7.5三角形的内角和(3)学案(第12课)(苏科版七年级下)

第12课 7.5三角形的内角和（3）
学习目标：.探索多边形的外角和公式，并会用公式解决问题.
学习过程：
一、认识多边形的外角、多边形的外角和
1．阅读课本第29页第一段. 如图1，DF是边CD的延长线，∠ 叫做五边形ABCDE的一个外角；多边形的一边与另一边的 所组成的角，叫做多边形的外角.
在多边形的每个顶点处分别取这个多边形的 个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和.
2. 阅读课本第29页“做一做”.
(1) 如图2，∠α、∠β、∠γ是△ABC的三个外角，这三个
角的和就是三角形的外角和. 下面探求∠α+∠β+∠γ=
因为∠1+∠ = 180°①，（平角定义）
∠2+∠ = 180°②，（平角定义） ∠3+∠ = 180°③，（平角定义）
①+②+③，得，∠1+∠ +∠2+∠ +∠3+∠ =3×180°.
又因为∠1+∠2+∠3=180°，（三角形的内角和等于180°）
所以∠α+∠β+∠γ= . 结论1： 。
三角形的外角和等于360°．
(2) 如图3，∠α、∠β、∠γ、∠δ是四边形ABCD
的4个外角，这4个角的和就是四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少呢？
因为∠1+∠ = 180°①， ∠2+∠ = 180°②，
∠3+∠ = 180°③， ∠3+∠ = 180°④，
①+②+③+④，得，∠1+∠ +∠2+∠ +∠3+∠ +∠4+∠ =4×180°
又因为∠1+∠2+∠3+∠4= °，（四边形的内角和等于 °）
所以∠α+∠β+∠γ+∠δ= . 结论2： 。
四边形的外角和等于 °．
(3) 设n边形的n个内角分别是∠1、∠2、∠3、…∠n，与这些内角分别相邻的一个外角分别是∠α1、∠α2、∠α3、…∠αn.
因为∠1+∠α1=180°，∠2+∠α2=180°，∠3+∠α3=180°，…∠n+∠αn=180°,
将这n个式子相加，得∠1+∠α1+∠2+∠α2+∠3+∠α3+…+∠n+∠αn=n180°.
又因为∠1+∠2+∠3+…+∠n=(n 2)180°,
所以∠α1+∠α2+∠α3+…+∠αn=n180° (n 2)180°, 即∠α1+∠α2+∠α3+…+∠αn=360°.
结论：n边形的外角和等于360°. 即任意多边形的外角和等于360°.
二、解决问题：
1. 课本第30页练一练第1题.
设这个多边形的边数为n. 则60 n=360，n=6. 这个多边形是六边形.
它的内角和为：（6 2）×360°= °.
2. 一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的边数是_____.
3. 课本第30页练一练第2题.
解：设这个多边形的边数为n. 根据题意，得 （n 2）×360°=
解这个方程，得n= . 所以这个多边形是 边形.
注：在几何计算题中常用设未知数、列方程的方法来解决.
4. 已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，求这个多边形的边数.
解：设 . 根据题意，得
5. 课本第31页习题第8题. 做在书上. 反过来问：如书上图，如果小明每次转过的角度都为60°，那么这个多边形是 边形；如果小明每次转过的角度都为30°，那么这个多边形是 边形.
三、分类讨论“剪去五边形一个角”
阅读课本第30页“议一议”. 将五边形剪去一个角，分3种情况：
(1)如图4，剩下的多边形ABCDGE为 边形，它的内角和为 ，外角和为 ；
(2)如图5，剩下的多边形ABCDF为 边形，它的内角和为 ，外角和为 ；
(3)如图6，剩下的多边形ABCD为 边形，它的内角和为 ，外角和为 .
四、探究三角形外角和的其他方法
如图7，过点A作AD∥BC. 你能根据图7，说明三角形的外角和等于360°吗？
A
BB
C
E
F
D
图1
A
B
C
α
β
γ
1
2
3
图2
B
A
C
D
1
2
3
4
α
β
γ
δ
图3
图4 图5 图6
A
B
C
D
图7