4.4.2
动能定理的应用
教学目标：1．知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能．2．能从牛顿第二定律与运动学公式导出动能定理，理解动能定理的物理意义．3．能应用动能定理解决简单的问题．
教学重点：对动能公式和动能定理的理解与应用
教学难点：动能定理的推导，正确认识功、能的关系
【自主学习】
一、动能定理
1．动能：物体由于
而具有的能量叫做动能，其表达式为Ek＝mv2.动能是
，只有大小，没有方向．
2．动能定理：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化，表达式为
W＝
.
(1)当力对物体做正功时，物体的动能
(填“增加”、“减少”或“不变”)，Ek2
Ek1(填“>”、“<”或“＝”)．
(2)当力对物体做负功时，物体的动能
(填“增加”、“减少”或“不变”)，Ek2
Ek1(填“>”、“<”或“＝”)．
二、多力做功的计算方法
1．先求合力，再求合力做的功．W＝
.
2．先求每个力的功，然后求各力做功的代数和W＝
.
【交流讨论】
【成果展示】展示学生交流讨论成果
【教师执导】教师引导、点拨、辨析、梳理，阐释内涵与外延等（略）
【学以致用】
考点一 利用动能定理求变力的功
【例1】一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图1所示，则力F所做的功为( )
A．mglcos
θ
B．Flsin
θ
C．mgl(1－cos
θ)
D．Flcos
θ
【变式1】如图1所示，斜槽轨道下端与一个半径为0.4
m的圆形轨道相连接．一个质量为0.1
kg的物体从高为H＝2
m的A点由静止开始滑下，运动到圆形轨道的最高点C处时，对轨道的压力等于物体的重力．求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的功．
考点二 机车启动问题
【例2】一辆质量为m，额定功率为P的小车从静止开始以恒定的加速度
a启动，所受阻力为f，经时间t，行驶距离x后达到最大速度vm，然后匀速运动，则从静止开始到达到最大速度的过程中，机车牵引力所做的功为( )
A．Pt
B．(f＋ma)x
C.mvm2
D.mvm2＋fx
【变式1】如图是某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进。若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始加速行驶，电动机的输出功率恒为P，小车经过时间t速度达到最大值vm，前进距离x，所受阻力恒定，则这段时间内
(
)
A．小车做匀加速运动
B．电动机对外所做的功为Pt
C．当小车速度为vm时，小车的加速度为
D．电动机对外所做的功为
考点三 动能定理和动力学方法的综合应用
【例3】如图所示，同一竖直平面内的光滑轨道，是由一斜直轨道和一段由细圆管弯成的圆形轨道连接而成，斜直轨道的底端与圆形轨道相切。圆形轨道半径为R（细圆管内径远小于R），A是圆形轨道的最低点，B是圆形轨道的最高点，O是圆形轨道的圆心。现有一质量为m的小球从斜直轨道上某处由静止开始下滑，进入细圆管内做圆周运动。忽略机械能损失，重力加速度用g表示。试求：
（1）若小球从距地面高2R处下滑，小球到达A点的速度大小；
（2）若小球到达B点时速度大小为，小球下落的高度应是圆形轨道半径的多少倍；
（3）若小球通过圆形轨道最高点B时，对管壁的压力大小为0.5mg，小球下落的高度应是圆形轨道半径R的多少倍。
【变式1】如图所示，粗糙水平轨道AB与半径为R的光滑半圆形轨道BC相切于B点，现有质量为m的小球(可看作质点)以初速度v0＝，从A点开始向右运动，并进入半圆形轨道，若小球恰好能到达半圆形轨道的最高点C，最终又落于水平轨道上的A处，重力加速度为g，求：
(1)小球落到水平轨道上的A点时速度的大小vA；
(2)水平轨道与小球间的动摩擦因数μ.
参考答案
【自主学习】
一、动能定理
1．运动，标量．
2．W＝Ek2－Ek1.
(1增加，>．
(2减少，<
二、多力做功的计算方法
1．W＝F合xcos_α.
2．W＝W1＋W2＋…….
【例1】C
【变式1】解析 物体运动到C点时受到重力和轨道对它的压力，由圆周运动知识可知N＋mg＝，又N＝mg，
联立两式解得vC＝＝2
m/s，
在物体从A点运动到C点的过程中，由动能定理有
mg(H－2r)－Wf＝mv－0，
代入数据解得Wf＝0.8
J.
【例2】D
【变式1】BCD
【例3】(1)
计算得出：；
(2)
；
(3)
联立各式得出：；即下落高度是圆形轨道半径R的倍；
若对管壁的压力向上，根据牛顿第二定律得：
联立各式得出：，即下落高度是圆形轨道半径R的倍。
【变式1】(1)mg＝m，得vC＝，
从C到A由动能定理得：mg2R＝mv－mv，得vA＝.
(2)AB的距离为xAB＝vCt＝×＝2R
从A出发回到A由动能定理得：－μmgxAB＝mv－mv，得μ＝0.25.4.4.2
动能定理的应用
班级：
姓名：
1．如图所示，质量为m的物体从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求：
(1)物体滑至斜面底端时的速度；
(2)物体在水平面上滑行的距离．(不计斜面与平面交接处的动能损失)
2.跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一，如图为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图。助滑坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC为R=10m的圆弧面，二者相切于B点，与水平面相切于C，AC间的竖直高度差为h1=40m，CD为竖直跳台。运动员连同滑雪装备总质量为80kg，从A点由静止滑下，通过C点水平飞出，飞行一段时间落到着陆坡DE上的E点。运动员运动到C点时的速度是20m/s，CE间水平方向的距离x=40m。不计空气阻力，取g=10m/s2。求：
（1）运动员从A点滑到C点过程中阻力做的功；
（2）运动员到达C点时对滑道的压力大小；
（3）运动员落到E点时的瞬时速度大小。
3.如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道是由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．
4．如图所示，由细管道组成的竖直轨道，其圆形部分半径分别是R和，质量为m的直径略小于管径的小球通过这段轨道时，在A点时刚好对管壁无压力，在B点时对管外侧壁压力为(A、B均为圆形轨道的最高点)．求小球由A点运动到B点的过程中摩擦力对小球做的功．
5.如图所示，一个质量为m＝0.6
kg的小球以某一初速度v0＝2
m/s从P点水平抛出，从粗糙圆弧ABC的A点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)且恰好沿圆弧通过最高点C，已知圆弧的圆心为O，半径R＝0.3
m，θ＝60°，g＝10
m/s2.试求：
(1)小球到达A点的速度vA的大小；
(2)P点与A点的竖直高度H；
(3)小球从圆弧A点运动到最高点C的过程中克服摩擦力所做的功W.
6.如图所示，半圆形光滑轨道BC与水平光滑轨道AB平滑连接。小物体在水平恒力F作用下，从水平轨道上的P点，由静止开始运动，运动到B点撤去外力F，小物体由C点离开半圆轨道后落在P点右侧区域。已知PB=3R，求F的范围？
参考答案
1.(1)物体下滑过程中只有重力做功，且重力做功与路径无关，由动能定理：mgh＝mv2，可求得物体滑至斜面底端时速度大小为v＝.
(2)设物体在水平面上滑行的距离为x
由动能定理：－μmgx＝0－mv2
解得：x＝＝.
2.(1)
解得：
(2)
代入数据解得：
由牛顿第三定律可得压力等于支持力，即
(3)运动员过点做平抛运动，在水平方向，由可得运动员下落时间为：
在竖直方向，做自由落体运动，运动员竖直方向速度：
由运动合成得运动员落到点时的瞬时速度大小：
3.
R≤h≤5R
4.答案 －mgR
5.(1)在A处由速度的合成得vA＝
代值解得vA＝4
m/s
(2)P到A小球做平抛运动，竖直分速度vy＝v0tan
θ
由运动学规律有v＝2gH
由以上两式解得H＝0.6
m
(3)恰好过C点满足mg＝
由A到C由动能定理得
－mgR(1＋cos
θ)－W＝mv－mv
代入解得W＝1.2
J.
6.小球能通过C点应满足，且由C点离开半圆轨道后落在P点右侧区域，，对小球从P点到C点由动能定理得，
联立解得
