判定四边形是平行四边形？从角看可用哪种方法论证四边形是平行四边形？从对角线上看呢？
2．平行四边形知识的运用有哪些？
课后作业
1．布置作业：从教材“习题18.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
这一课时也是有关平行四边形的判定的内容，教师教学时可沿用上一课时的做法．通过这两节课的学习，学生一般会基本掌握学习几何证明题的方式和方法，基本能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题．在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，即要让学生学会反思做完的每一道题．
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边角性质
教学目标
【知识与技能】
1．理解平行四边形定义，能够依据定义探究平行四边形的性质．
2．掌握平行四边形的对角相等，对边相等性质，能用它们解决简单的实际问题．
3．掌握两条平行线间的距离的含义．
【过程与方法】
经历探索平行四边形的性质及运用性质解决简单的实际问题的过程，培养学生的推理和演绎能力，发展学生的抽象思维和形象思维．
【情感态度】
在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获得成功的乐趣，激发学习热情．
【教学重点】
平行四边形的对应角相等，对应边相等的性质的探究和应用．
【教学难点】
两条平行线间的距离的含义．
教学过程
一、情境导入，初步认识
现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物、铺满地面的地板、别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影，其中平行四边形与我们的生活关系更为密切，你能举出一些日常生活中的平行四边形的例子吗？
【教学说明】
学生相互交流，通过日常生活中的平行四边形实例感受平行四边形的含义，初步体验平行四边形的特征．
二、思考探究，获取新知
平行四边形的概念平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，通常用“?”表示，如“平行四边形ABCD”可记作“?ABCD”．
思考如图所示的?ABCD中，除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间有什么关系？你能说明原因吗？
【教学说明】
教师提出问题后，学生独立思考并相互交流．教师关注学生的交流活动，针对学生思考结果的实际情况，开展师生互动，如教师提问、学生自主交流或学生向教师提出质疑等，让学生能感受到要想获得观察和猜想中结论“平行四边形的对角相等”、“平行四边形的对边相等”时，需通过添加辅助线获得全等三角形来达到目的，从而理解并掌握平行四边形的这些性质．在引导学生连接对角线AC(或BD)后，让学生自己完成证明，达到获取知识的目的，教师也可引导学生在论证“两组对角分别相等”时，还可利用平行四边形的平行线性质得到结论．
平行四边形的性质
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等．
【探究】如图，a，b是两条平行线，从直线a上任一点A向直线b作垂线，垂足为B，再过a上另一点C作CD⊥b于D，你能发现AB与CD的关系吗？
【教学说明】
学生相互交流，教师关注学生对问题的探讨过程，让学生获得平行线间的距离的感性认识，最后教师予以解释、归纳和总结，得出结论，两条平行线间的距离：过一条平行线上任一点作另一条平行线的垂线，这点和垂足之间的线段的长度叫做两条平行线间的距离．
三、典例精析，掌握新知
【例1】如图，小明用一根长为36 m的绳子围成了一个平行四边形场地，其中AB边长为8 m，其他三边的长各是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC.∵AB＝8 m，∴CD＝8 m．又AB＋BC＋CD＋DA＝36 m，∴AD＝BC＝10 m．即其他三边长分别为10 m，8 m，10 m.
【例2】如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F.求证：BE∥DF.
【分析】要证明BE∥DF，依据图形特征，需得到同位角∠BEA＝∠FDA或∠EBF＝∠DFC.这时联想到平行四边形的性质有∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，再借助角平分线定义可得到结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC.∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠ABC.又DF平分∠ADC，∴∠3＝∠ADC，∴∠2＝∠3.∵AD∥BC，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3，∴BE∥DF.
【教学说明】
上述两例均可让学生自己独立完成，最后教师再展示解答过程．
四、运用新知，深化理解
1．一个平行四边形的一个内角是58°，这个平行四边形的每个内角的度数是多少？为什么？
解：由于平行四边形的两组对边分别平行，故它的邻角互补，所以它的每个内角分别为122°，58°，122°，58°.
2．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF＝60°，BE＝2 cm，DF＝3 cm，试求?ABCD的周长．
解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，∴∠C＝360°－90°－90°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝180°－120°＝60°.∴∠BAE＝∠DAF＝90°－60°＝30°.在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，BE＝2 cm，∴AB＝2BE＝4 cm.同理：AD＝2DF＝6 cm.故?ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2×(4＋6)＝20 cm.
【教学说明】
第1题可由学生独立完成，而第2题教师应给予适当点拨，先求∠C＝120°，从而∠B＝∠D＝60°.易有∠BAE＝∠DAF＝30°，从而AB＝2BE＝4 cm，AD＝2DF＝6 cm，从而可得结论．
五、师生互动，课堂小结
1．在探索平行四边形性质的过程中，你有哪些认识？
2．在运用平行四边形的性质解题时，应注意哪些问题？
课后作业
1．布置作业：从教材“习题18.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课时中，课本的设计意图是利用图形平移和旋转的特征来得出平行四边形的性质．因此教学时应先列出日常生活中所用到的一些物体，体会平行四边形在日常生活中的广泛应用，进而给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质．因为本章课标明确要求学生能够严格说理过程，所以教师在得出平行四边形性质的同时要加上几何语言的描述，在练习中也要注意规范学生的说理过程．
第2课时 平行四边形的对角线性质
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，并能用它来解决问题．
【过程与方法】
通过活动探究获得平行四边形的对角线互相平分的性质过程中，增强学生的合作交流意识和探究精神，培养分析问题，解决问题的能力．
【情感态度】
在问题解决过程中让学生体验成功的快乐，激发学习数学的兴趣．
【教学重点】
平行四边形的对角线互相平分这一性质的探究与应用．
【教学难点】
综合运用平形四边形性质解决问题．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【探究】如图，在纸上画?ABCD，将它剪下，再在一张纸上沿?ABCD的边缘画一个与?ABCD相同的?EFGH.在它们的中心(两条对角线的交点)钉一个图钉，将?ABCD绕点O旋转180°后，它能与?EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的?ABCD的边、角关系吗？进一步地，你能发现OA与OC，OB与OD的关系吗？
【教学说明】
教学时，教师应给出适当的时间让学生能够完成操作实践，并通过观察思考获得结论，一方面巩固上节课学过的两个性质，另一方面又为本节探讨平行四边形对角线互相平分的性质作铺垫，引入新课．
二、思考探究，获取新知
通过?ABCD绕点O旋转180°后与?EFGH重合，易发现OA＝OC，OB＝OD这一结论，于是有：平行四边形的对角线互相平分，即在?ABCD中，AC、BD相交于O，则有OA＝OC，OB＝OD.
思考 请观察下边的图形(在?ABCD中，AC、BD相交于O)，你能证明上述结论吗？
【教学说明】
教师可引导学生利用三角形全等来得到上述结论，让学生自主完成证明过程．
三、典例精析，掌握新知
【例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长及?ABCD的面积．
【分析】由平行四边形的对边相等易知BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，再在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AC＝6，由平行四边形的对角线互相平分知OA＝OC＝12AC＝3，从而易得?ABCD的面积为BC×AC＝6×8＝48.
【教学说明】
教师给出本题后，应让学生先独立完成试试，然后教师给出评讲，让学生在成功或挫折中加深对知识的领悟．
【例2】如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的一直线交AD于E，交BC于F.
求证：OE＝OF.
【分析】由平行四边形的性质有OA＝OC，又AD∥BC，故∠EAO＝∠FCO，又由∠AOE＝∠COF易知△AOE≌△COF，从而OE＝OF.
【教学说明】
本例仍可先让学生自己独立完成，然后相互交流，教师巡视，对有困难同学及时予以指导．
四、运用新知，深化理解
1．如图，在?ABCD中，BC＝10 cm，AC＝8 cm，BD＝14 cm，△AOD的周长是多少？为什么？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
解：在?ABCD中，AC＝8 cm，BD＝14 cm.∴AO＝AC＝4 cm，DO＝BD＝7 cm.∴△AOD的周长是AO＋OD＋AD＝4＋7＋10＝21 cm.又∵△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋8＋10＝AB＋18，△DBC的周长为BD＋CD＋BC＝14＋AB＋10＝24＋AB.∴△DBC的周长比△ABC的周长长，长(24＋AB)－(18＋AB)＝6 cm.
2．如图，?ABCD的周长为50 cm，对角线AC、BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长7 cm，求?ABCD的各边长．
解：∵?ABCD的周长为50 cm，
∴2(AB＋BC)＝50 cm，即AB＋BC＝25 cm ①，由平行四边形的性质得：AO＝CO，故C△AOB－C△BOC＝(AB＋AO＋BO)－(BO＋CO＋BC)＝AB－BC＝7 cm ②，联系①②解得：AB＝16 cm，BC＝9 cm.即?ABCD的边长分别为16 cm，9 cm，16 cm，9 cm.
3．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB＝4，AD＝8，求对角线AC的范围；
(2)若AB＝4，BD＝10，求对角线AC的范围．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，在△ABC中，BC－AB＜AC＜BC＋AB，∴8－4＜AC＜8＋4，即4＜AC＜12.
(2)∵BO＝12BD＝5，∴BO－AB＜OA＜BO＋AB，∴5－4＜OA＜5＋4，∴1＜OA＜9，∴2＜AC＜18.
4．如图，王大爷有一块平行四边形菜地，现在想把它分成面积相等的两块，两块地中间挖一条与一组对边AD、BC都垂直的水沟，你能帮助他完成这个分法吗？
解：(1)连接AC、BD交于点O；
(2)过点O作OE⊥AD于点E，延长EO交BC于点F，则EF即为水沟的位置．
【教学说明】
通过上述四道题的探究，可进一步增强学生对平行四边形性质的认识，积累解题经验，锻炼分析问题，解决问题的能力．
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你又有哪些收获？与同伴交流．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题18.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课的教学是在前一课时的基础上对平行四边形对角线的性质进行探索．本课时教学时，应关注以下几个方面：
(1)新课讲解过程中，要让学生通过观察、拼一拼、折一折、量一量等方法去探究，去亲身感受知识的形成和发展过程．
(2)在练习的过程中要注意方法指导和“转化”思想的渗透．比如：当学生利用连接对角线方法来解决实际问题后，老师应该强调，我们在解决四边形问题时常用的方法是将其“转化”成三角形问题．
(3)对于学生的练习情况要多用多媒体来展示，使说和写有利地结合起来，培养学生的论证推理能力．
18．1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
教学目标
【知识与技能】
掌握平行四边形的判定方法1，2，3，能用它们来证明一个四边形是否是平行四边形．
【过程与方法】
在观察、实验、猜想、验证、推理、交流等活动过程中，让学生感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性，发展学生的动手操作能力，推理能力及数学应用意识．
【情感态度】
在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探索、质疑和独立思考的习惯，发展学生的实践能力和创新意识．
【教学重点】
平行四边形的判定方法1，2，3.
【教学难点】
平行四边形判定方法的探寻过程．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题】(1)平行四边形的定义是怎样的？
(2)平行四边形有哪些重要性质？
(3)反过来，如果一个四边形的对边平行、对边相等、对角相等或对角线互相平分，这个四边形能是平行四边形吗？
【教学说明】
教师展示问题(1)、(2)，让学生对前面所学的知识进行系统回顾，并展示问题(3)，引入新课．
二、思考探究，获取新知
【观察思考】如图(1)，将两长两短的四根木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边．转动这个四边形，使它形状改变，在图形的变化过程中，这个四边形一直是平行四边形吗？如图(2)，将两根细木条AC、BD的中点用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的端点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，则图中的四边形ABCD一直是平行四边形吗？
【教学说明】
教师展示事先制作好的实物模型，让学生观察思考，在感性上认识具有两组对边分别相等或对角线互相平分的四边形是平行四边形，然后提出请学生尝试着证明这些结论．教师巡视，引导学生通过连接对角线，先证明三角形全等，从而得到两对边平行，来论证两组对边分别相等的四边形是平行四边形，同样地可论证对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【探究】求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】本例应关注两个方面，一是引导学生回顾证明一个命题的一般步骤，即依题意画出合适的图形，标注字母后，写出已知、求证，再进行证明；二是让学生自主探究，选择恰当的方法来证明这个命题．由两组对角分别相等及四边形内角和为360°容易得到四组同旁内角互补，从而可利用平行四边形定义来证明更方便些．
【教学说明】
本例的解答过程由学生自己完成，教师巡视指导；关注学生的解题格式和论证思路．
平行四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
三、典例精析，掌握新知
【例】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】若连BD交AC于O，由?ABCD的性质易知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，从而OE＝OF，故四边形BEDF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．事实上，还可以分别证明△ADE≌△CBF，△ABE≌△CDF，得DE＝BF，BE＝DF，也能证明四边形DEBF是平行四边形；也可以证明∠BEF＝∠DFE，∠DEF＝∠BFE，得BE∥DF，DE∥BF，利用平行四边形定义证明四边形BEDF是平行四边形．同样也可以通过三角形全等，推出两组对角相等，进而得出四边形BEDF是平行四边形．
【教学说明】
在教师与学生一道分析后，证明过程由学生自己独立完成，同时可选取四名同学上黑板按四种不同方法给出证明过程，一方面加深学生对平行四边形判定方法的理解，另外通过一题多解也能开拓学生思维，增强分析问题、解决问题的能力．也可将全班同学分成四个小组分别用四种不同方法来试试，教师巡视，对有困难同学应及时予以指导．
四、运用新知，深化理解
1．已知，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝55°，则当∠B＝__125°__时，四边形是平行四边形．
2．如图，已知四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4.BE∥DF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵BE∥DF，∴∠3＝∠EBF，又∠3＝∠4，∴∠4＝∠EBF，∴DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴DE＝BF，BE＝DF.在△ABE和△CDF中，∠1＝∠2，DF＝BE，∠3＝∠4，∴△ABE≌△CDF.∴AB＝CD，AE＝CF.∴AE＋DE＝CF＋BF，即AD＝BC, ∴四边形ABCD是平行四边形．
3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在△ABO和△CDO中，∵∠ABO＝∠CDO，BO＝DO，∠AOB＝∠COD，∴△ABO≌△CDO，∴AO＝CO，又∵BO＝DO, ∴四边形ABCD是平行四边形．
【教学说明】
由学生独立完成，然后相互交流，进一步掌握用“两组对边分别相等”，“两组对角分别相等”，“对角线互相平分”的方法判定四边形是平行四边形，教师巡视指导．
五、师生互动，课堂小结
谈谈这节课学习的体会和收获，学生相互交流，各抒己见，最后教师进行总结归纳．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题18.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课时是有关于平行四边形的前三种判定方法，教师教学时应采用师生共同探究的方法来得出结论．另外，教师最好要求学生将每种判定的数学语言和符号语言都按格式书写出来，这样有利于学生数学习惯的培养．
第2课时 平行四边形的判定(2)
教学目标
【知识与技能】
1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．
2．理解三角形中位线定理．
3．能灵活运用平行四边形的判定定理解决问题．
【过程与方法】
在“活动操作——观察思考——推理论证”等活动过程中，进一步锻炼学生的分析能力和解决问题能力．
【情感态度】
在操作活动和观察、分析过程中培养学生主动探索、质疑和独立思考的习惯．
【教学重点】
平行四边形的判定定理及三角形中位线定理．
【教学难点】
平行四边形判定定理的灵活运用．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题】前面我们通过用细木棒绞在一起的方式感受到“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”及“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这些重要结论，那么，按如图方式，将两根等长的木条AB、CD平行放置，再用两根木条AD、BC加固，得到的四边形ABCD也能是平行四边形吗？如果是平行四边形，你能说明理由吗？
【教学说明】
承接上节课的数学思考，通过观察教师展示的实物模型，让学生再次感受平行四边形是现实生活中的重要模型，从而激发学生的学习兴趣，增强求知欲望，导入新课．
二、思考探究，获取新知
试一试
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．
【教学说明】
教师提出问题后，帮助学生分析题设条件和需解决的问题是什么，如何利用现有条件通过添加辅助线达到论证结论的目的，从而完成证明．证明过程由学生完成．
【归纳结论】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
想一想
(1)你能用几种方法证明“试一试”的问题？不妨试试看，并与同伴交流．
(2)说说看，要判定一个四边形是平行四边形，你有哪些方法？
【教学说明】
通过想一想，即可巩固前面所学过的三个判定定理，又能系统地完成对知识的领悟，并可让学生灵活选用不同方法来解决问题，增强分析问题、解决问题的能力．
练一练
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE.求证：DE∥BC，且DE＝BC.
【分析】(1)可延长DE至F，使DE＝EF，连接CF，CD，AF.由于E为AC中点，从而易知四边形ADCF是平行四边形，有CF∥AD，CF＝AD.又D为AB中点，故CF綊BD，又有四边形BCFD是平行四边形，故DE∥BC，DE＝DF＝BC，得到结论；
(2)过C作CF∥AB交DE延长线于F，∴易证△ADE≌△CFE，∴CF＝AD，DE＝EF.又D为AB中点，∴AD＝BD，∴CF綊BD，故四边形BCFD是平行四边形，也能得到结论．
【教学说明】
教师分析后，让学生自己完成证明过程．一方面可加深对平行四边形判定定理的理解，另一方面可锻炼学生的语言表述能力．教师巡视，关注学生完成情况，对有困难的同学给予帮助．通过上述思考，你能发现其中的规律性特征吗？
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
三、运用新知，深化理解
1．如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点，求证：EF∥BC.
证明：∵DC＝AC，且CE⊥AD于点E，∴AE＝ED.又∵点F是AB的中点，∴AF＝FB，∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥BC.
2．如图，在?ABCD的一组对边AD、BC上截取EF＝MN，连接EM，FN.EM与FN有什么关系？为什么？
解：EM＝NF，理由如下：在?ABCD中，AD∥BC，又∵EF＝MN，∴四边形EMNF是平行四边形，∴EM＝NF.
3．O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
(1)如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)当点O在△ABC外时，(1)的结论是否成立？画出图形并说明理由．
证明：(1)∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G，∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线，∴DG∥BC，EF∥BC，DG＝12BC，EF＝12BC，∴DG∥EF且DG＝EF，∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)如图所示，O在△ABC外，∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G，∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线，∴DG∥BC，EF∥BC，DG＝BC，EF＝BC，∴DG∥EF且DG＝EF，∴四边形DEFG是平行四边形．
4．如图，E、F是四边形ABCD对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.在△ADF和△CBE中，DF＝BE，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE，∴△ADF≌△CBE，∴AD＝BC，∠DAF＝∠BCE.∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
【教学说明】
让学生自主探究，独立完成，然后相互交流，探寻结论．教师巡视，发现问题及时予以点拨．
四、师生互动，课堂小结
1．平行四边形的判定方法有哪些？如果从边看，可用哪几种方法判定四边形是平行四边形？从角看可用哪种方法论证四边形是平行四边形？从对角线上看呢？
2．平行四边形知识的运用有哪些？
课后作业
1．布置作业：从教材“习题18.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
这一课时也是有关平行四边形的判定的内容，教师教学时可沿用上一课时的做法．通过这两节课的学习，学生一般会基本掌握学习几何证明题的方式和方法，基本能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题．在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，即要让学生学会反思做完的每一道题．