(共27张PPT)
2.2.1
平方差公式
湘教版
七年级下
导入新课
你能说出多项式乘法(a+b)(m+n)的计算过程吗？
(a+b)(m+n)=
am
Ⅰ
+an
Ⅱ
+bm
Ⅲ
+bn
Ⅳ
说一说
多项式乘多项式时，不漏乘项，不错符号。
注意事项
多项式乘多项式的结果，不忘合并同类项。
导入新课
计算下列各式，你发现了什么规律？
(1)
(a＋1)(a－1)=a?－a＋a－1?=
；
(2)
(a＋2)(a－2)=a?－2a＋2a－2?=
；
(3)
(a＋3)(a－3)=a?－3a＋3a－3?=
；
(4)
(a＋4)(a－4)=a?－4a＋4a－4?=
；
动脑筋
探究新知
我们用多项式乘法来推导一般情况：
(a＋b)(a－b)=
=
.
a?－ab＋ab－b?
a?－b?
探究新知
下面的公式叫做平方差公式：
用语言叙述为：
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
定义：
探究新知
合作探究
如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图②的图形。你能用这两个图来解释平方差公式吗？
探究新知
图②中拼成的长方形长为(a+b)，宽为(a-b)，则面积为：
。
图①中剩下部分面积为：
。
因为图②中的长方形是由图①中剩下部分图形拼成的，所以面积相等，即：
。
(a+b)(a-b)
a?-b?
(a+b)(a-b)=a?-b?
探究新知
(a+b)(a-b)=a?-b?也可以用如图中的正方形、长方形的面积关系直观地表示出来。
因此
合作探究
满足平方差公式的多项式的乘法有什么特征？
1.
两个多项式中的两个数相同；
2.
一个多项式的两个数是加，另一个为减.
公式中的a、b可以是数、字母，也可以是式子。
例题讲解
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便运算。
例题讲解
例1
运用平方差公式计算：
(1)
(2x＋1)(2x－1)；
(2)
(x＋2y)(x－2y).
(2x＋1)(2x－1)
=(2x)?
－1?
=4x?
－1.
例题讲解
(2)(x＋2y)(x－2y)
=(2x)?－1?
=4x?－1.
=x?－(2y)?
=x?－4y?.
例题讲解
(2)
(4a＋b)(-b＋4a).
例2
运用平方差公式计算：
(1)
想一想
第(1)题中，哪一项相当于公式中的“a”？
第(2)题中，画横线部分如何处理能用平方差公式计算？
例题讲解
解
(1)
-2x是相当于a
例题讲解
(2)
(4a＋b)(-b＋4a)
利用加法交换律
=(4a＋b)(4a-b)
=(4a)?-b?
=16a?-b?.
例题讲解
例3
计算：1002×998.
解
1002×998
=(1000＋2)(1000-2)
=1000?－2?
=1000000－4
=999996.
运用平方差公式可以简化一些运算.
巩固练习
1.下列各式的计算对不对？如果不对，请改正.
(1)
(x－2)(x＋2)=x?－2；
(2)
(-2x-1)(2x-1)=4x?-1.
解：第(1)题错，结果应为x?-4；
第(2)题错，结果应为1-4x?。
巩固练习
2.
下列计算正确的是
（
）
A.
(x－2)(2＋x)=x?－2
B.
(x＋2)(3－2x)=3x?－4
C.
(xy－c)(xy＋c)=x?y?－c?
D.
(－m－n)(m＋n)=m?－n?
C
巩固堂练习
3.
下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（
）
A.
(x－2y)(x＋2y)
B.
(x－2y)(－x－2y)
C.
(2y－x)(－2y－x)
D.
(－2y－x)(x＋2y)
D
提能练习
4.
计算x(x－1)－(x＋2)(x－2)的结果是（
）
A.
－3
B.
－4
C.
3
D.
5
解析：原式=x?－1－(x?－4)=x?－1－x?+4=3.
C
提能练习
5.
已知2x－3y=9，3y+2x=3，则4x?－9y?的值
为
。
解析：∵
(3y+2x)(2x－3y)=(2x+3y)(2x－3y)
=(2x)?－(3y)?=4x?－9y?
又
(3y+2x)(2x－3y)=3×9=27
∴
4x?－9y?=27.
书面作业
6.运用平方差公式计算：
(1)
(m+2n)(m-2n)
;
(2)
(3a+b)(3a-b)
;
(4)
(-1+5a)(-1-5a)
.
答案：(1)
m?-4n?；
(2)
9a?-b?；
(3)
；
(4)
1-25a?.
书面作业
(1)
202×198；
(2)
49.8×50.2
7.计算:
解：(1)202×198
(2)49.8×50.2
=(200+2)(200-2)
=(50-0.2)(50+0.2)
=200?-2?
=
50?-0.2?
=40
000-4
=2500-0.04
=39996.
=2499.96.
课堂总结
1.
填空：两个数的和与两个数的差的积等于
.
2.
你能写出平方差公式吗？
这两个数的平方差
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2.2.1平方差公式教案
主备人：
备课日期：2021.03.16
本章课时序号：6
课
题
平方差公式
课型
新授课
教学目标
1、能推导并记住平方差公式；2、能用根据平方差公式的结构特征识别多项式能否用此公式计算；3、能熟练地运用平方差公式进行计算；4、经历计算过程的困难，获得成功的体验，提高学习自信。
1、复习多项式的乘法法则及计算步骤，强调注意事项；2、探究新知，推导出平方差公式，体验公式的直观意义；4、教学例题，用平方差公式的结构特征分析多项式，学会公式运用；5、多层次、多类型练习，巩固基础，提升能力。
感受数学知识是与现实生活相联系的，数学来源于生活，又能为生活服务。体验解决计算中的困难，锤炼学生注重细节、做事一丝不苟的品格。感受经历困难获得成功的体验，增强对学习数学的自信。
教学重点
1、平方差公式的特征。2、灵活运用平方差公式进行计算。
教学难点
1、正确地运用平方差公式进行计算。2、识别平方差公式的变式。
教
学
活
动
一、情景展示，温故导新（一）复习铺垫1、
复习多项式的乘法法则及计算步骤：提问：你能说出多项式乘法(a+b)(m+n)的计算过程吗？学生回答，教师用ppt动画展示法则及运算过程(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.2、
强调：【注意事项】⑴多项式乘多项式时，不漏乘项，不错符号。⑵多项式乘多项式的结果，不忘合并同类项。二、探究问题，得出公式（一）动脑筋：计算下列各式，你发现了什么规律？
(1)
(a＋1)(a－1)=a?－a＋a－1?=
；(2)
(a＋2)(a－2)=a?－2a＋2a－2?=
；(3)
(a＋3)(a－3)=a?－3a＋3a－3?=
；(4)
(a＋4)(a－4)=a?－4a＋4a－4?=
。1、
学生计算，并把结果填到横线上（教师提醒合并同类项）2、
观察这些多项式乘法的共同特征，及结果与题目的联系学生发现：a与一个数的和乘a与这个数的差，积等于a与这个数的平方差。（二）推导和得出公式：(a＋b)(a－b)=
=
.1、
学生把计算过程填到横线上2、
得出公式我们把(a＋b)(a－b)=a?－b?叫做平方差公式。
用语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.（三）认识平方差公式的特征1、几何意义：（1）教师用ppt展示：说一说：如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图②的图形。你能用这两个图来解释平方差公式吗？（2）学生回答后教师展示：图②中拼成的长方形长为(a+b)，宽为(a-b)，则面积为(a+b)(a-b)。图①中剩下部分面积为a?-b?。因为图②中的长方形是由图①中剩下部分图形拼成的，所以面积相等，即：
(a+b)(a-b)=a?-b?。2、
议一议：满足平方差公式的多项式的乘法有什么特征？生：
两个多项式中的两个数相同；一个多项式的两个数是加，另一个为减.师：注意公式中的a、b可以是数、字母，也可以是式子。二、教学例题，学会运用（一）教学例1
例1
运用平方差公式计算：(1)
(2x＋1)(2x－1)；
(2)
(x＋2y)(x－2y)
。1、
教师引导学生分析第（1）题，ppt展示：2、
出示第（1）题，展示解答过程3、
学生独立完成第（2）题，订正。（二）教学例2例2
运用平方差公式计算：
（1）；
（2）1、
第（1）题①学生指出多项式的乘法中a是“-2x”，b是②展示计算过程，强调多项式的平方注意添加括号2、
第（2）题①学生观察是否能用平方差公式计算②教师提示，利用加法交换律，把-b+4写成4-b.③学生独立计算。3、
（1）第（3）题，当学生做到(x＋a)(x＋b)=x?＋bx＋ax＋ab这一步时，教师问：如果把a，b看作x的系数，bx与ax可以合并吗？学生继续完成。（三）教学例3例3
计算：计算：1002×998.1、
学生观察是否能用平方差公式计算。2、
教师提示，1002，998这两个数与1000的关系，能否改成两个相同数的和与差。3、
学生独立计算。4、
教师用ppt展示计算过程，并指出：运用平方差公式可以简化一些运算。三、当堂练习，释疑解惑巩固练习1、
下列各式的计算对不对？如果不对，请改正.(1)
(x－2)(x＋2)=x?－2；
(2)
(-2x-1)(2x-1)=4x?-1.学生口答后，集体订正2、
下列计算正确的是（
）A.
(x－2)(2＋x)=x?－2B.
(x＋2)(3－2x)=3x?－4C.
(xy－c)(xy＋c)=x?y?－c?D.
(－m－n)(m＋n)=m?－n?【答案】C3、
下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是
（
）A.
(x－2y)(x＋2y)B.
(x－2y)(－x－2y)C.
(2y－x)(－2y－x)D.
(－2y－x)(x＋2y)【答案】D【解析】D项中前一个括号内的项与后一个括号内的项符号都相反，找不出a和b，不符合平方差公式的特征。提能练习4、
计算x(x－1)－(x＋2)(x－2)的结果是（
）A.
－3
B.
－4
C.
3
D.
5【答案】C【解析】原式=x?－1－(x?－4)=x?－1－x?+4=3.5、
已知2x－3y=9，3y+2x=3，则4x?－9y?的值
为
。【解析】∵
(3y+2x)(2x－3y)=(2x+3y)(2x－3y)=(2x)?－(3y)?=4x?－9y?
又
(3y+2x)(2x－3y)=3×9=27，∴
4x?－9y?=27.
书面作业1、
第2题学生独立计算，集体订正。2、
第3题学生独立作业后，集体订正四、反思总结1、
填空：两个数的和与两个数的差的积等于
。2.
答问：你能写出平方差公式吗？
板书设计
平方差公式1、
平方差公式：2、
语言叙述：两个数的和乘这两个数的差，等于这两个数的平方差。3、
识别多项式中的“a”和“b”,灵活运用平方差公式进行简便运算。
教学反思
平方差公式是乘法公式之一，运用乘法公式进行多项式的计算是多项式乘法的一项重要内容。本节课从复习多项式的乘法开始，引导学生通过计算和观察，认识了平方差公式的特征。通过例题展示和师生活动，以及有针对性的练习，让学生领悟计算要点，掌握计算过程，纠正计算错误。从根本上提高学生的计算能力，培养学生认真观察、灵活运用公式计算与平方差公式有关的一些运算。这节课所做课件紧扣教材，思路清楚，结构完整；形式活泼，图文并茂。所选习题符合学生基础，难易适度。教学过程中，充分体现了学生的主体地位，发挥了教师的引导作用。
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精品试卷·第
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