中小学教育资源及组卷应用平台
18.2.1
矩形（第1课时）矩形的性质
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?和平区期末）如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为
A．5
B．
C．
D．
2．（2020秋?成都期末）如图，在长方形中，平分交于点，连接，若，，则长方形的周长为
A．20
B．22
C．24
D．26
3．（2020秋?渠县期末）在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，，连接，则下面的结论：其中正确的结论有
①是等边三角形；
②是等腰三角形；
③；
④；
⑤．
A．2
个
B．3个
C．4
个
D．5个
4．（2020秋?锦江区期末）如图，矩形的对角线，相交于点，且．过点作于点，则等于
A．
B．
C．
D．
5．（2020秋?北碚区期末）如图，长方形中，，．点为射线上的一个动点，与△关于直线对称，当△为直角三角形时，的长为
A．2或8
B．或18
C．或2
D．2或18
二、填空题
6．（2020秋?高明区期末）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是
．
7．（2020秋?延庆区期末）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形则满足条件的点有
个．
8．（2020秋?白云区期末）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为，宽为的矩形花池，如图，他将画线工具固定在一根木棍的中点处．画线时，使点，都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是
．
9．（2020秋?瓜州县期末）如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，过点作，，垂足分别为、，则
．
10．（2020秋?郫都区期末）如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为
．
三、解答题
11．（2020秋?九江期末）如图，在矩形中，，求证：．
12．（2020秋?三水区期末）如图，四边形是长方形，．点是延长线上一点，点是上一点，并且，．则与有什么数量关系？为什么？
13．（2020秋?平房区期末）已知：在矩形中，点在边上，连接，且，过点作于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于的线段．
14．（2020秋?香坊区月考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
15．（2020秋?天心区期末）如图所示，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18.2.1
矩形（第1课时）矩形的性质
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?和平区期末）如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为
A．5
B．
C．
D．
【解析】解：矩形中，两条对角线与相交于点，，
，
又，，
，
，
故选：．
2．（2020秋?成都期末）如图，在长方形中，平分交于点，连接，若，，则长方形的周长为
A．20
B．22
C．24
D．26
【解析】解：四边形是长方形，
，，
，，
，
则，
平分交于点，
，
，
，
，
，
长方形的周长为：．
故选：．
3．（2020秋?渠县期末）在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，，连接，则下面的结论：其中正确的结论有
①是等边三角形；
②是等腰三角形；
③；
④；
⑤．
A．2
个
B．3个
C．4
个
D．5个
【解析】解：平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
矩形中：，
是等边三角形，是等边三角形，故①正确；
，，
，
是等腰三角形，故②正确；
，
，，故③错误；
，故④错误；
，
，故⑤正确；
故选：．
4．（2020秋?锦江区期末）如图，矩形的对角线，相交于点，且．过点作于点，则等于
A．
B．
C．
D．
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
5．（2020秋?北碚区期末）如图，长方形中，，．点为射线上的一个动点，与△关于直线对称，当△为直角三角形时，的长为
A．2或8
B．或18
C．或2
D．2或18
【解析】解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，
△，
，
，
，
、、三点共线，
，，
，
，
；
②当点在线段的延长线上时，如下图，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
综上所知，或18．
故选：．
二、填空题
6．（2020秋?高明区期末）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是 4 ．
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
即，
故答案为：4．
7．（2020秋?延庆区期末）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形则满足条件的点有 5 个．
【解析】解：如图，作或的垂直平分线交于，
如图，在上作点，使，同理，在上作点，使，
如图，在长方形外上作点，使，同理，在长方形外上作点，使，
综上所述，符合条件的点有5个．
故答案为：5．
8．（2020秋?白云区期末）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为，宽为的矩形花池，如图，他将画线工具固定在一根木棍的中点处．画线时，使点，都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是 ．
【解析】解：连接，如图：
由题意可知为的斜边中线，
，
，
，，
点的运动轨迹为四个圆心分别在点，，，，半径为的四分之一圆，以及和上的一段线段．
长为，宽为的矩形花池的面积为．
种植年花的区域的面积是：．
故答案为：．
9．（2020秋?瓜州县期末）如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，过点作，，垂足分别为、，则 ．
【解析】解：连接，如图：
四边形是矩形，
，，，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
10．（2020秋?郫都区期末）如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为 ．
【解析】解：如图，连接，过点作于，交于．
四边形是矩形，点是的中点，
点是对角线，的交点，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
11．（2020秋?九江期末）如图，在矩形中，，求证：．
【解析】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
12．（2020秋?三水区期末）如图，四边形是长方形，．点是延长线上一点，点是上一点，并且，．则与有什么数量关系？为什么？
【解析】解：，
理由如下，四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
．
13．（2020秋?平房区期末）已知：在矩形中，点在边上，连接，且，过点作于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于的线段．
【解析】证明：（1）四边形是矩形，，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），，的长度等于，
理由如下：，
，
，
，
，
，
，
，
．
14．（2020秋?香坊区月考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
；
（2）解：由（1），
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
．
15．（2020秋?天心区期末）如图所示，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
在和中，，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
，，
，
由（1）知，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
又，
，
而中，，
，
，
．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共17张PPT)
人教版
八年级数学下册
18.2.1
矩形（第1课时）
3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理．（重点）
1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题．（重点）
学习目标
（1）请用两两相等的四根木棒拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形形状唯一吗？
（2）改变平行四边形的形状，你能拼出面积最大的平行四边形吗？这时这个平行四边形的内角是多少度？
新课导入
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
探索新知
具备平行四边形所有的性质
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
矩形的一般性质：
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
观察内角和对角线的变化
证明猜想1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴
∠A=90°.
又矩形ABCD是平行四边形,
∴
∠A=∠C
,
∠B
=
∠D,
∠A
+∠B
=
180°,
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC
=
BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中,
∵∠ABC
=
∠DCB
=
90°.
又∵AB
=
DC
，
BC
=
CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC
=
BD
,即矩形的对角线相等.
证明猜想2:矩形的对角线相等.
A
B
C
D
E
F
G
H
.
矩形是轴对称图形，对称轴有2条.
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
矩形的
两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形
的两条对角线相等
边
对角线
角
矩形的性质
设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
它与AC有什么大小关系?为什么?
D
B
C
A
E
由此可得推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
BE等于AC的一半.
∵
AC=BD,BE=DE,
例:
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？
∴AC与BD相等且互相平分,
∴
OA=OB.
∵
∠AOB=60°,
∴
△AOB是等边三角形,
∴
OA=AB=4(㎝),
∴
矩形的对角线长
AC=BD=2OA=8(㎝).
解：∵
四边形ABCD是矩形,
D
C
B
A
o
1.
矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
2.
已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为
(
)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
D
当堂巩固
四边形ABCD是矩形
3.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝_______
㎝,OB=_______
㎝.
4.若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____
cm,
矩形的面积＝_______
㎝2.
5.
若已知
∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=
_____cm.
O
D
C
B
A
5
10
12
48
28
6.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.
求矩形对角线的长.
D
B
C
A
O
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两
条对称轴．
矩形
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分．
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
