江西省南昌东湖区南昌第二高级中学校2020-2021学年高一下学期3月开学考试数学试题 Word版含答案

2020~2021学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高一下学期开学考试
数学试卷
一、单项选择题
（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.函数false的定义域是（ ）.
A.false B.false C.false D.false
2.已知false，则false（ ）.
A.false B.false C.false D.false
3.已知false，false，false，则（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.若单位向量false，false满足false，则向量false，false的余弦值为（ ）.
A.false B.false C.false D.false
5.函数false，false的图象大致是（ ）.
A. B.
C. D.
6.已知函数false，若false，则实数false的取值范围为（ ）.
A.false B.false
C.false D.false
7.已知函数false的图象与函数false的图象交于false，false两点，则false（false为坐标原点）的面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.已知函数false是偶函数，则false在false上是增函数的一个false值是（ ）.
A.false B.false C.false D.false
9.已知false，false是平面内夹角为90°的两个单位向盘，若向量false满足false，则false的最大值为（ ）
A.1 В.false C.false D.2
10.设函数false，其中false，false，false，若false对一切false恒成立，则下列结论中正确的是（ ）
A.false
B.点false是函数false的一个对称中心
C.false在false上是增函数
D.存在直线经过点false且与函数false的图象有无数多个交点
11.已知false，false是单位圆上的两点，false为圆心，且false，false是圆false的一条直径，点false在线段false上（不包含两个端点），则false的取值范围是（ ）.
A.false B.false C.false D.false
12.已知函数false的图象上关于false轴对称的点至少有3对，则实数false的取值范围是（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数false（false且false）图象恒过的顶点false在角false的终边上，则false .
14.如图，在同一个平面内，向量false，false，false的模分别为1，false和false，记false与false的夹角为false，且false，false与false的夹角为45°.若false，则false .
15.false的三个内角为false，false，false，当false取得最大值时，角false的大小为 .
16.已知函数false在false内恰有两个最小值点，则false的取值范围是 .
三、解答题
（本大题共6小题，共70分）
17.已知false，求false的值.
18.已知false，求false的值.
19.已知向量false与false的夹角为60°，false，false，false，false.
（1）若false，求实数false的值
（2）是否存在实数false，使得false，说明理由.
20.如图是函数false一个周期内的图象，已知点false是图象与false轴的交点，点false是图象上的最高点，点false的横坐标为false.
（1）求函数false的解析式.
（2）记false，求false的值.
21.如图所示，false是false的重心，false，false分别是边false，false上的动点，且false，false，false三点共线.
（1）设false，将false用false，false，false表示.
（2）设false，false，证明：false是定值.
22.如图（1）所示，用两块宽分别为false和1cm的矩形钢板（false，false），剪裁后在平面内焊成60°的“角型”.
图（1）
（1）设false，请问下料时false应取多少度？
（2）如图（2）所示，在以false为圆心，false为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌false，其中false在扇形的弧false上，求矩形false面积的最大值.
图（2）
23.已知函数false.
（1）求函数false的单调区间
（2）将函数false的图象先向左平移false个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数false的图象.若对任意的false，不等式false成立，求实数false的取值范围.
2020~2021学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高一下学期开学考试
数学试卷（详解）
一、单项选择题
（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.函数false的定义域是（ ）.
A.false B.false C.false D.false
【答案】B
【解析】函数false的定义域为：false，
解得false.
故函数的定义域为：false.
故选B.
2.已知false，则false（ ）.
A.false B.false C.false D.false
【答案】A
【解析】false，
∴false，
false
false
false.
故选A.
3.已知false，false，false，则（ ）
A.false B.false C.false D.false
【答案】A
【解析】false
false，
false
false，
又因为false，
所以false，
即false，
又false，
即false.
故选A.
4.若单位向量false，false满足false，则向量false，false的余弦值为（ ）.
A.false B.false C.false D.false
【答案】A
【解析】根据题意，设向量false，false夹角为false，
若单位向量false，false满足false，
则有false，
则有false.
故选A.
5.函数false，false的图象大致是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数false，false，
满足false，
故函数图象关于原点对称，排除A、B，
当false时，false，
故排除D.
故选C.
6.已知函数false，若false，则实数false的取值范围为（ ）.
A.false B.false
C.false D.false
【答案】D
【解析】当false时则false，
所以false，
即false，
解得false，
当false时，false，
所以false，
即false，解得false，
综上，实数false的取值范围为：false.
故选：D.
7.已知函数false的图象与函数false的图象交于false，false两点，则false（false为坐标原点）的面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
【答案】B
【解析】如图，
∵false与false均关于false对称，
∴false，false必关于false对称，
∴false中点，即false与false轴交点false，
由false，
∴false，
∴false，
解得false（舍去）或false
∵false，
∴false或false，
∴false，false，
∴false
false.
故选B.
8.已知函数false是偶函数，则false在false上是增函数的一个false值是（ ）.
A.false B.false C.false D.false
【答案】A
【解析】函数false
false，
∵false是偶函数，
∴false，false，
得false，false，
又∵false在false上是减函数
则false，
可得：false，false，
当false时，false，
综上可得false.
故选：A.
9.已知false，false是平面内夹角为90°的两个单位向盘，若向量false满足false，则false的最大值为（ ）
A.1 В.false C.false D.2
【答案】B
【解析】∵向量false满足false，
∴false，
∴如图设false，false，连接false，
再作出以false为直径的圆，在圆上取false点并连接false，
则根据已知条件知道false，
所以false最大时，false为该圆的直径，
根据图形及已知条件，
此时false，则false的最大值为false.
故选B.
10.设函数false，其中false，false，false，若false对一切false恒成立，则下列结论中正确的是（ ）
A.false
B.点false是函数false的一个对称中心
C.false在false上是增函数
D.存在直线经过点false且与函数false的图象有无数多个交点
【答案】D
【解析】A选项：由题可知false，
又因为false，false
且false，false，
false，false，
所以false.
A项，因为false，所以false，false均不等于0.
false，故A项错误；
B选项：false的对称中心是false上false的点，
所以false，B项错误；
C选项：由false，可知false，
与false在false上是增函数矛盾，故C项错误；
D选项：由题可知false，false，
且false，
所以false与false有无数多个交点，且点false必在直线false上，故D项正确.
故选D.
11.已知false，false是单位圆上的两点，false为圆心，且false，false是圆false的一条直径，点false在线段false上（不包含两个端点），则false的取值范围是（ ）.
A.false B.false C.false D.false
【答案】C
【解析】∵false，
∴false，即false，
又∵false，false，
∴点false在线段false上，且false，
∴false
false，
∵false，
∴false.
故选C.
12.已知函数false的图象上关于false轴对称的点至少有3对，则实数false的取值范围是（ ）
A.false B.false C.false D.false
【答案】D
【解析】若false，则false，
∴false时，false，
∴false，
则若false，false关于false轴对称，
则false，
即false，false，
设false，false，
作出函数false的图象，
要使false，false与false，false的图象至少有3个交点，
则false且满足false，
即false，
即false，
则false，
解得false.
故选D.
二、填空题
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数false（false且false）图象恒过的顶点false在角false的终边上，则false .
【答案】false
【解析】∵false恒过点false，
∴false，
∴false.
14.如图，在同一个平面内，向量false，false，false的模分别为1，false和false，记false与false的夹角为false，且false，false与false的夹角为45°.若false，则false .
【答案】false
【解析】以false为坐标原点
向量false方向为false轴，与向量false垂直的方向为false轴，
建立平面直角坐标系.
点false的坐标为false，false，false，
可得点false的坐标为false，
false，
所以false，
false，false，
又点false的坐标为false，false.
false，
若false，
则false且false，
所以false，
所以false.
故答案为：false.
15.false的三个内角为false，false，false，当false取得最大值时，角false的大小为 .
【答案】60°
【解析】因为false，
则falsefalse
falsefalse，
所以当false，
因为false为锐角，
所以false，即false时，原式的最大值为false.
16.已知函数false在false内恰有两个最小值点，则false的取值范围是 .
【答案】false
【解析】false，
则false，
故false，且false
故false，
故false，
要有2个最小值点，
故false，
解得false，
综上所述：false.
故答案为：false.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分）
17.已知false，求false的值.
【答案】7.
【解析】∵false，
∴原式false
false.
18.已知false，求false的值.
【答案】false.
【解析】方法一：false，
false，
false，
false.
故答案为：false.
方法二：∵false，
∴false.
又∵false，
∴原式false.
19.已知向量false与false的夹角为60°，false，false，false，false.
（1）若false，求实数false的值
（2）是否存在实数false，使得false，说明理由.
【答案】（1）false.
（2）false.
【解析】（1）false
false.
（2）false
false.
20.如图是函数false一个周期内的图象，已知点false是图象与false轴的交点，点false是图象上的最高点，点false的横坐标为false.
（1）求函数false的解析式.
（2）记false，求false的值.
【答案】（1）false.
（2）false.
【解析】（1）由图可知，函数false的周期为false，
∴false.
代入点false的坐标false，有false.
又由false可得false，
可得false，有false，
故函数false的解析式为false.
（2）如图，过点false作false轴的垂线，垂足为false.
可得点false的坐标为false，
由函数false图象的周期性，可得点false的坐标为false，
false，false，false，
在false中，
false，
在false中，false，
false，
由false.
可得false，
故false.
21.如图所示，false是false的重心，false，false分别是边false，false上的动点，且false，false，false三点共线.
（1）设false，将false用false，false，false表示.
（2）设false，false，证明：false是定值.
【答案】（1）false.
（2）证明见解析.
【解析】（1）∵false，
false，
∴false，
即false，
整理，得false.
（2）∵false是false的重心，
∴false，
∵false，false，
false，
∴false，
因此，得到false，
可得false，
∴false，
即false（定值）.
22.如图（1）所示，用两块宽分别为false和1cm的矩形钢板（false，false），剪裁后在平面内焊成60°的“角型”.
图（1）
（1）设false，请问下料时false应取多少度？
（2）如图（2）所示，在以false为圆心，false为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌false，其中false在扇形的弧false上，求矩形false面积的最大值.
图（2）
【答案】（1）45°.
（2）false.
【解析】（1）过false作false，false分别垂直false，false于false、false，
则在false，false中，
falsefalse
falsefalse，
所以，false.
（2）由（1）知：false，
设false，false，
false
false
false，
falsefalse
false
false
false
false
false，
所以，矩形false面积的最大值为false.
23.已知函数false.
（1）求函数false的单调区间
（2）将函数false的图象先向左平移false个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数false的图象.若对任意的false，不等式false成立，求实数false的取值范围.
【答案】（1）false.
（2）false.
【解析】（1）false
false
false
false，
由于false的单调增区间为false，false，
令false，
得：false，
∴false单调增区间为false，false.
（2）false，
向左平移false个单位得false，
再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：false，
故false，
不等式false，
即false，
false，false成立，
此时false，false，false，
∴false，false，
当false时，不等式恒成立，
当false时，false，
令false
false，
false
false，
其中false，
∴false得false，即false，
当false时，false，false单调递增，
当false时，false，false单调递减，
∴false，
∴false，即false，
综上，false.