17.1.1勾股定理
1．下列说法正确的是( D )
A．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
2.
已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为( C )
A．5
B.
C.或5
D．不确定
【点拨】本题中斜边未定，故需分类讨论．当斜边长为4时，第三边长为＝；
当斜边为第三边时，第三边长为＝5.
如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为( B )
A.
B．3
C.
D．5
【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°.
∴BC2＝EC2－EB2＝22－12＝3.
∴正方形ABCD的面积为BC2＝3.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE＝BE，AD＝2，CE＝5，则CD等于( C )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
4.
5
5.
(2020·陕西)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为( D )
A.
B.
C.
D.
【点拨】由勾股定理得AC＝＝.
∵S△ABC＝3×3－×1×2－×1×3－×2×3＝，
∴AC·BD＝，∴·BD＝7，
∴BD＝.【答案】D
6
.
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( D
)
A．3
B．4
C．5
D．7
直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2＋b2＝c2；②ab＝ch；③＋＝.其中正确的是( B
)
A．①
B．①②③
C．①②
D．①③
勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( C )
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【点拨】设直角三角形三边长是a，b，c(c＞a＞b)，则阴影部分的面积是(c－a)(c＋a－b)，较小两个正方形重叠部分的面积是b(b＋a－c)，(c－a)(c＋a－b)＝(c－a)(c＋a)－b(c－a)＝c2－a2＋b(a－c)＝b2＋b(a－c)＝b(b＋a－c)．故选C.
【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( C )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【点拨】由题易知△ABC的边BC上的高h＝＝3，所以当线段AD长为3时，点D有1个，当线段AD长为4时，点D有2个，则点D的个数共有3个．【答案】
C
(2020·金华)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.
连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P，若GO＝GP，则的值是( B )
A.
1＋
B.
2＋
C.
5－
D.
【点拨】∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°.
∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°.
又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC.
又∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG(ASA)，
∴PG＝CG.
设OG＝PG＝CG＝x，易知EG＝2x，FG＝x.
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，∴BG＝x＋x，
∴BC2＝BG2＋CG2＝x2(＋1)2＋x2＝(4＋2)x2，
∴＝＝2＋.
【答案】B
在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是______5______．
(2020·黑龙江)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是___17_____．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长为___4___．
在Rt△ABC中，a∶b＝2∶3，c＝，则a＝___2或2__________.
(2020·孝感)如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.
在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为________.
【点拨】设直角三角形较短的一条直角边长为x，由S1＝S2可得2x2＝m2，解得x＝m(负值舍去)．由勾股定理得＋＝m2，化简得m2－2mn－2n2＝0，解得m1＝(1－)n(舍去)，m2＝(1＋)n，则的值为.
【答案】
【2020·雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝___20_____．
【点拨】∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.由勾股定理得，AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，
AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
∵AD＝2，BC＝4，∴AB2＋CD2＝22＋42＝20.
【答案】20
【2020·娄底】由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a－b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0，b＞0且a2＋b2为定值，则当a___=_____b时，ab取得最大值．
【点拨】如图，在直角三角形中，两直角边长为a，b，
斜边长为c，则有a2＋b2＝c2.
作直角三角形斜边上的高h，易知ab＝ch，即ab＝ch.∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2－2ab≥0.又∵a2＋b2＝c2，a2＋b2为定值，∴ab≤，∴ab的最大值为.当ab取最大值时，ab＝＝ch，∴h＝.
要想使直角三角形中斜边上的高等于斜边的一半，则此直角三角形为等腰直角三角形，即a＝b.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＋BC＝3＋，求BC的长．
解：设AC＝x.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2x.
∴BC＝＝x.
由题意，得x＋x＝3＋，
解得x＝，∴BC＝x＝3.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°.如果AB＝，求CD的长．
解：如答图，过点D作DE⊥BC于点E.
∵AB＝AD，∠A＝90°，∴AD＝AB＝，
∴由勾股定理，得BD＝＝2.
∵∠CBD＝30°，∴DE＝BD＝×2＝1.
∵在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠C＝45°，
∴CE＝DE＝1，
由勾股定理，得CD＝＝.
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20
m，BC＝15
m，CD＝7
m，求四边形ABCD的面积.
【点拨】将不规则四边形分割成特殊的三角形，再利用特殊的三角形性质求面积．
解：如图，连接AC.
因为∠B＝∠D＝90°，
所以△ABC与△ACD都是直角三角形．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则AC＝25
m.
在Rt△ACD中，
根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则AD＝24
m.
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AD·CD＝×20×15＋×24×7＝234(m2)．
如图，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的点F处.
已知AB＝8
cm，BC＝10
cm，求EC的长.
解：根据题意，得△AFE≌△ADE，
所以AF＝AD＝BC＝10
cm，EF＝ED.
所以EF＋EC＝DC＝AB＝8
cm.
在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，
所以BF＝6
cm.
所以FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．
设EC＝x
cm，则EF＝DC－EC＝(8－x)
cm.
在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，
即x2＋42＝(8－x)2.
解这个方程，得x＝3，
即EC的长为3
cm.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.
(1)求PD的长度；
(2)连接PC，求PC的长度．
【点拨】求线段的长时，若没有直角三角形，常作三角形一边上的高，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
(1)解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝AB＝2，∠ADP＝90°.
∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°.
∴∠APD＝∠PAD＝45°.∴PD＝AD＝2.
(2)：作PF⊥AC于点F.
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，
∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°.∴∠APF＝∠PAF＝45°.
∴AF＝PF＝2.∴FC＝AC－AF＝1.
在Rt△PFC中，PC＝＝.
如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上的高的长.
(1)解：因为DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，
所以在Rt△BCD中，根据勾股定理得DB＝3.
(2)：如图，延长BD至E，使DE＝DB，连接AE.
因为D是AC边的中点，
所以AD＝CD.
在△EDA和△BDC中，
所以△EDA≌△BDC(SAS)．所以∠DAE＝∠DCB.
所以AE∥BC.
因为DB⊥BC，所以△ABC中BC边上的高的长等于BE的长．
易知BE＝2BD＝6，所以在△ABC中，BC边上的高的长为6.17.1.1勾股定理
1．下列说法正确的是( )
A．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
2.
已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为( )
A．5
B.
C.或5
D．不确定
如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为( )
A.
B．3
C.
D．5
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE＝BE，AD＝2，CE＝5，则CD等于( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
4.
5
5.
(2020·陕西)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为( )
A.
B.
C.
D.
6
.
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(
)
A．3
B．4
C．5
D．7
直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：①a2＋b2＝c2；②ab＝ch；③＋＝.其中正确的是(
)
A．①
B．①②③
C．①②
D．①③
勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
(2020·金华)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.
连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P，若GO＝GP，则的值是( )
A.
1＋
B.
2＋
C.
5－
D.
在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是____________．
(2020·黑龙江)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，则AB的长是________．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长为______．
在Rt△ABC中，a∶b＝2∶3，c＝，则a＝____________.
(2020·孝感)如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.
在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为_______.
【2020·雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝________．
【2020·娄底】由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a－b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0，b＞0且a2＋b2为定值，则当a_______b时，ab取得最大值．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＋BC＝3＋，求BC的长．
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°.如果AB＝，求CD的长．
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20
m，BC＝15
m，CD＝7
m，求四边形ABCD的面积.
如图，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的点F处.
已知AB＝8
cm，BC＝10
cm，求EC的长.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.
(1)求PD的长度；
(2)连接PC，求PC的长度．
如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上的高的长.
