2.3.2
圆周运动实例分析（二）
教学目标：1、定性分析火车外轨比内轨搞得原因。2、能定量分析汽车过拱形桥最高点和凹形桥最低点的压力问题。
3、知道航天器中的失重现象的本质。4、知道离心运动及其产生条件，了解离心运动的运用和预防。
教学重点：生活中的圆周运动实例分析
教学难点：如何运用向心力、向心加速度的知识解释有关现象
【自主学习】
1.轻绳模型
如图所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，
由
＝m，得v＝
.
在最高点时：
①v＝时，拉力或压力为零．
②v>时，物体受绳子的拉力，并且随速度的增大而
．
③v<时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)
即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝.
2.轻杆模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
①v＝0时，
小球受向上的支持力N＝
.
②0的弹力力且随速度的增大而
．
③v＝时，小球只受重力．
④v>时，小球受
的弹力，并且随速度的增大而
．
即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.
【交流讨论】
【成果展示】展示学生交流讨论成果
【教师执导】教师引导、点拨、辨析、梳理，阐释内涵与外延等（略）
【学以致用】
考点一 单轨、绳子模型：（最高点没有支撑）
【例1】一辆质量m＝2
t的轿车，驶过半径R＝90
m的一段凸形桥面，g＝10
m/s2，求：
(1)轿车以10
m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？
【变式1】如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，对轨道的压力恰好为零，则小球落地点C距A处多远？
【变式2】如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是
( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
考点二 双轨、杆模型：（最高点有支撑）
【例2】如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。小球运动到最高点时速度为v＝
，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是( )
A.mg的拉力
B.mg的压力
C．零
D.mg的压力
【变式1】如图所示，质量为5kg的小球冲上一个半径R=2m的双层圆形轨道，①若小球在最高点的速度为4m/s，求此时小球对轨道的作用力大小和方向？②若小球在最高点对内轨、外轨都没有压力，小球速度应该是多少？③小球可以到达最高点的最小速度是多大？(g=10m/s2)
【变式2】如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体受重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A．0
B．
C．
D．
参考答案
自主学习
1.
mg，.
②增大．
2.
①mg.
②减小．
④增大．
【例1】解析 (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤m，则所求最小速率v0＝＝
m/s＝2.42
m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯底对水有一竖直向下的压力，设为N，由牛顿第二定律有N＋mg＝m
即N＝m－mg＝2.6
N
由牛顿第三定律知，水对杯底的作用力N′＝N＝2.6
N，方向竖直向上．
【变式1】解析 小球在B点飞出时，对轨道压力为零mg＝m，得vB＝，小球从B点飞出做平抛运动t＝
＝
，水平方向的位移x＝vBt＝·＝2R.
【变式2】BD
【例2】B
【变式1】10N
向上、
m/s、0
【变式2】C2.3.2
圆周运动实例分析（二）
班级：
姓名：
1.如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是( )
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
2．（多选）如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，正确的说法是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为0
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球的重力
3.如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道质量为m的游客随过山车一起运动，当游客以速度v经过圆轨道的最高点时
A．处于超重状态
B．向心加速度方向竖直向下
C．速度v的大小一定为
D．座位对游客的作用力为
4、关于离心运动，下列说法中正确的是( )
A．物体一直不受外力作用时，可能做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化便将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或数值变小时将做离心运动
5.一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是（
）
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104N
C．汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2
6．飞行员身体承受的压力最大不能超过体重的9倍，那么当他驾机飞行速率为v0时，在竖直平面内做圆周运动的最小半径应是( )
A.
B.
C.
D.
7．（多选）如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v，下列说法正确的是( )
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也增大
C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
8.（多选）如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r．设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法正确的是
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足
D．转台的角速度一定满足
9．一根长l＝0.625
m的细绳，一端拴一质量m＝0.4
kg
的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，g取10
m/s2，求：
(1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v＝3.0
m/s通过圆周最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动？
10.如图所示，AB为竖直半圆轨道的竖直直径，轨道半径R=0.9m，轨道B端与水平面相切，质量m=1kg的光滑小球从水平面以初速度V0向B滑动，取g=10m/s2．
（1）若V0=6m/s，求小球经轨道最低点B瞬间对轨道的压力为多少？
（2）若小球刚好能经过A点，则小球在A点的速度至少为多大？小球离开A点后在水平面的落点与B点的距离为多少？
参考答案
D 2.BD
3．B
4.D
5.D
6.B
7.BCD
8.BC
9.
解析 (1)小球通过圆周最高点时，受到的重力G＝mg必须全部作为向心力F向，否则重力G中的多余部分将把小球拉进圆内，而不能实现沿竖直圆周运动．所以小球通过圆周最高点的条件应为F向≥mg，当F向＝mg时，即小球受到的重力刚好全部作为通过圆周最高点的向心力，绳对小球恰好没有力的作用，此时小球的速度就是通过圆周最高点的最小速度v0，由向心力公式有：mg＝m
解得：G＝mg＝m
v0＝＝
m/s＝2.5
m/s.
(2)小球通过圆周最高点时，若速度v大于最小速度v0，所需的向心力F向将大于重力G，这时绳对小球要施加拉力F，如图所示，此时有
F＋mg＝m
解得：F＝m－mg＝(0.4×－0.4×10)
N＝1.76
N
若在最高点时绳子突然断了，则提供的向心力mg小于需要的向心力m，小球将沿切线方向飞出做离心运动(实际上是平抛运动)．
10.【解析】
（1）小球在B点的受力分析如图：
由牛顿第二定律有：
解得小球受到的支持力N==50N
由牛顿第三定律可知，小球对道轨的压与与N大小相等，方向相反．
（2）小球恰好过最高点，即只由重力提供向心力有：
解得小球在A点的最小速度：
小球离开A点后做平抛运动有：
解得t=0.6s
s=1.8m
