2020-2021学年苏科版七年级数学下册 第7章 平面图形的认识（二）章末解答题突破训练（一）（word版含解析）

七年级数学下册
第7章
平面图形的认识（二）
章末解答题突破训练（一）
1．已知AB∥CD．
（1）如图1，EOF是直线AB、CD间的一条折线，猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DF所在直线交于点E，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）；
（3）在（2）的前提下将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）．
2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是　
　度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是　
　．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是　
　度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
3．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
4．已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．
（1）∠DBC+∠DCB＝　
　度；
（2）过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．
5．如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
6．完成下面的证明：
如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°．
证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A＝∠CED（　
　）
又∵∠BFD＝∠CED（已知），
∴∠A＝∠BFD（　
　）
∴DF∥AE（　
　）
∴∠EGF+∠AEG＝180°（　
　）
7．若∠C＝α，∠EAC+∠FBC＝β．
（1）如图1，若AE∥BF，则α与β有何关系？　
　（直接写出结果）；
（2）如图2，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，判断α与β的关系，并说明理由；
（3）若∠EAC的平分线与∠FBC平分线交于点P，试探究∠APB与α、β的关系　
　（直接写出结果，用含α、β的代数式表示∠APB）；
（4）如图3，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2…依此类推，则∠P4＝　
　（用含α、β的代数式表示）；∠Pn＝　
　（n是整数，且n≥2，用含α、β、n的代数式表示）．
8．（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝60°，根据　
　可得∠BCD＝　
　°；
②如图2，在①的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠BCM＝　
　°；
③如图3，在①、②的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN＝　
　°．
（2）尝试解决下面问题：已知如图4，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．
9．如图，先填空后证明．
已知：∠1+∠2＝180°，求证：a∥b．
证明：∵∠1＝∠3　
　，
∠1+∠2＝180°　
　
∴∠3+∠2＝180°　
　
∴a∥b　
　
请你再写出另一种证明方法．
10．如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI与HI交于点I．
（1）如图1，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，求∠EIH的度数．
（2）如图2，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，其他条件不变，求∠EIH的度数．
（3）如图3，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG的平分线EJ于点J．其他条件不变，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，求∠EJH的度数．
11．探究：如图①，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空
解：∵DE∥BC
∴∠DEF＝　
　．（　
　）
∵EF∥AB，
∴　
　＝∠ABC．（　
　）
∴∠DEF＝∠ABC．（等量代换）
∵∠ABC＝50°，
∴∠DEF＝　
　．
应用：如图②，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，若∠ABC＝65°，则∠DEF＝　
　．
12．如图，将三角形ABC沿射线BA方向平移到三角形A′B′C′的位置，连接AC′．
（1）AA′与CC′的位置关系为　
　；
（2）求证：∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝180°；
（3）设∠AC′B′＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC′与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．
13．如图，直线MA∥NB．
（1）如图1，你能得到∠APB＝∠A+∠B这个结论正确吗？并说明你的理由；
（2）如图2，请直接写出∠A，∠B，∠P1，∠P2，∠P3之间的关系　
　．
（3）如图3，请直接写出∠A，∠B，∠P1……∠P2n+1之间的关系　
　．
14．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图2，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转至原位置，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值．
（2）如图1，若两灯同时转动，在灯A射线第一次转到AN之前，两灯射出的光线交于点C，若∠C＝70°，求∠BAC的度数．
（3）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次转到BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
15．（1）如图1，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数．
小明想到了以下方法（不完整），请填写以下结论的依据：
如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（　
　）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（　
　）
∴∠2+∠PFD＝180°．（　
　）
∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
（2）如图2，AB∥CD，点P在AB，CD外，问∠PEA，∠PFC，∠P之间有何数量关系？请说明理由；
（3）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠P＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数是　
　．（直接写出答案，不需要写出过程）
参考答案
1．解：（1）如图1，过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥0M，
∴∠1＝∠EOM，∠3＝∠FOM，
∵∠EOF＝∠EOM+∠FOM，
∴∠2＝∠1+∠3，
（2）如图2，过E作EN∥AB，则EN∥AB∥CD，
∴∠BEN＝∠ABE，∠DEN＝∠CDE
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝α+β，
答：∠BED＝α+β，
（3）如图3，过E作EP∥AB，则EP∥AB∥CD，
∴∠PED＝∠EDC，∠PEB+∠ABE＝180°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∴∠BED＝∠PED+∠PEB＝α+（180°﹣β）
＝α﹣β+180°，
答：∠BED＝α﹣β+180°．
2．解：（1）
①∵∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30；
（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）①∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
故答案为：45°；
②∵BC∥DA，
∴∠A+∠ACB＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．
3．解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣112°＝68°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×68°＝34°；
（2）∠OBC：∠OFC的值不变．
∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝∠AOC＝×68°＝17°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣112°﹣17°＝51°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝51°．
4．解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
而∠D＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°；
故答案为90；
（2）在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，
而∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，
∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．
又∵MN∥DE，
∴∠ABD＝∠BAN．
而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．
5．证明：（1）∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
6．证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A＝∠CED（两直线平行，同位角相等）
又∵∠BFD＝∠CED（已知），
∴∠A＝∠BFD（等量代换）
∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）
∴∠EGF+∠AEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
7．解：（1）过点C作CM∥AE，如答图1所示．
∵CM∥AE，
∴∠EAC＝∠ACM．
∵CM∥AE，AE∥BF，
∴CM∥BF，
∴∠FBC＝∠BCM．
∵∠ACB＝∠ACM+∠BCM＝α，∠EAC+∠FBC＝β，
∴α＝β．
故答案为：α＝β．
（2）α＝β．理由如下：
过点C作CG∥AM，如答图2所示．
∵CG∥AM，AM∥BN，
∴AM∥BN∥CG，
∴∠MAC＝∠ACG，∠NBC＝∠BCG，
∵AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，
∴∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝∠MAC+∠NBC＝∠EAC+∠FBC＝（∠EAC+∠FBC）＝β．
（3）连接PC并延长到点M，如答图3所示．
∵∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，
∴∠PAC＝∠EAC，∠PBC＝∠FBC，
∵∠ACM＝∠PAC+∠APC，∠BCM＝∠PBC+∠BPC，∠ACB＝∠ACM+∠BCM，∠APB＝∠APC+∠BPC，
∴∠ACB＝∠PAC+∠PBC+∠APB，
∵∠ACB＝α，∠EAC+∠FBC＝β，
∴α＝β+∠APB，
∴∠APB＝α﹣β．
故答案为：∠APB＝α﹣β．
（4）结合（3）结论可知：∠P1＝α﹣β，∠P2＝α﹣β，∠P3＝α﹣β，
∴∠P4＝α﹣β，…
∴∠Pn＝α﹣β．
故答案为：α﹣β，α﹣β．
8．解：（1）①两直线平行，内错角相等；60；
②30；
③60．
（2）∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∵∠B＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°．
又∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN＝140°÷2＝70°．
∵CN⊥CM，
∴∠BCM＝90°﹣∠BCN＝90°﹣70°＝20°．
9．证明：∵∠1＝∠3
对顶角相等，
∠1+∠2＝180°
已知，
∴∠3+∠2＝180°
等量代换，
∴a∥b
同旁内角互补，两直线平行．
故答案为：对顶角相等；已知；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
另一种证法：
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠4＝180°，
∴∠2＝∠4，
∴a∥b．
10．（1）解：如图1，过点I作IM∥AB，
∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，
∴∠AEI＝35°，∠CHI＝30°，
∵IM∥AB，
∴∠MIE＝∠AEI＝35°，
∵AB∥CD，IM∥AB，
∴IM∥CD，
∴∠MIH＝∠CHI＝30°，
∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝35°+30°＝65°；
（2）解：如图2，过点I作IM∥AB，
∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝α，∠CHG＝β，
∴∠AEI＝，∠CHI＝，
∵IM∥AB，
∴∠MIE＝∠AEI＝，
∵AB∥CD，IM∥AB，
∴IM∥CD，
∴∠MIH＝∠CHI＝，
∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝+；
（3）解：如图3，过点J作MN∥AB，
∵∠AEF＝α，
∴∠KEB＝α，
∵EJ平分∠KEB，HJ平分∠CHG，∠KEB＝α，∠CHG＝β，
∴∠JEG＝，∠JHF＝，
∵MN∥AB，
∴∠MJE＝∠JEG＝，
∵AB∥CD，MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴∠NJH＝∠CHJ＝，
∴∠EJH＝180°﹣∠MJE﹣∠NJH＝180°﹣﹣．
11．解：探究：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠EFC．（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC．（两直线平行，同位角相等）
∴∠DEF＝∠ABC．（等量代换）
∵∠ABC＝50°，
∴∠DEF＝50°．
故答案为：∠EFC，两直线平行，内错角相等，∠EFC，两直线平行，同位角相等，50°；
应用：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝60°．（两直线平行，同位角相等）
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
12．解：（1）由平移的性质可得：AA′∥CC′；
故答案为：AA′∥CC′；
（2）根据平移性质可知A'C'∥AC，AA'∥CC'，
∴∠A'＝∠BAC，∠BAC＝∠ACC'，
∴∠A'＝∠ACC'，
∵∠ACC'+∠CAC′+∠AC′C＝180°，
∴∠A'+∠CAC'+∠AC'C＝180°，
（3）结论：∠CAC'＝x+y，
过点A作AD∥BC，交CC'于点D，
根据平移性质可知B'C'∥BC，
∴B'C'∥AD∥BC'，
∴∠AC'B'＝∠C'AD，∠ACB＝∠DAC，
∴∠CAC'＝∠C'AD+∠CAD＝∠AC'B'+∠ACB＝x+y，
即∠CAC'＝x+y．
13．证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下
如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，
∴PQ∥AM∥BN，
∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，
即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
14．解：（1）∵|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，a+b﹣4＝0，
解得：a＝3，b＝1；
（2）如图1，过点C作CE∥MN，
∵PQ∥MN，
∴CE∥PQ∥MN，
设两灯转动时间为x秒，则∠MAC＝3x°，∠PBC＝x°，
∴∠CAN＝180°﹣3x°，
∴∠BCE＝∠PBC＝x°，∠ECA＝∠CAN＝（180﹣3x）°，
∵∠ACB＝70°，
∴180﹣3x+x＝70，
解得x＝55，
∴∠CAN＝15°，
∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45°﹣15°＝30°；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线到达AN之前，由题意得：3t＝（20+t）×1，
解得：t＝10；
②在灯A射线到达AN之后，由题意得：3t﹣180＝180﹣（20+t）×1，
解得：t＝85．
综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行．
15．解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°．
（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）令AB与PF交点为O，连接EF，如图3．
在△GFE中，∠G＝180°﹣（∠GFE+∠GEF），
∵∠GEF＝PEA+∠OEF，∠GFE＝PFC+∠OFE，
∴∠GEF+∠GFE＝PEA+∠OEF+PFC+∠OFE，
∵由（2）知∠PFC＝∠PEA+∠P，
∴∠PEA＝∠PFC﹣α，
∵∠OFE+∠OEF＝180°﹣∠FOE＝180°﹣∠PFC，
∴∠GEF+∠GFE＝（∠PFC﹣α）+∠PFC+180°﹣∠PFC＝180°﹣α，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣180°+α＝α．
故答案为：α．