2020--2021学年人教版 八年级数学下册 第十八章 平行四边形 综合训练（word含答案）

人教版 八年级数学下册 第十八章 平行四边形 综合训练
一、选择题
1. 四边形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，当点在上从向移动而点不动时，那么下列结论成立的是 （ ）
A．线段的长逐渐增大
B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变
D．线段的长与点的位置有关
2. 如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是 (　　)
A.AB=BC B.∠ACB=60°
C.∠B=60° D.AC=BC
3. （2020·贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　）
A．5 B．20 C．24 D．32
4. （2020·滨州）下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
5. （2020·安顺）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A.5 B.20 C.24 D.32
6. （2020·邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
(1)将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处,
(2)将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于占M.
若P1M⊥AB,则∠DP1M的大小是（ ）
A.135° B. 120° C. 112.5° D.115°
7. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：
①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
　　　　　　
8. （2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤
二、填空题
9. 如图，在平行四边形中，，，于，则 ．

10. 如图，已知正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，且
，则的长为
11. 一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和2,则它的面积为　　　　.?
12. 如图，一个平行四边形被分成面积为、、、四个小平行四边形，当沿自左向右在平行四边形内平行滑动时．
① 与的大小关系为 ．
② 已知点与点、不重合时，图中共有 个平行四边形，

13. 如图，已知等边三角形的边长为，是内一点，，，点分别在上，则

14. （2020·株洲）如图所示，点D、E分别是的边AB、AC的中点，连接BE，过点C做，交DE的延长线于点F，若，则DE的长为________．
15. （2020·天津）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
16. 若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为 ．
三、解答题
17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.
18. 如图，将?ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证:△ABD≌△BEC;
(2)若∠BOD=2∠A，求证:四边形BECD是矩形.
19. （2020·鄂州）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，延长至点E，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，，求四边形的面积．
20. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

21. 如图，矩形中，，现将重合，使纸片折叠压平，设折痕为，试确定重叠部分的面积．
22. 如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置
⑴画出平移后的三角形；
⑵连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长；
⑶当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？
23. 如图⑴，四边形中，若，则必然等于.请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形中取一点，使得，求证：.

人教版 八年级数学下册 第十八章 平行四边形 综合训练-答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】连结，利用三角形的中位线可得与点无关．
2. 【答案】D　[解析] ∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,∴AD∥CE,且AD=CE,
∴四边形ACED为平行四边形.
当AC=BC=CE时,平行四边形ACED是菱形.故选D.
3. 【答案】 B．
4. 【答案】D
【解析】本题考查了正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，因此本题选D．
5. 【答案】
B【解析】 在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，根据菱形的对角线互相平分且垂直，得到OA=3，OD=4，利用勾股定理得到AD=5.所以菱形的周长为20.
6. 【答案】 C
【解析】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、矩形的性质，由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．
解：由折叠知，，
∴，即，
由折叠可得，
∴，
∴在中，，因此本题选C．
7. 【答案】D　【解析】逐项分析如下表：
序号 逐项分析 正误
① 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∵EF∥AD，∴四边形EFDA、四边形EFCB是矩形，∴∠EFC＝∠ADC＝90°，EF＝DC，在Rt△CGF中，∠ACD＝45°，∴GF＝CF，∴EF－GF＝CD－CF，即EG＝DF √
② ∵△GFC是等腰直角三角形，H是CG的中点，∴GH＝FH，∠HGF＝∠GFH＝45°，∴∠EGH＝∠DFH＝135°，又由①知EG＝DF，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠HEF＝∠FDH，∵∠AEH＝∠AEF＋∠HEF＝90°＋∠HEF，∠ADH＝∠ADC－∠FDH＝90°－∠FDH，∴∠AEH＋∠ADH＝180° √
③ 由②可知EH＝DH，FH＝CH，又∵EF＝DC，∴△EHF≌△DHC(SSS) √
④ ∵△EGH≌△DFH，∴EH＝DH，∠EHG＝∠DHF，∴∠EHG＋∠AHD＝∠DHF＋∠AHD＝90°，即∠EHD＝∠AHF＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，∵＝，∴设AE＝2x，AB＝3x，则DE＝＝x，∴EH＝DH＝×x＝x，∴S△EDH＝EH2＝×x2＝x2. 在△DHC中，设CD边上的高为h，则h＝CF＝，则S△DHC＝CD·h＝×3x×＝x2，＝＝，即3S△EDH＝13S△DHC √
8. 【答案】B
【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论．
①∵正方形ABCD，∴∠APE=∠AME=45°，∵PM⊥AE，∴∠AEP=∠AEM=90°，∵AE=AE，∴△APE≌△AME（ASA）；
②过点N作NQ⊥AC于点Q，则四边形PNQE是矩形，∴PN=EQ，∵正方形ABCD，∴∠PAE=∠MAE=45°，∵PM⊥AE，∴∠PEA=45°，∴∠PAE=∠APE，PE=NQ，∴△APE等腰直角三角形，∴AE=PE，同理得：△NQC等腰直角三角形，∴NQ=CQ，∵△APE≌△AME，∴PE=ME，∴PE=ME= NQ=CQ，∴PM=AE+CQ，∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即PM+PN=AC成立；
③∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠EOF是直角，∵过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，∴∠PEO和∠PFO是直角，∴四边形PFOE是矩形，∴PF=OE，在Rt△PEO中，有PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，即PE2+PF2=PO2成立；
④△BNF是等腰直角三角形，点P不在AB的中点时，△POF不是等腰直角三角形，所以△POF与△BNF不一定相似，即△POF∽△BNF不一定成立；
⑤∵△AMP是等腰直角三角形，△PMN∽△AMP，∴△PMN是等腰直角三角形，∵∠MPN=90°，∴PM=PN，∵AP=PM，BP=PN，∴AP=BP，∴点P是AB的中点，又∵O为正方形的对称中点，∴点O在M、N两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B．
二、填空题
9. 【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形
∴
又∵
∴，∴
又∵，∴
∴．
10. 【答案】
11. 【答案】4　[解析] ∵平行四边形的两条对角线互相平分,∴它们的一半分别为2和.
∵22+()2=32,
∴两条对角线互相垂直,
∴这个四边形是菱形,面积S=×4×2=4.
12. 【答案】①；②
13. 【答案】
14. 【答案】
【解析】先证明DE为的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC=EF=3，根据中位线定理即可求解．
∵D、E分别是的边AB、AC的中点，
∴DE为的中位线，
∴DE∥BC，，
∵，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC=EF=3，
∴．
故答案为：
15. 【答案】
【解析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
16. 【答案】（如图1）或（如图2）．

三、解答题
17. 【答案】
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形.
(2)BC=2CD.理由:
∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，∴AD=2CD，
∵AD=BC，∴BC=2CD.
18. 【答案】
[解析](1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可;(2)欲证明四边形BECD是矩形，只需推出BC=ED即可.
证明:(1)在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.
又∵BE=AB，∴BE=DC，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=EC.
在△ABD与△BEC中，
∴△ABD≌△BEC(SSS).
(2)由(1)知四边形BECD是平行四边形，
则OD=OE，OC=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴BC=ED，
∴平行四边形BECD是矩形.
19. 【答案】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，ABCD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠DCA，
又点M，N分别为、的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)BD＝2BO，又已知BD＝2AB，
∴BO＝AB，∴△ABO为等腰三角形；
又M为AO的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO，
∴∠BMO＝∠EMO＝90°，
同理可证△DOC也为等腰三角形，
又N是OC的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN⊥CO，
∠DNO＝90°，
∵∠EMO＋∠DNO＝90°＋90°＝180°，
∴EMDN，
又已知EM＝BM，由(1)中知BM＝DN，
∴EM＝DN，
∴四边形EMND平行四边形，
又∠EMO＝90°，∴四边形EMND为矩形，
在Rt△ABM中，由勾股定理有：，
∴AM＝CN＝3，
∴MN＝MO＋ON＝AM＋CN＝3＋3＝6，
∴．
20. 【答案】
(1)证明：∵△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAC＝∠DAE，(1分)
∵AB＝AC，
∴AD＝AB＝AE＝AC，∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中
∵，
∴△AEC≌△ADB(SAS)．(3分)
(2)解：当四边形ADFC是菱形时，AC＝DF，AC∥DF，
∴∠BAC＝∠ABD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABD＝45°，(5分)
又∵△ADE是由△ABC绕点A沿顺时针方向旋转而得，
∴AD＝AB，
∴∠DAB＝90°，(6分)
又∵AB＝2，
由勾股定理可得：BD＝＝AB＝2，
在菱形ADFC中，DF＝AD＝AB＝2，
∴BF＝BD－DF＝2－2.(8分)
21. 【答案】
【解析】
如图，连结，因折叠后重合，
所以，
∵，∴
∴
又
得，于是可得
22. 【答案】
⑴如图，就是所要作的三角形
⑵因为平移到，所以且，四边形是平行四边形，所以，矩形中，，所以，又因为，，所以四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长
⑶当点是的交点时，四边形是菱形，理由：如图，矩形中，，又因为，可得，所以 四边形是菱形
23. 【答案】
分别过点、作，，交于点，连接．
∵，
∴，，，
∵，，∴，
∴为平行四边形，∴
∵，∴≌，∴
在四边形中，
∴，∴