3.3.2
万有引力定律的应用-中心天体质量密度
教学目标：1、了解万有引力定律在天文学上的应用；2、会用万有引力定律计算天体的质量和密度；
3、掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。
教学重点：（1）地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算。
（2）通过数据分析、类比思维、归纳总结建立模型来加深理解．
教学难点：行星运动规律与轨道半径的关系
【自主学习】
1.两条线索：①万有引力提供向心力；②重力近视等于万有引力，提供向心力。
2.两组公式
对中心天体质量M表达式：
4.中心天体的密度ρ:
(r为轨道半径，R为M的半径）
【小结】
①v
、ω(T)、
r
任意知道两个，都可以求出中心天体的质量M.
②若还知天体半径R，可求天体密度和天体表面重力加速度g.
③若r=R,则：密度ρ=
3π/GT2，只要知道T就可以求天体密度了。
【交流讨论】
【成果展示】展示学生交流讨论成果
【教师执导】教师引导、点拨、辨析、梳理，阐释内涵与外延等（略）
【学以致用】
考点一 中心天体质量
【例1】利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量，(万有引力常量G已知)( )．
A．已知地球的半径R地和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
【变式1】已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是
A．人造卫星在地面附近运行的速度和运行周期
B．月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离
C．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
D．考虑地球自转时，已知地球的半径及重力加速度
【变式2】我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为x.已知月球半径为R月，万有引力常量为G.试求月球的质量M月．
考点二 中心天体密度
【例2】已知地月平均距离为38.4×104km，引力常量G
=
6.67×10
–11N·m2/kg2，地球的平均半径为6
371km。求地球质量是多少？密度是多少？（已知：月球公转周期为T=27.32天）
【变式1】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
参考答案
【例1】ABCD
【变式1】AB
【变式2】解析 (1)设月球绕地球做圆周运动的轨道半径为r，
则有：＝m月·r，
对地球表面的物体，有：＝mg
由以上两式可得：r＝
.
(2)设小球从平抛到落地的时间为t，
竖直方向：h＝g月t2
水平方向：x＝v0t
可得：g月＝
对月球表面的物体，有mg月＝
可得：M月＝.
【例2】解：以月球为研究对象，根据牛顿第二定律有
【变式1】解析 (1)设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝.
(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有
G＝m(R＋h)
M＝
ρ＝＝＝3.3.2
万有引力定律的应用-中心天体质量密度
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姓名：
1.2017年11月24日，国家航天局探月与航天工程中心副主任裴照宇表示，嫦娥五号任务将是我国首次月球表面采样返回任务，这次任务的完成将标志着我国探月工程“三步走”顺利收官。若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是(
)
A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．嫦娥五号贴近月球表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．嫦娥五号在高空绕月球做匀速圆周运动，测出距月球表面的高度H和运行周期T
D．观察月球绕地球的匀速圆周运动，测出月球的直径D和运行周期T
2.(多选)有消息称，英国曼彻斯特大学的天文学家，已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成．若已知万有引力常量G，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量( )
A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径
B．该行星的自转周期与星体的半径
C．围绕该行星做圆周运动的卫星公转周期及运行半径
D．围绕该行星做圆周运动的卫星公转周期及公转线速度
3.某卫星绕地球做匀速圆周运动，t时间内这颗卫星运动的轨迹长为s，这段时间内卫星的运动方向改变了角.已知引力常量为G，由此可求得地球的质量为
A．
B．
C．
D．
4.2011年11月3日凌晨，“神舟八号”与“天宫一号”空间站成功对接。对接后，空间站在离地面三百多公里的轨道上绕地球做匀速圆周运动。现已测出其绕地球球心作匀速圆周运动的周期为T，已知地球半径为R、地球表面重力加速度为g、万有引力常量为G，则根据以上数据，以下不能够计算的物理量是（
）
A．地球的平均密度
B．空间站所在处的重力加速度大小
C．空间站绕行的速度大小
D．空间站所受的万有引力大小
5.(多选)嫦娥工程分为三期，简称“绕、落、回”三步走．我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，该卫星先在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，再经变轨后成功落月．已知月球的半径为R，引力常量为G，忽略月球自转及地球对卫星的影响．则以下说法正确的是
A．物体在月球表面自由下落的加速度大小为
B．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为
C．月球的平均密度为
D．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为
6.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行．认为该行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量( )
A．飞船的轨道半径
B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期
D．行星的质量
7.(多选)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G1；在南极附近测得该物体的重力为G2；已知地球自转的周期为T，引力常数为G，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知：
A．地球的密度为
B．地球的密度为
C．当地球的自转周期为
时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力
D．当地球的自转周期为
时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力
8、在地球表面让某小球做自由落体运动，小球经过时间t落地；若在某星球表面让同样的小球做自由落体运动，小球经过时间4t落在星球表面.
已知小球落在地面时和落在星球表面时的速度大小相等，该星球的半径与地球半径之比为R′：R=1：2，地球表面重力加速度为g，大气阻力不计.
求：
(1)该星球表面的重力加速度g′；
(2)该星球的质量与地球质量之比M′：M.
参考答案
1.B 2.CD
3．C
4.D
5.AC
6.C
7.BC
8.【解析】
(1)在地球表面小球自由下落时，由自由落体运动规律有：
同理在星球表面下落后有：
联立两式解得
(2)对地球表面的物体有：
在星球表面的物体有：
该星球的半径与地球半径之比为：
R′：R=1：2
代入后解得
