17.1.2
勾股定理的实际应用
如图，有两棵树，一棵高10
m，另一棵高4
m，两树相距8
m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8
m
B．10
m
C．12
m
D．14
m
【点拨】＝10(m)，
∴小鸟至少飞行10
m.
如图，在高为3
m，斜坡长为5
m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要为( D )
A．4
m
B．5
m
C．6
m
D．7
m
如图，
∠ACB＝90°，以
Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为
S1，S2
，S3
，且S1
＝1，S2＝3
，则S3
为( B
)
A．3
B．4
C．5
D．9
(2020·河北)如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6
km到达l；从P出发向北走6
km也到达l，下列说法错误的是( D )
A.
从点P向北偏西45°走3
km到达l
B.
公路l的走向是南偏西45°
C.
公路l的走向是北偏东45°
D.
从点P向北走3
km后，再向西走3
km到达l
【点拨】如图，D为BP的中点，C为AB的中点．连接PC，CD.由题意可得△PAB是腰长为6
km的等腰直角三角形，则AB＝6
km，所以PC＝3
km，则从点P向北偏西45°走3
km到达l，选项A错误；公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；从点P向北走3
km后到达D点，再向西走3
km到达l
上的C点，选项D正确．
《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.
问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( D )
A.
x2－6＝(10－x)2
B.
x2－62＝(10－x)2
C.
x2＋6＝(10－x)2
D.
x2＋62＝(10－x)2
【2020·广西北部湾经济区】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是( C )
A．50.5寸
B．52寸
C．101寸
D．104寸
【点拨】如图所示．
由题意得OA＝OB＝AD＝BC，DE＝1尺＝10寸，OE＝CD＝1寸．设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r寸，AE＝(r－1)寸．
在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即(r－1)2＋102＝r2，解得r＝50.5.∴2r＝101，∴AB＝101寸．【答案】C
如图，一个梯子AB长2.
5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.
5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.
9米，则梯子顶端A下移了( B )
A.
0.
9米
B.
1.
3米
C.
1.
5米
D.
2米
如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( B )
A．5
B．25
C．10＋5
D．35
【点拨】将长方体的表面展开，可得需要爬行的最短距离是＝25.
本题易考虑不全面，不能准确地找出最短路径而致错．【答案】
B
(中考·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( B )
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
【点拨】由题易知∠CBA＝∠A＝45°.
如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，
使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P′，连接CP′，
此时DP′＋CP′＝DP′＋P′C′＝DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BP′＝∠CBP′＝45°，
∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°.
∴BC＝BC′＝3＋1＝4.
根据勾股定理可得DC′＝＝＝5.
【答案】B
(中考·安徽)如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S长方形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( D )
A.
B.
C.
5
D.
【点拨】设△PAB中AB边上的高是h.∵S△PAB＝S长方形ABCD，
∴AB·h＝AB·AD，∴h＝AD＝2.
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE的长就是所求的最短的距离之和．
在Rt△ABE中，
∵AB＝5，AE＝2＋2＝4，
∴BE＝＝＝，即PA＋PB的最小值为.
【答案】D
(2019·江苏南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图，将一根长为20
cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有_____5___cm.
如图，是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB长为
20
．
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20
dm，3
dm，2
dm，点A和点B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是____25____dm.
（2020秋?金牛区校级月考）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 24 秒．
【点拨】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB60（m），
∴CD＝2CB＝120（m），
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
故答案为：24．
【中考·黄冈】如图，圆柱形玻璃杯高为14
cm，底面周长为32
cm，在杯内壁离杯底5
cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3
cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____20____cm(杯壁厚度不计)．
【点拨】本题考查最短路径问题．沿过点A的圆柱的高展开圆柱的侧面，得出长方形EFGH，过点B作BQ⊥EF于点Q，作点A关于EH的对称点A′，连接A′B交EH于点P，连接AP，如图所示，则AP＋PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．
易知A′P＝AP，∴AP＋PB＝A′P＋PB＝A′B.
∵BQ＝×32＝16(cm)，A′Q＝14－5＋3＝12(cm)，
∴在Rt△A′QB中，由勾股定理得A′B＝＝20(cm)．
有一辆装满货物的卡车，高5
m，宽3.
2
m(货物的顶部是水平的)，要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4
m，长方形竖直的一条边长是4.
6
m.
这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由；
(2)为了减少交通拥堵，交通部门想把该隧道改为双向隧道，这时这辆卡车能通过这条隧道吗？
(1)解：能通过．理由如下：
如图，设O为半圆的圆心，AB为半圆的直径，在OB上截取OE＝3.2÷2＝1.6(m)，过点E作EF⊥AB交半圆于点F，连接OF.
在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即22＝1.62＋EF2，所以EF＝1.2
m，因为1.2＋4.6＝5.8(m)>5
m，
所以这辆卡车能通过此隧道．
(2)：当把该隧道改为双向隧道时，4÷2＝2(m)<3.2
m，
所以这时这辆卡车不能通过这条隧道．
在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30
cm(如图)．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60
cm，请问水深多少？
【点拨】本题利用了方程思想，解题的关键是根据题意画出图形，再利用勾股定理列方程求解．
解：设水深h
cm.
如图，在Rt△ABC中，AB＝h
cm，AC＝(h＋30)cm，BC＝60
cm.
由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(h＋30)2＝h2＋602，解得h＝45.?
答：水深45
cm.
在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图①，小明据此构造出该岛的一个数学模型(如图②中的四边形ABCD)来求岛屿的面积，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米，请求出四边形ABCD的面积(结果保留根号)．
解：如图，连接AC.
∵AB＝BC＝15千米，∠B＝90°，∴AC＝15千米．
又∵∠D＝90°，∴AD＝＝12千米．
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝(＋18)平方千米．
如图，为了美化校园，学校准备在三边长分别是13
m，13
m，10
m和7
m，8
m，9
m的两块三角形空地上种植花草，你能分别计算出这两块空地的面积吗？如果能，请写出你的计算过程．
【点拨】求三角形的面积，必须知道底和高，本题中高未知，故需过点A作BC边上的高，利用勾股定理求高．
解：能．
如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB＝AC＝13
m，BC＝10
m，∴BD＝CD＝5
m.
∴AD＝＝＝12(m)．
∴S△ABC＝·BC·AD＝×10×12＝60(m2)．
如图②，过点A作AE⊥BC，垂足为E.设BE＝x
m，则CE＝(9－x)m.在Rt△ABE与Rt△ACE中，AE2＝AB2－BE2＝AC2－CE2，即64－x2＝49－(9－x)2，解得x＝，
∴AE＝＝＝(m)．
∴S△ABC＝×9×＝12(m2)．即图①中空地的面积为
60
m2，图②中空地的面积为12
m2.
(2020·青海)某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端点P的仰角是45°，向前走60米到达点B测得点P的仰角是60°，测得发射塔底部点Q的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．(结果精确到0.1
米，≈1.732)
解：∵∠PAC＝45°，∠PCA＝90°，∴AC＝PC，
∵∠PBC＝60°，∠QBC＝30°，∠PCA＝90°，
∴∠BPQ＝∠PBQ＝30°，∴BQ＝PQ，CQ＝BQ，
设BQ＝PQ＝x，则CQ＝BQ＝x，
根据勾股定理可得BC＝＝x，
所以AB＋BC＝PQ＋QC即60＋x＝x＋x，
解得x＝60＋20≈60＋20×1.732＝94.64≈94.6，
答：PQ的高度为94.6米．
（2020秋?海勃湾区期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：1.41，1.73）．
【点拨】解直角三角形得到AB＝OA﹣OB＝73米，求得此车的速度≈86千米/小时＞80千米/小时，于是得到结论．
【解析】此车超速，
理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝100米，
∵∠APO＝60°，
∴OAOP＝100173米，
∴AB＝OA﹣OB＝73米，
∴24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，
∴此车超速．
22．（2020秋?郫都区期中）如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．
（1）求出点A到点B的距离；
（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
【点拨】（1）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB即可；
（2）根据（1）的结果进行大小比较即可得到结论．
【解析】（1）将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB15cm；
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB10cm，
则需要爬行的最短距离是15cm．
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB5cm，
综上所述，点A到点B的距离为：15cm，10cm，5cm；
（2）由（1）知，∵点A到点B的距离为：15cm，10cm，5cm；
∴15105，
∴则需要爬行的最短距离是15cm．17.1.2
勾股定理的实际应用
如图，有两棵树，一棵高10
m，另一棵高4
m，两树相距8
m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( )
A．8
m
B．10
m
C．12
m
D．14
m
如图，在高为3
m，斜坡长为5
m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要为( )
A．4
m
B．5
m
C．6
m
D．7
m
如图，
∠ACB＝90°，以
Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为
S1，S2
，S3
，且S1
＝1，S2＝3
，则S3
为(
)
A．3
B．4
C．5
D．9
(2020·河北)如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6
km到达l；从P出发向北走6
km也到达l，下列说法错误的是( )
A.
从点P向北偏西45°走3
km到达l
B.
公路l的走向是南偏西45°
C.
公路l的走向是北偏东45°
D.
从点P向北走3
km后，再向西走3
km到达l
《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.
问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A.
x2－6＝(10－x)2
B.
x2－62＝(10－x)2
C.
x2＋6＝(10－x)2
D.
x2＋62＝(10－x)2
【2020·广西北部湾经济区】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是( )
A．50.5寸
B．52寸
C．101寸
D．104寸
如图，一个梯子AB长2.
5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.
5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.
9米，则梯子顶端A下移了( )
A.
0.
9米
B.
1.
3米
C.
1.
5米
D.
2米
如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A．5
B．25
C．10＋5
D．35
(中考·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( )
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
(中考·安徽)如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S长方形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( )
A.
B.
C.
5
D.
(2019·江苏南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图，将一根长为20
cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有________cm.
如图，是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB长为
．
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20
dm，3
dm，2
dm，点A和点B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是________dm.
（2020秋?金牛区校级月考）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 秒．
【中考·黄冈】如图，圆柱形玻璃杯高为14
cm，底面周长为32
cm，在杯内壁离杯底5
cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3
cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计)．
有一辆装满货物的卡车，高5
m，宽3.
2
m(货物的顶部是水平的)，要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4
m，长方形竖直的一条边长是4.
6
m.
这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由；
(2)为了减少交通拥堵，交通部门想把该隧道改为双向隧道，这时这辆卡车能通过这条隧道吗？
在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30
cm(如图)．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60
cm，请问水深多少？
在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图①，小明据此构造出该岛的一个数学模型(如图②中的四边形ABCD)来求岛屿的面积，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米，请求出四边形ABCD的面积(结果保留根号)．
如图，为了美化校园，学校准备在三边长分别是13
m，13
m，10
m和7
m，8
m，9
m的两块三角形空地上种植花草，你能分别计算出这两块空地的面积吗？如果能，请写出你的计算过程．
(2020·青海)某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端点P的仰角是45°，向前走60米到达点B测得点P的仰角是60°，测得发射塔底部点Q的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．(结果精确到0.1
米，≈1.732)
（2020秋?海勃湾区期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：1.41，1.73）．
22．（2020秋?郫都区期中）如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．
（1）求出点A到点B的距离；
（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
