江西省吉安市遂川中学2021届高三下学期3月阶段性测试（四）数学（理）试题 Word版含答案

遂川中学2020—2021学年高中毕业班阶段性测试（四）
理科数学
考生注意：
1.答题前，考生将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，铅笔所答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false，false，则false
A.false B.false C.false D.false
2.若复数false（false）在复平面内对应的点在第三象限，且false，则false
A.2 B.false C.false D.false
3.已知非零向量false，false满足false且false，则false与false的夹角为
A.false B.false C.false D.false
4.已知false，false，false，则false，false，false的在大小关系是
A.false B.false C.false D.false
5.已知函数false（false，且false），则false是
A.偶函数，值域为false B.非奇非偶函数，值域为false
C.奇函数，值域为false D.奇函数，值域为false
6.已知等比数列false的前false项和为false，false，false.若false，则false的值为
A.4 B.5 C.6 D.不存在
7.若函数false的图象过点false，直线false各右平移false个单位长度后恰好经过false上与点false最近的零点，则false在false上的单调递增区间是
A.false B.false C.false D.false
8.已知双曲线false（false，false）的右焦点为false，直线false过false点与一条渐近线垂直，原点到false的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为
A.false B.false C.false D.false
9.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系.其具体内容如下：若false在false上满足以下条件：①在false上图象连续，②在false内导数存在，则在false内至少存在一点false，使得false（false为false的导函数）.则函数false在false上这样的false点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
10.6名在大学生响应国家号召，到西部边远地区false，false，false三个学校支教，每个党校人，根据学校需要及所学的专业，甲不能到false学校，乙、丙所学专业相同，不能安排到同一学校，则不同的安排方案有
A.24种 B.36种 C.48种 D.72种
11.已知抛物线false：false（false）的焦点为false，准线为false，false，false为抛物线上的两点（与坐标原点不重合），false于false，false于false，已知false的中点false的坐标为false，false与false的面积比为2：1，则false的值为
A.4 B.3 C.1 D.1或false
12.已知圆锥的底面圆心为false，顶点为false，侧面展开图对应扇形的圆心角为false，false，false是底面圆周上的两点，false与平面false所成角的正弦值为false，则false与false所成角的余弦值为
A.false B.false C.false D.false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图所示的圆盘的三条直长把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖（大小忽略不计），则飞镖落到阴影部分内的概率为 .
14.执行如图所示的程序框图，输出的false .
15.在平面四边形false中，已知false，false，false，false.沿对角线false折起得到四面体false，当false与平面false所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为 .
16.已知公差不为零的等差数列false的前false项和为false，且满足false，false，false成等比数列，false，数列false满足false，前false项和为false，则false .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
斜三角形false的内角false，false，false所对的边分别为false，false，false.已知false.
（Ⅰ）求角false；
（Ⅱ）若false的面积为false，周长为15，求false的值.
18.（12分）
如图，在直四棱柱false中，false是棱false的中点，false是false的中点，false，false，false，false.
（Ⅰ）证明：false平面false；
（Ⅱ）若点false在线段false上，且直线false与底面false气盛角为false，求线段false的长度.
19.（12分）
国家对电器行业生产要求低碳、环保、节能，有利于回收.冰箱的生产质量用综合质量指标值false来衡量，当false时，产品为一级品，当false时，产品为二级品，当false时，产品为三级品.某冰箱生产厂家，为满足国家要求，根据市场需求，研究开发一种新款冰箱，试生产50台，并初步测量了每台冰箱的false值，得到下面的结果：
综合质量指标值false
false
false
false
false
false
频数
5
8
12
10
15
将样本频率视为总体概率.
（Ⅰ）若从这批产品中有放回地随机抽取3伯，记“抽出的产品中恰有一件三级品”为事件false，求事件false发生的概率false.
（Ⅱ）将这产品报送主管部门进行质量检测，以取得产品生产许可证.主管部门的检测方案：先从这批产品中任取4伯，若这4件产品都是一级品，再从这批产品中任取1件检测，若为一级品，则这批产品通过检测，并颁生产许可证；若这4件产品有3件一级品，则再从这批产品中任取4件检测，若这4件产品都是一级品，则这批产品通过检测，并颁发生产许可证.其他情况下这批产品不能通过检测，且每件产品的检测相互独立.求该冰箱生产厂家取得生产许可证的概率.
（Ⅲ）若该冰箱生产厂家取得生产许可证，厂家投入生产，且已知生产一台冰箱的成本为600元，一件一级品的售价为1600元，一件二级品的售价为1400元，一件三级品的售价为200元，设一台冰箱的利润为false无，求false的分布列及数学期望.
20.（12分）
已知椭圆false：false（false）的离心率为false，椭圆的右焦点与右顶点及上顶点构成的三角形面积为false.
（Ⅰ）求椭圆false的标准方程.
（Ⅱ）已知直线false与椭圆false交于false，false两点，若点false的坐标为false，问：是否存在false，使得false？若存在，求出false的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.（12分）
已知函数false，其中false.
（Ⅰ）当false时，求false的极值点的个数；
（Ⅱ）当false时，证明：不等式false在false上恒成立.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线false的参数方程为false（其中false为参数，false为常数），以坐标原点false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false，射线false的极坐标方程为false，射线false与曲线false交于false，false两点.
（Ⅰ）写出当false时，false的极坐标方程以及曲线false的参数方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若射线false与直线false交于点false，求false的取值范围.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数false.
（Ⅰ）求不等式false的最小整数解false；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对任意false，false，若false，求false的最小值.
理科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.答案 D
命题意图 本题主要考查集合的概念，集合的运算.
解析 略
2.答案 D
命题意图 本题主要考查复数的几何意义，复数的模及复数的运算.
解析 略
3.答案 A
命题意图 本题主要考查向量的数量积，向量的夹角.
解析 设false与false的夹角为false.因为满足false，所以false.又false，所以false.又false，所以false.
4.答案 B
命题意图 本题主要考查指数，对数值的比较大小.
解析 略
5.答案 C
命题意图 本题主要考查函数的性质，指数函数的值域，指数运算.
解析 略
6.答案 B
命题意图 本题主要考查等比数列的基本运算.
解析 略
7.答案 C
命题意图 本题主要考查三角函数的图象与性质.
解析 略
false.∴falsefalsefalsefalsefalsefalsefalse
8.答案 B
命题意图 本题主要考查双曲线的渐押线、离心率几何性质.
解析 设false，不妨设一条渐近线为false，则false的方程为false，即false.原点到false的距离false，所以false，false.
9.答案 A
命题意图 本题主要考查数学文化，导数运算，利用图象研究方程根的个数.
解析 由题可知false，false，问题转化为方程false在false上有几个根.false，方程false即false，等价于false，在同一坐标系中画出函数false与false在false上的图象，交点只有一个，所以函数false在false上这样的false点的个数为1.
10.答案 C
命题意图 本题主要考查两个计数原理，排列组合的综合应用.
解析 按甲到false，false学校分类，甲到false学校：①false学校从乙、丙中选1人有false种方法，剩下4人到false，false两个学校，有false种方案，共有false种方案；②false学校从除乙、丙之外的3人中选1人，有false种方案，乙、丙到false、false学校有false种方案，余下2人到2false，false学校也有false种方案，共有false种方案.所以甲到false学校有false种方案.同理甲到false学校也有24种方案.其有48种方案.
11.答案 C
命题意图 本题主要考查抛物线的方程与性质，直线与抛物线的应用，三角形的面积计算.
解析 抛物线的焦点false，准线false的方程为false.设false，false（false），则falsefalse，false.设false与false轴的交点false，false，false.由false得false，所以false（舍去）或false.因为false，false，false，false四点共线，所以false，即false，结合false，解得false.
12.答案 A
命题意图 本题主要考查圆锥的概念与性质、侧面展开图、线线角、线面角的概念及求法.
解析 如图，设圆锥的底面半径为false，母线false，高false.由侧面展开图对应扇形的圆心角为false，得false，得false，所以false与底面所成的角为false，false，false.过点false作false直线false于点false，连接false，false.由圆锥的性质可知，false平面false，则false，所 false平面false，所以false即直线false与平面false所成的角，false，即false，false.在直角false中，false，所以false.过false作false交圆false于false，false即为false与false所成的角.连接false、false，因为false，false为等边三角形，false，在false中易得false.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案 false
命题意图 本题主要考查几何概型.
解析 由圆的几何性质可知，相对的区域的面积相等，所以飞镖落到阴影部分内的概率为false.
14.答案 17
命题意图 本题主要考查程序框图.
解析 按照程序框图依次执行，为false，false，false；false，false，false；false，false，false，退出循环，输出false.
15.答案 false
命题意图 本题主要考查立体几何中的线面关系及概念与性质.
解析 当false与平面false所成的角最大时，最大角为false，此时平面false平面false.在false中，由余弦定理可得false.又false，∴false为直角三角形，false，∴false平面false.如图，设四面体的外接球的球心为false，截面false对应圆的圆心为false，截面false对应圆的圆心为false，false为false的中点，则球心false到平面false的距离为false.设false的外接圆半径为false，由正弦定理可得false，则false.设四面体的外接球半径为false，连接false，false，在false中，false，解得false.
16.答案 false
命题意图 本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，等比中项，数列的转化求和，数列与函数的综合应用.
解析 设false的公差为false（false）.由题意，false，即false，false，即false，联立解得false，false，所以false.
所以false
false
当false为奇数时，false，
当false为偶数时，false.
所以false.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.命题意图 本题主要考查三角恒等变换、正余弦定理、三角形面积公式.
解析 （Ⅰ）∵false，
∴false
即false，
得false.
∵false，∴false.
∴false.
又false，∴false.
（Ⅱ）由题可知false，∴false.
由余弦定理可得false，
由false，可得false，
∴false，解得false.
∴false，结合false，
可解得false或false.
由正弦定理可得false或false.
18.命题意图 本题主要考查四棱柱的性质，线面平行的证明，利用空间向量解决立体几何中的计算问题.
解析 （Ⅰ）如图，取false的中点false，连接false、false.
因为false是false的中点，
所以false，false.
又false，false，
所以false.
所以四边形false为平行四边形.
所以false.
又false平面false，false平面false，
故false平面false.
（Ⅱ）由已知可得，可以false为坐标原点，直线false，false，false分别为false轴，false轴，false轴，建立如图所示的空间直角坐标系false.
则false，false，false，false，false，false.
设false（false），则false，false.
因为false与底面false所成的角为false，
而false是底面false的法向量，
所以false，
即false①.
又false在线段false上，所以可设false，则false，false，false②.
由①②解得false（舍去）或false.
所以false，从而false，
故线段false的长度为false.
19.命题意图 本题主要考查事件的关系，独立重复试验概率的计算，数学期望的应用.
解析 （Ⅰ）由题意知，从这批产品中随机抽取一次抽中三级品的概率为false，则没有抽中三级品的概率为false，
所以false.
（Ⅱ）由题中表格可知一级品对应的概率为false.
设第一次取出的4件产品都是一级品的事件为false，第一次取出的4件产品中有3件一级品的事件为false，第二次取出的4件产品都是一级品的事件为false，第二次取出的1件产品是一级品的事件为false，这批产品通过检测的事件为false.
所以falsefalse，即该冰箱生产厂家取得生产许可证的概率为false.
（Ⅲ）由题可知false的所有可能取值为false，800，1000.
一级品对应的概率为false，
二级品对应的概率为false，
三级品对应的概率为false，
则false的分布列为
false
false
800
1000
false
false
false
false
所以false（元）.
20.命题意图 本题主要考查椭圆的方程与性质，直线与椭圆的位置关系.
解析 （Ⅰ）设椭圆false的半焦距为false.
由题意可知false，即false，代入false，得false.
所以false，false.
又false，
将false，false代入解得false.
所以false，false，
所以椭圆false的标准方程为false.
（Ⅱ）直线false与椭圆方程联立方程组得false，
消去false得false，（*）
设false，false，则false，false是方程（*）的两根，
false，false，
所以false
false
false
false
false
false
false
false.
故不存在false，使得false.
21.命题意图 本题考查导数在函数极值点问题及不等式证明问题中的应用.
解析 （Ⅰ）当false时，false，
则false.
令false，则false.
令false，得false，令false，得false，
则false在false上单调递减，在false上单调递增.
注意到当false时，false恒成立，
则当false时，false恒成立.
又false在false上单调递增，false，
所以存在唯一一个false，使得当false时，false，即false，当false时，false，即false，所以false的极值点的个数为1.
（Ⅱ）当false时，false，
要证false在false上恒成立，即证false在false上恒成立.
先证不等式false成立，构造函数false，
则false，因此false在false上单调递减，在false上单调递增，
false，由此可得false，则false.
因此false，
故只需证明false，即证false，即证false（false）.
构造函数false，则false.
令false，得false，令false，得false，
因此false在false上单调递减，在false上单调递增，
false，
从而原不等式得证.
22.命题意图 本题主要考查直线与圆的参数方程与极坐标方程的互化.
解析 （Ⅰ）当false时false的参数方程为false，
它的普通方程为false，化为极坐标方程为false.
曲线false：false，故false，
故false，
故曲线false的参数方程为false，（ false为参数，且false）.
（Ⅱ）设false，false，则false，false，
所以false
false
false.
因为false，所以false，
所以false，
所以false的取值范围为false.
23.命题意图 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数与基本不等式的综合应用.
解析 （Ⅰ）当false时，原不等式化为false，解得false，所以false；
当false时，原不等式化为false，解得false，所以false；
当false时，原不等式化为false，解得false，所以false.
综上，原不等式的解集为false.
所以false.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知false，false，又因为false，
所以false
false
false
false
false
false.
因为false，false，所以false，
又false，当且仅当false时等号成立，
所以false.
所以false的最小值为8.